Ostrosłup to bryła z jedną podstawą i wierzchołkiem, w którym schodzą się wszystkie ściany boczne: piramida, dach wieży, czubek ołówka. Na maturze trzeba umieć obliczyć jego objętość i pole powierzchni, a do tego wysokość, krawędź boczną albo kąt nachylenia. Prawie każde takie zadanie sprowadza się do znalezienia odpowiedniego trójkąta prostokątnego. W tym wpisie pokazuję, gdzie te trójkąty są, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania.
1Czym jest ostrosłup
Ostrosłup ma jedną podstawę, która jest wielokątem, i wierzchołek S poza płaszczyzną podstawy. Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku S. Odcinki łączące S z wierzchołkami podstawy to krawędzie boczne. Wysokość H to odcinek prostopadły z S do płaszczyzny podstawy, a wysokość ściany bocznej h to wysokość trójkąta-ściany poprowadzona z S.
| Rodzaj | Co to znaczy |
|---|---|
| ostrosłup prawidłowy | podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w jej środku; wszystkie krawędzie boczne są równe |
| czworościan | ostrosłup trójkątny; wszystkie cztery ściany to trójkąty |
| czworościan foremny | wszystkie sześć krawędzi równych, każda ściana to trójkąt równoboczny |
| Ostrosłup n-kątny | Wierzchołki | Krawędzie | Ściany |
|---|---|---|---|
| wzór | n + 1 | 2n | n + 1 |
| trójkątny (n = 3) | 4 | 6 | 4 |
| czworokątny (n = 4) | 5 | 8 | 5 |
| sześciokątny (n = 6) | 7 | 12 | 7 |
2Pole powierzchni i objętość
Pp to pole podstawy, a Pb pole powierzchni bocznej, czyli suma pól trójkątów-ścian. W ostrosłupie prawidłowym n-kątnym wszystkie ściany boczne są jednakowe, więc Pb = n · ½ · a · h.
Skąd ⅓? Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości. Można to sprawdzić doświadczalnie: trzy jednakowe ostrosłupy wypełnione wodą napełniają dokładnie jeden graniastosłup. Sześcian da się nawet pociąć na trzy jednakowe ostrosłupy o wierzchołku w jednym z jego wierzchołków.
3Trzy trójkąty prostokątne
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ukrywają się trzy trójkąty prostokątne, które łączą wszystkie ważne odcinki. Rozpoznanie ich to połowa sukcesu w każdym zadaniu.
| Trójkąt | Boki | Twierdzenie Pitagorasa |
|---|---|---|
| pomarańczowy | H, połowa boku a/2, wysokość ściany h | H2 + (a/2)2 = h2 |
| miętowy | H, połowa przekątnej d/2, krawędź boczna b | H2 + (d/2)2 = b2 |
| w ścianie bocznej | h, połowa boku a/2, krawędź boczna b | h2 + (a/2)2 = b2 |
Pierwsze dwa trójkąty stoją pionowo wewnątrz bryły, a trzeci leży w ścianie bocznej. Przekątna podstawy kwadratowej to d = a√2, więc d/2 = a√2/2.
Ostrosłupy mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną część działu stereometrii, razem z graniastosłupami i bryłami obrotowymi. Wszystkie trójkąty, kąty i wzory są rozpisane krok po kroku, z rysunkami, a potem przećwiczone na zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy4Przykłady krok po kroku
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży w środku trójkąta równobocznego, czyli w punkcie przecięcia jego wysokości. Ten punkt dzieli wysokość podstawy hp = a√3/2 w stosunku 2 : 1. Odległość od spodka do wierzchołka podstawy to ⅔ hp, a do boku ⅓ hp. Te odcinki zastępują d/2 i a/2 z ostrosłupa czworokątnego.
Czworościan foremny
Czworościan foremny o krawędzi a ma wysokość H = a63 i objętość V = a3212. Dla a = 6: V = 216√2/12 = 18√2. Pole powierzchni to cztery trójkąty równoboczne: Pc = a²√3.
5Kąty nachylenia
Na maturze pojawiają się dwa kąty. Każdy jest kątem ostrym w jednym z trójkątów z rysunku, przy wierzchołku leżącym w podstawie.
| Kąt | W którym trójkącie | Funkcja |
|---|---|---|
| nachylenia krawędzi bocznej do podstawy | miętowym: między b a d/2 | cos = (d/2) : b, tg = H : (d/2) |
| nachylenia ściany bocznej do podstawy | pomarańczowym: między h a a/2 | cos = (a/2) : h, tg = H : (a/2) |
Ostrosłupy, zwłaszcza prawidłowe czworokątne i trójkątne, pojawiają się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych z objętością oraz w zadaniach otwartych za kilka punktów, w których trzeba połączyć stereometrię z twierdzeniem Pitagorasa i trygonometrią. Wzory na objętość i pole są w zestawie wzorów CKE. Kluczem jest narysowanie właściwego trójkąta prostokątnego i podpisanie jego boków.
A. 12
B. 36
C. 48
D. 4
Rozwiązanie: V = ⅓ · 9 · 4 = 12. Odpowiedź A. B to objętość graniastosłupa, czyli wynik bez ⅓, a C to 3 · 4 · 4.
Odpowiedź: V = 256/3, Pc = 64 + 64√2. W zadaniu otwartym zaznacz na rysunku kąt i trójkąt, z którego korzystasz, bo egzaminator ocenia także tok rozumowania.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zapomnienie o ⅓ we wzorze na objętość. Drugi to pomylenie wysokości ostrosłupa H z wysokością ściany bocznej h. Trzeci to użycie a/2 zamiast d/2 przy krawędzi bocznej albo odwrotnie. Czwarty to pomylenie kąta nachylenia krawędzi z kątem nachylenia ściany. Piąty to w ostrosłupie trójkątnym użycie połowy wysokości podstawy zamiast ⅓ lub ⅔. Szósty to doliczenie dwóch podstaw do pola powierzchni.
7Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Ile krawędzi ma ostrosłup pięciokątny?
10
2. Objętość ostrosłupa o polu podstawy 30 i wysokości 7?
70
3. Prawidłowy czworokątny, a = 8, H = 3. Wysokość ściany bocznej?
√(9 + 16) = 5
4. Prawidłowy czworokątny, a = 8, h = 5. Pole powierzchni bocznej?
4 · ½ · 8 · 5 = 80
5. Prawidłowy czworokątny, a = 2, H = 2. Krawędź boczna?
d/2 = √2, b = √(4 + 2) = √6
6. Objętość czworościanu foremnego o krawędzi 3?
27√2/12 = 9√2/4
7. Ściana boczna nachylona pod kątem 60°, a = 6. Wysokość H?
3 · tg 60° = 3√3
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” stereometria ma osobny dział: graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stożek i kula, przekątne, przekroje i kąty w bryłach, a do tego zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku, z rysunkami. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejGraniastosłupy – pole, objętość, przekątne i kąty
- DalejWalec i kula: pola, objętości i przekroje
- Przyda się teżWartości funkcji trygonometrycznych dla 30°, 45° i 60°
- Zadanie maturalne z rozwiązaniemOstrosłup z trapezem w podstawie krok po kroku: matura 2020, poziom rozszerzony, zadanie 14
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
