Centralna Komisja Egzaminacyjna przygotowała zbiór zadań z matematyki na poziomie podstawowym, opublikowany jesienią 2022 roku z myślą o nowej formule matury. Zadania pokazują, jak CKE sprawdza wymagania z podstawy programowej: są wśród nich zadania zamknięte, zadania typu prawda–fałsz, zadania z uzasadnieniem i zadania otwarte z rozbudowanym rozwiązaniem. To jedno z najlepszych źródeł do ćwiczeń przed maturą, bo pochodzi bezpośrednio od autorów egzaminu.
Na moim kanale Po prostu Licz rozwiązałam zadania od 1 do 65 z tego zbioru, każde w osobnym filmie, krok po kroku. W tym wpisie znajdziesz pełne treści tych zadań, uporządkowane działami, a przy każdym zadaniu link do filmu z rozwiązaniem. Przy każdym dziale są też wpisy z bloga, w których omawiam potrzebną teorię.
Otwórz całą playlistę na YouTube
1Jak pracować ze zbiorem i filmami
Otwórz zbiór CKE w drugiej karcie albo w oknie obok, żeby mieć pod ręką rysunki do zadań. Najpierw spróbuj rozwiązać zadanie samodzielnie, nawet jeśli zajmie Ci to dłużej, niż byś chciał. Dopiero potem włącz film i porównaj swoje rozwiązanie z moim. Jeśli utkniesz, obejrzyj tylko początek filmu, gdzie pokazuję pierwszy krok, zatrzymaj go i spróbuj dokończyć sam. W ten sposób uczysz się rozwiązywać zadania, a nie tylko oglądać, jak robi to ktoś inny.
Zadania, z którymi miałeś kłopot, zapisz w zeszycie błędów razem z informacją, co poszło nie tak. Po kilku tygodniach wróć do nich i rozwiąż je jeszcze raz bez podglądania. Zbiór jest ułożony działami, więc dobrze współgra z moim planem nauki do matury miesiąc po miesiącu: przy każdym miesiącu możesz rozwiązywać zadania z odpowiedniego działu.
2Zadania i rozwiązania, dział po dziale
Poniżej są treści zadań od 1 do 65. Pod każdym zadaniem jest link do filmu z rozwiązaniem i czas jego trwania. Przy zadaniach z rysunkiem znajdziesz informację, że rysunek jest w zbiorze CKE: otwórz go wtedy w karcie obok.
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3.
Liczbę a = (2 + 7)2 można zapisać w postaci a = x + y14, gdzie x ∈ ℤ oraz y ∈ ℤ.
Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.
x = ……… y = ………
Rozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:
a ≠ 0 oraz b ≠ 0 oraz a2 + b3 = 0
Oblicz wartość liczbową wyrażenia ab + ba dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.
Zapisz obliczenia.
Dana jest liczba
a = 11 + 2 + 12 + 3 + 13 + 4
Wykaż, że a jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: Usuń niewymierności z mianowników.
Która z podanych równości (A–D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okres T drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:
T = 2πlg
gdzie l oznacza długość wahadła, a g oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi gZ = 9,81 m/s2, a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi gK = 1,62 m/s2.
Oblicz TKTZ – stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
Zapisz obliczenia.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia log k + log 1100k2 − log 110k3, gdzie k > 0, jest równa
Liczby rzeczywiste x, y, z spełniają następujące warunki:
x, y, z > 0 oraz x, y, z ≠ 1 oraz yz = x
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Wyrażenie 2x2 − 1 można przekształcić równoważnie do wyrażenia (1 − x2)(x2 − 1). | P | F |
| Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (2 + x)3 − x2(x + 6) − 12x jest równa 8. | P | F |
Dany jest wielomian
W(x) = x3 − 9x2 + 26x − 24
który ma trzy pierwiastki całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba
Dane jest wyrażenie
(aa + b − a2a2 − b2) : (a − ba2 − b2)
gdzie a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, a ≠ b, a ≠ −b.
Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla a = 23 oraz b = −13. Zapisz obliczenia.
Wyrażenie wymierne 2x − 3 + 5 można przekształcić równoważnie do wyrażenia ax + bcx + d, gdzie a, b, c, d są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi.
Wyznacz wartości liczbowe współczynników a, b, c, d.
Zapisz obliczenia.
Dany jest wielomian
W(x) = x3 − 4x2 + x + 6 gdzie x ∈ ℝ
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Wskazówka: Skorzystaj z definicji podzielności wielomianu W(x) przez dwumian (x − a).
Wielomian W(x) jest podzielny przez
Rozwiąż nierówność. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.
2x ≥ 5 · x + 35 − 6
Zapisz obliczenia.
