Postać kanoniczna funkcji kwadratowej i wierzchołek paraboli
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a najważniejszy punkt paraboli to jej wierzchołek. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej pokazuje ten wierzchołek od razu, bez żadnych obliczeń. Dlatego tak często przydaje się w zadaniach, także maturalnych: przy szkicowaniu wykresu, szukaniu zbioru wartości, najmniejszej i największej wartości funkcji. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest postać kanoniczna, jak z niej czytać i jak zamienić na nią postać ogólną, krok po kroku.
1Trzy postaci funkcji kwadratowej
| Postać | Wzór | Co od razu widać |
|---|---|---|
| ogólna | f(x) = ax2 + bx + c | punkt przecięcia z osią y: (0, c) |
| kanoniczna | f(x) = a(x − p)2 + q | wierzchołek W = (p, q) |
| iloczynowa | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) | miejsca zerowe x₁ i x₂ |
To ta sama funkcja zapisana na trzy sposoby. We wszystkich a jest tą samą liczbą: decyduje, czy ramiona paraboli idą w górę (a > 0), czy w dół (a < 0). Ten wpis dotyczy postaci kanonicznej.
2Postać kanoniczna i wierzchołek
Wierzchołek paraboli to punkt W = (p, q). p to pierwsza współrzędna, czyli gdzie wierzchołek leży w poziomie, a q to druga, czyli na jakiej wysokości.
Dlaczego akurat (p, q)? Wyrażenie (x − p)² jest kwadratem, więc nigdy nie jest ujemne, a równa się zeru tylko dla x = p. Gdy a > 0, najmniejsza wartość funkcji to więc a · 0 + q = q i jest przyjmowana dla x = p. To dokładnie najniższy punkt paraboli, czyli wierzchołek.
| Funkcja | a | p | q | Wierzchołek |
|---|---|---|---|---|
| (x − 2)2 + 1 | 1 | 2 | 1 | (2, 1) |
| −(x + 3)2 + 4 | −1 | −3 | 4 | (−3, 4) |
| 2x2 − 5 | 2 | 0 | −5 | (0, −5) |
| 3(x − 1)2 | 3 | 1 | 0 | (1, 0) |
| −12(x + 2)2 − 3 | −12 | −2 | −3 | (−2, −3) |
Gdy nie ma nawiasu, na przykład 2x² − 5, to p = 0, bo 2x² = 2(x − 0)². Gdy na końcu nie ma liczby, jak w 3(x − 1)², to q = 0.
3Postać kanoniczna jako przesunięcie wykresu
Wykres funkcji f(x) = a(x − p)² + q to wykres funkcji y = ax² przesunięty o p w poziomie i o q w pionie. Na rysunku szara parabola to y = x², a czerwona to f(x) = (x − 2)² + 1, czyli ta sama parabola przesunięta o 2 w prawo i o 1 w górę.
Liczba a nie zmienia położenia wierzchołka, tylko kształt: im większe |a|, tym węższa parabola, a ujemne a odwraca ją ramionami w dół.
4Z postaci ogólnej do kanonicznej
Najczęściej funkcja jest podana w postaci ogólnej, a postać kanoniczną trzeba wyznaczyć. Są dwa sposoby: ze wzorów na p i q albo przez uzupełnianie do kwadratu.
Δ = b² − 4ac to wyróżnik, ten sam, którego używa się do liczenia miejsc zerowych. Zamiast liczyć Δ, często szybciej jest wstawić p do wzoru funkcji, bo q to wartość funkcji w wierzchołku.
Krok 1. Odczytujemy współczynniki
a = 1, b = −6, c = 5.
Krok 2. Liczymy p
Krok 3. Liczymy q jako f(p)
Krok 4. Wstawiamy do postaci kanonicznej
a przepisujemy bez zmian: f(x) = 1 · (x − 3)2 + (−4), czyli:
Ten sam przykład przez uzupełnianie do kwadratu
Grupujemy wyrazy z x i szukamy kwadratu, który je zawiera. Połowa liczby przy x to −3, a (x − 3)2 = x2 − 6x + 9. Wyszło o 9 za dużo, więc 9 odejmujemy:
Ten sposób to wzory skróconego mnożenia czytane od tyłu. Działa najprościej, gdy a = 1.
a = 2, b = 8, c = 3. p = −82 · 2 = −2. q = f(−2) = 2 · 4 + 8 · (−2) + 3 = 8 − 16 + 3 = −5.
Sprawdzenie wzorem z deltą: Δ = 82 − 4 · 2 · 3 = 64 − 24 = 40, więc q = −404 · 2 = −5. Wynik ten sam.
Uważaj na a: w postaci kanonicznej stoi przed nawiasem dokładnie to samo a, co w postaci ogólnej, czyli 2.
a = −1, b = 4, c = 1. p = −42 · (−1) = 2. q = f(2) = −4 + 8 + 1 = 5. Uważaj: −x² dla x = 2 to −(2²) = −4, a nie 4.
5Z postaci kanonicznej do ogólnej
Czasem trzeba zrobić odwrotnie. Wystarczy rozwinąć kwadrat wzorem skróconego mnożenia, pomnożyć przez a i dodać q.
