Kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez i deltoid: na maturze trzeba znać ich własności i umieć szybko obliczyć pole. Łatwo się w tym pogubić, ale wszystko staje się prostsze, gdy zobaczysz, jak te figury są ze sobą powiązane. Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem, a każdy prostokąt jest równoległobokiem. W tym wpisie pokazuję to „drzewo rodzinne”, omawiam każdą figurę osobno i rozwiązuję typowe zadania krok po kroku.
1Rodzina czworokątów
Te figury tworzą hierarchię. Każdy kwadrat jest prostokątem (bo ma kąty proste) i rombem (bo ma równe boki). Każdy prostokąt i każdy romb jest równoległobokiem. Każdy równoległobok jest trapezem, bo ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Dlatego własności „wyższych” figur dziedziczą „niższe”: kwadrat ma wszystkie własności prostokąta, rombu i równoległoboku naraz.
Deltoid stoi trochę z boku: romb jest szczególnym deltoidem, ale prostokąt (inny niż kwadrat) deltoidem nie jest.
Przekątna dzieli każdy czworokąt na dwa trójkąty, a w każdym trójkącie kąty sumują się do 180°. Razem daje to 2 · 180° = 360°.
2Każda figura osobno
- wszystkie boki równe, wszystkie kąty po 90°
- przekątne równe, prostopadłe i dzielą się na połowy
- przekątna d = a√2
- przeciwległe boki równe i równoległe, wszystkie kąty proste
- przekątne równe i dzielą się na połowy
- przekątna d = a2 + b2
- wszystkie boki równe, przeciwległe kąty równe
- przekątne prostopadłe, dzielą się na połowy i są dwusiecznymi kątów
- kąty przy jednym boku sumują się do 180°
- przeciwległe boki równe i równoległe
- przeciwległe kąty równe, sąsiednie sumują się do 180°
- przekątne dzielą się na połowy
- co najmniej jedna para boków równoległych (podstawy a i b)
- kąty przy każdym ramieniu sumują się do 180°
- równoramienny: ramiona równe, kąty przy podstawie równe, przekątne równe
- dwie pary sąsiednich boków równych
- przekątne prostopadłe, jedna dzieli drugą na połowy
- jest symetryczny względem jednej przekątnej
Wzór P = d₁ · d₂ / 2 działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych: rombu, deltoidu i kwadratu.
3Przekątne: porównanie
| Figura | równe | prostopadłe | dzielą się na połowy |
|---|---|---|---|
| kwadrat | tak | tak | tak |
| prostokąt | tak | nie | tak |
| romb | nie | tak | tak |
| równoległobok | nie | nie | tak |
| trapez równoramienny | tak | nie | nie |
| deltoid | nie | tak | tylko jedna |
Ta tabela pomaga w zadaniach typu „który czworokąt ma…”. Na przykład czworokąt, którego przekątne są równe i dzielą się na połowy, to prostokąt (albo kwadrat).
Czworokąty mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną część działu planimetrii, razem z trójkątami, wielokątami i okręgami. Wszystkie wzory na pola i własności są rozpisane krok po kroku, z rysunkami, a potem przećwiczone na zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy4Przykłady krok po kroku
Przekątne rombu dzielą go na cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych połowom przekątnych. To najważniejszy trik w zadaniach z rombem.
W trapezie równoramiennym wysokości opuszczone z końców krótszej podstawy odcinają po obu stronach dwa jednakowe trójkąty prostokątne. Ich krótsza przyprostokątna to połowa różnicy podstaw.
P = 5 · 8 · sin 30° = 40 · 12 = 20.
d = a√2, więc a = 6. Pole to 36. Można też od razu: P = d²/2 = 72/2 = 36.
Czworokąty pojawiają się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych z polami i kątami oraz w zadaniach otwartych, w których pole trapezu, rombu czy równoległoboku trzeba policzyć z twierdzenia Pitagorasa albo z trygonometrii. Wzory na pola są w zestawie wzorów CKE. Najwięcej punktów daje umiejętność zobaczenia w czworokącie trójkątów prostokątnych.
A. 120
B. 240
C. 60
D. 34
Rozwiązanie: P = 10 · 24 : 2 = 120. Odpowiedź A. Odpowiedź B wychodzi, gdy zapomni się o dzieleniu przez 2, a D to suma przekątnych.
Odpowiedź: P = 27√3, obwód 30. Na kanale Po prostu Licz rozwiązuję też kilka podobnych zadań o polu i obwodzie trapezu równoramiennego.
5Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zapomnienie o dzieleniu przez 2 we wzorze z przekątnymi albo we wzorze na pole trapezu. Drugi to branie ramienia zamiast wysokości do wzoru na pole równoległoboku lub trapezu. Trzeci to przekonanie, że przekątne każdego równoległoboku są prostopadłe albo równe. Czwarty to w trapezie równoramiennym użycie całej różnicy podstaw zamiast połowy przy liczeniu wysokości. Piąty to mylenie hierarchii: każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem.
6Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Pole prostokąta o bokach 7 i 9?
63
2. Przekątna prostokąta o bokach 5 i 12?
13
3. Pole trapezu: podstawy 8 i 4, wysokość 5?
(8 + 4) · 5 / 2 = 30
4. Romb o boku 10 i kącie 30°. Pole?
100 · ½ = 50
5. Trzy kąty czworokąta mają 80°, 100° i 120°. Czwarty?
360° − 300° = 60°
6. Czy każdy prostokąt jest rombem?
nie, tylko kwadrat
7. Deltoid o przekątnych 7 i 12. Pole?
42
8. Kąt ostry równoległoboku ma 65°. Kąt rozwarty?
115°
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” planimetria to cały dział: trójkąty, czworokąty, wielokąty, okręgi, pola i podobieństwo, z zadaniami maturalnymi rozwiązywanymi krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejTwierdzenie Pitagorasa – wzór, dowód i zastosowania
- DalejFigury podobne
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