Rozwiąż równanie
−2x3 + x2 + 18x − 9 = 0
Zapisz obliczenia.
Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już 97 spośród 3697 zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał n zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o 5, czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o 10 dni.
Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.
Zapisz obliczenia.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
(3x2 − 6x)(x2 − 9)(x − 2)(x − 3)2 = 0
w zbiorze liczb rzeczywistych
Niech mn będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy 6, a do mianownika dodamy 15, jego wartość nie zmieni się.
Oblicz liczby m i n.
Zapisz obliczenia.
Dana jest liczba dwucyfrowa a, w której suma cyfr jest równa 14. Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o 18 mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr.
Oblicz liczbę a.
Zapisz obliczenia.
Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była 30 m. Długość każdego skoku psa jest równa 2 m, długość każdego skoku lisa jest równa 1 m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy.
Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa.
Zapisz obliczenia.
Suma liczb rzeczywistych a i b równa jest 527. Wiemy, że 8% liczby a jest równe 7,5% liczby b.
Oblicz liczby a i b.
Zapisz obliczenia.
Rozwiąż układ równań
x2 + y2 − 4x + 4y − 17 = 02x − y − 1 = 0
Zapisz obliczenia.
Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem
y = f(x) = x2 + 5x + 6 gdzie x ∈ ℝ
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.
1. Postać kanoniczna funkcji f wyraża się wzorem
2. Postać iloczynowa funkcji f wyraża się wzorem
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: f, g, h, s.
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
25.1. (0–1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największą wartość dla argumentu x = 2 przyjmuje funkcja
25.2. (0–1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla argumentu x = 3 tę samą wartość przyjmują funkcje
25.3. (0–1) Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność g(x) > h(x).
Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o 0,6 ℃, gdy wysokość wzrasta o 100 m, a gdy wysokość maleje o 100 m – temperatura rośnie o 0,6 ℃. W Zakopanem, które znajduje się na wysokości 1000 metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa 13 ℃. W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.
26.1. (0–1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Na Rysach, na wysokości 2499 metrów n.p.m., zmierzona temperatura powietrza nie przekraczała 5 ℃. | P | F |
| W Białce Tatrzańskiej (650 metrów n.p.m.) zmierzona temperatura powietrza była równa 16,5 ℃. | P | F |
26.2. (0–2) Niech f(x) = ax + b będzie funkcją opisującą zależność temperatury powietrza od wysokości x n.p.m. w dowolnym punkcie nad Zakopanem. Oblicz wartość współczynnika a i wartość współczynnika b. Zapisz obliczenia.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = −2x2 + bx + c i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla x ∈ (−4, 2).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta x = 1. | P | F |
| Postać iloczynowa funkcji f wyraża się wzorem f(x) = −2(x + 4)(x − 2). | P | F |
Dana jest funkcja kwadratowa f. Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych (0, 8), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu x = 4. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest x₁ = 2.
Wyznacz i zapisz wzór funkcji y = f(x) w postaci iloczynowej.
Aby zaorać pole o powierzchni P w ciągu 8 godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Zaoranie pola o powierzchni P przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby 12 godzin. | P | F |
| Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu 4 godzin. | P | F |
Dane są liczby: a = 22, b = 4, c = 42.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Liczby a, b oraz c tworzą w podanej kolejności
Dany jest ciąg arytmetyczny (aₙ) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Jego różnica jest równa 4, a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zapisz obliczenia.
Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy 13, trzeci wyraz tego ciągu jest równy 19, a suma wszystkich wyrazów to 364243.
Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.
Zapisz obliczenia.
Liczby x, y, z, których suma jest równa 114, tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego (aₙ), gdzie n ≥ 1, w którym x = a₁, y = a₄ i z = a₂₅.
Oblicz liczby x, y, z.
Zapisz obliczenia.
Trzy liczby, których suma jest równa 24, tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o 4, 10 i 40 będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny.
Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.
Zapisz obliczenia.
Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła 300 złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o 25 zł więcej niż w miesiącu poprzednim.
35.1. (0–1) Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku. Zapisz obliczenia.
35.2. (0–2) Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota 76 860 złotych. Zapisz obliczenia.
Te same działy, które są w zbiorze CKE, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Jeśli po rozwiązaniu zadań ze zbioru czujesz, że jakiś dział wymaga powtórki od podstaw, w kursie przejdziesz przez niego krok po kroku.
Zobacz kurs na UdemyZ okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot S pod kątem 38° do poziomu. Kontroler K znajduje się na wysokości 136 m od płyty lotniska (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oblicz odległość x samolotu S od podstawy W tej wieży. Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych metrów.
Zapisz obliczenia.