Najczęstszy błąd to pomnożenie przez a tylko pierwszego wyrazu w nawiasie. Dwójka mnoży każdy z trzech wyrazów: x², 2x i 1.
Funkcja kwadratowa to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” jeden z największych działów: wzory z tablic maturalnych, współczynniki, miejsca zerowe, postać kanoniczna i aż siedem zestawów zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, z wykresami, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy6Co jeszcze odczytasz z wierzchołka
Gdy znasz wierzchołek i znak a, od razu wiesz bardzo dużo o funkcji, bez rysowania.
| a > 0 (ramiona w górę) | a < 0 (ramiona w dół) | |
|---|---|---|
| wierzchołek to | najniższy punkt | najwyższy punkt |
| zbiór wartości | ⟨q; +∞) | (−∞; q⟩ |
| wartość najmniejsza / największa | najmniejsza wartość to q, dla x = p | największa wartość to q, dla x = p |
| monotoniczność | maleje w (−∞; p⟩, rośnie w ⟨p; +∞) | rośnie w (−∞; p⟩, maleje w ⟨p; +∞) |
| oś symetrii | prosta x = p | prosta x = p |
Dla czerwonej paraboli f(x) = (x − 1)² − 3 zbiór wartości to ⟨−3; +∞), a dla miętowej g(x) = −(x + 1)² + 4 to (−∞; 4⟩.
7Zastosowanie: największe pole prostokąta
Krok 1. Zapisujemy pole jako funkcję
Jeśli jeden bok ma x cm, to dwa boki mają razem 2x, a na dwa pozostałe zostaje 20 − 2x, czyli każdy ma 10 − x. Pole to P(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, gdzie 0 < x < 10.
Krok 2. Szukamy wierzchołka
a = −1 < 0, więc parabola ma ramiona w dół i wierzchołek to najwyższy punkt, czyli największe pole. p = −102 · (−1) = 5, a P(5) = 5 · 5 = 25.
Wzory na współrzędne wierzchołka paraboli (p = −b/2a, q = −Δ/4a) oraz postać kanoniczna są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Na maturze podstawowej pojawiają się zadania zamknięte z odczytywaniem wierzchołka, zbioru wartości czy osi symetrii, a w zadaniach otwartych często trzeba znaleźć najmniejszą albo największą wartość funkcji, także w podanym przedziale.
A. (−3, 5)
B. (3, 5)
C. (−3, −5)
D. (3, −5)
Rozwiązanie: w nawiasie x + 3 = x − (−3), więc p = −3, a q = 5. Odpowiedź A. Odpowiedź B to klasyczna pułapka ze znakiem p, a a = −2 nie wpływa na położenie wierzchołka.
Rozwiązanie: najpierw wierzchołek. p = 42 = 2, q = f(2) = 4 − 8 + 7 = 3. Liczba 2 należy do przedziału ⟨0; 5⟩, a a = 1 > 0, więc w wierzchołku jest najmniejsza wartość: 3. Największej wartości szukamy na końcach przedziału: f(0) = 7, f(5) = 25 − 20 + 7 = 12. Większa z nich to 12.
Odpowiedź: najmniejsza wartość to 3, największa to 12. Zawsze sprawdź, czy p należy do przedziału. Jeśli nie, obie wartości szuka się tylko na końcach przedziału.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zły znak p: z (x + 3)² ktoś odczytuje p = 3 zamiast −3. Drugi to zgubienie a przy zapisie postaci kanonicznej, na przykład (x + 2)² − 5 zamiast 2(x + 2)² − 5. Trzeci to błąd przy liczeniu f(p), gdy a jest ujemne: −x² dla x = 2 to −4. Czwarty to przy szukaniu wartości w przedziale branie wierzchołka, który do przedziału nie należy. Piąty to pomnożenie przez a tylko części nawiasu przy przechodzeniu do postaci ogólnej.
9Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie i wykres.
1. Podaj wierzchołek paraboli f(x) = (x − 4)² + 2.
W = (4, 2)
2. Podaj wierzchołek paraboli f(x) = −3(x + 1)² − 2.
W = (−1, −2)
3. Zapisz w postaci kanonicznej f(x) = x² + 2x − 3.
p = −1, q = f(−1) = −4, więc (x + 1)² − 4
4. Zapisz w postaci kanonicznej f(x) = −x² + 6x − 5.
p = 3, q = −9 + 18 − 5 = 4, więc −(x − 3)² + 4
5. Podaj zbiór wartości f(x) = 2(x − 1)² + 3.
a > 0, q = 3, więc ⟨3; +∞)
6. Zapisz w postaci ogólnej f(x) = (x − 2)² + 1.
x² − 4x + 4 + 1 = x² − 4x + 5
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” funkcja kwadratowa to cały dział: od wzorów z tablic maturalnych, przez współczynniki, miejsca zerowe i postać kanoniczną, aż po siedem zestawów zadań maturalnych. Przed nią jest funkcja liniowa, a dalej wielomiany, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejKiedy funkcja liniowa przyjmuje wartości ujemne?
- DalejMiejsca zerowe funkcji kwadratowej: delta krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