Dane są dwa trójkąty ABC i ADE o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku A. Ponadto |AB| = 24, |AC| = 10 (zobacz rysunek). Pole trójkąta ADE jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ABC.
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
37.1. (0–2) Dwusieczna kąta BAC przecina odcinek DE w punkcie P, takim że |DP||PE| = 34. Oblicz długości boków AD i AE trójkąta ADE. Zapisz obliczenia.
37.2. (0–3) Pole trójkąta ABC jest równe 72. Oblicz długość boku BC trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.
Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt H jest jego ortocentrum.
Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dany jest ośmiokąt foremny wpisany w okrąg K. Punkty A oraz B są sąsiednimi wierzchołkami tego ośmiokąta oraz α jest kątem między styczną do okręgu K w punkcie A i bokiem AB wielokąta (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta α jest równa
Dane są trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| i |∡ACB| = 45°, oraz kwadrat DEFG o polu równym 1. Wierzchołki E i F kwadratu leżą na ramieniu BC danego trójkąta, wierzchołek G leży na ramieniu AC, a wierzchołek D leży na podstawie AB trójkąta (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oceń prawdziwość poniższych relacji. Wybierz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.
| |∡AGD| = 45° | P | F |
| |AG| − |BE| = 2 − 2 | P | F |
Dane są: okrąg o środku S i promieniu r = 1; prosta k przechodząca przez S i przecinająca okrąg w punktach P i Q; prosta l styczna do danego okręgu w punkcie T. Prosta k przecina prostą l w punkcie R. Prosta przechodząca przez punkt Q i równoległa do odcinka ST przecina styczną l w punkcie U (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oblicz długość odcinka TU wiedząc, że spełniony jest warunek |PQ||QR| = 23.
Zapisz obliczenia.
W wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy KSL o mierze 45° wpisano kwadrat ABCD w taki sposób, że wierzchołki A oraz B leżą na promieniu SK, wierzchołek D leży na promieniu SL, a wierzchołek C leży na łuku KL (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oblicz stosunek pola kwadratu ABCD do pola wycinka kołowego KSL.
Zapisz obliczenia.
Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, gdzie |AB| > |CD|. Kąt ostry tego trapezu ma miarę 60°, a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa 6. Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez DCFG podobny do trapezu ABCD (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oblicz pole trapezu DCFG.
Zapisz obliczenia.
W trójkącie równobocznym o boku długości a poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe b i c, przy czym c < b < a (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt.
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach b i c do pola trapezu o podstawach a i b jest równy b2 − c2a2 − b2.
Dodatkowo w playliście jest film „Co to jest ortocentrum w trójkącie ostrokątnym, prostokątnym i rozwartokątnym?” (5:12), który pomaga zrozumieć zadanie 38.
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), rozważamy dwie proste o równaniach
y = a + b · x oraz y = −1a − 23b2 · x
gdzie a ≠ 0, b ≠ 0.
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Dla a = 2 i b = −32 rozważane proste są
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dany jest trójkąt ABC. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: A = (−15, −8), B = (−6, 4), C = (−19, −5).
46.1. (0–2) Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny. Zapisz obliczenia.
46.2. (0–3) Wierzchołki trójkąta ABC są trzema wierzchołkami równoległoboku ABCD. Odcinek AC jest przekątną tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołka D. Zapisz obliczenia.
46.3. (0–1) Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczonych miejscach, aby zdanie było prawdziwe. Punkt S przecięcia środkowych trójkąta ABC ma współrzędne: S = (……… , ………).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu x2 + y2 = 2 oraz prosta k o równaniu y = m, gdzie m ∈ ℝ.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Okrąg 𝒪 i prosta k mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy m ∈ ……………… .
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dany jest trójkąt ABC. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = −3x + 6. Wierzchołki A i B leżą – odpowiednio – na osi Oy oraz Ox. Wierzchołek C ma współrzędne (3, 7).
Oblicz pole trójkąta ABC.
Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (−8, 12) i B = (−2, 4) są końcami cięciwy okręgu 𝒪. Środek tego okręgu leży na prostej k o równaniu y = 4x + 2.
Wyznacz współrzędne środka okręgu 𝒪 i promień tego okręgu.
Zapisz obliczenia.
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = −x2 + 2x + 3. Funkcja liniowa g określona jest wzorem g(x) = −x + 5.
Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji y = f(x) oraz funkcji y = g(x).
Zapisz obliczenia.
Każda krawędź czworościanu ABCS ma długość a. Punkty D i E są środkami boków – odpowiednio – AC oraz BC (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oblicz pole trójkąta DES.
Zapisz obliczenia.
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a. Punkty A, B, D i E są wierzchołkami ostrosłupa (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oblicz pole powierzchni ostrosłupa ABDE.
Zapisz obliczenia.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 2 i wysokości 8. Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Krawędź sześcianu jest dłuższa niż 1,5. | P | F |
| Ostrosłup jest czterokrotnie wyższy od sześcianu. | P | F |
| Objętość sześcianu jest większa od 4. | P | F |
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy a oraz wysokości h. Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek). Niech F będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica objętości bryły F i objętości ostrosłupa jest równa
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS zaznaczono środki krawędzi AB, AC i AS odpowiednio punktami D, E, F (zobacz rysunek).
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Pole powierzchni ostrosłupa ADEF jest dwukrotnie mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa ABCS. | P | F |
| Objętość ostrosłupa ADEF jest ośmiokrotnie mniejsza od objętości ostrosłupa ABCS. | P | F |
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra 5 występuje dokładnie jeden raz, jest
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest
Na dwóch półkach ustawiano 9 książek: 4 biograficzne i 5 fantasy. Ustawiono je w taki sposób, aby na każdej półce znalazły się książki wyłącznie jednego rodzaju.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich sposobów ustawienia książek przy zadanym warunku jest:
Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości (zobacz rysunek). Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze. W firmowym magazynie materiały są dostępne w 5 kolorach, a lamówka – w 3 kolorach. Obrusy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego.
Rysunek do zadania znajdziesz w zbiorze CKE.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich różnych obrusów, które firma może produkować, jest równa
Do dyspozycji są dwa puste pojemniki oraz pięć kul. Każdą z kul należy umieścić w pojemniku. Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń tych kul zależy od cech kul i pojemników. W poniższej tabeli w lewej kolumnie podano cechy obiektów (kul i pojemników).
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź wybraną spośród A–F.
| Cechy kul i pojemników | Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń kul w pojemnikach |
|---|---|
| Kule rozróżnialne, pojemniki rozróżnialne | |
| Kule rozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne | |
| Kule nierozróżnialne, pojemniki rozróżnialne | |
| Kule nierozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne |
Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa 24 lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa 26 lat.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa
Mediana zestawu sześciu liczb 1, 2, 3, 4, 5, 2x jest równa 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba x jest równa
Marek ma 3 koszulki w kolorach czerwonym, niebieskim i białym. Darek ma 5 koszulek w kolorach czerwonym, białym, zielonym, żółtym i szarym. Chłopcy umówili się, że następnego dnia każdy z nich założy wybraną w sposób losowy jedną ze swoich koszulek.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że następnego dnia chłopcy założą koszulki w tym samym kolorze, jest równe
Dany jest pięciokąt foremny ABCDE. Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki tego pięciokąta.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej pięciokąta ABCDE, jest równe
Ze zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta, jest równe 825. | P | F |
| Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie liczby będą parzyste, jest równe 225. | P | F |
Zbiór zawiera jeszcze zadania z działu optymalizacji, od zadania 66 wzwyż. Rozwiązania zadań z playlisty kończą się na zadaniu 65.
Źródło treści zadań: Centralna Komisja Egzaminacyjna, „Zbiór zadań z matematyki. Poziom podstawowy”, materiał dodatkowy do egzaminu maturalnego od 2023 roku (publikacja: 7 października 2022 r.). Pobierz oryginalny zbiór ze strony CKE.
3Co ten zbiór mówi o maturze
Rozwiązując zadania po kolei, zauważysz kilka rzeczy, które dobrze pokazują, czego CKE oczekuje na maturze. Wiele zadań sprawdza nie tylko rachunki, ale też rozumienie: trzeba ocenić prawdziwość stwierdzeń, wybrać odpowiedź razem z jej uzasadnieniem albo przeprowadzić krótki dowód. Sporo zadań osadzonych jest w sytuacjach z życia, jak oszczędzanie, temperatura na różnych wysokościach czy przygotowanie do egzaminu na prawo jazdy, więc ważne jest przełożenie treści na równanie lub funkcję. W zadaniach otwartych liczy się zapis całego rozumowania, a nie tylko wynik.
Dlatego przy pracy ze zbiorem zwracaj uwagę nie tylko na to, czy wynik się zgadza, ale też czy potrafisz uzasadnić każdy krok. Tak samo rozwiązuję zadania w filmach: tłumaczę, skąd bierze się każde przekształcenie.
Rozwiązania zadań ze zbioru CKE są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj i zostań ze mną po więcej. A jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, z teorią i zestawami zadań do każdego działu, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejZ jakiego zbioru zadań uczyć się do matury?
- DalejMatura z matematyki maj 2018, poziom podstawowy (nowa i stara formuła): zadania i rozwiązania
- Przyda się teżPlan nauki do matury z matematyki miesiąc po miesiącu
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
