Wzory na logarytmy: iloczyn, iloraz, potęga
Gdy już wiesz, że logarytm to wykładnik potęgi, możesz poznać trzy wzory, które pozwalają liczyć logarytmy z wyrażeń, których na pierwszy rzut oka nie da się policzyć. Ile to jest log₆ 4 + log₆ 9? Osobno żaden z tych logarytmów nie wychodzi ładnie, ale razem dają dokładnie 2. W tym wpisie pokazuję wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, wzór na zamianę podstawy i dużo przykładów krok po kroku, także w stylu maturalnym.
Jeśli definicja logarytmu nie jest jeszcze dla ciebie oczywista, zacznij od wpisu „Co to jest logarytm? Wyjaśnienie od zera”.
1Wszystkie wzory w jednym miejscu
We wzorach a > 0 i a ≠ 1 to podstawa, a x i y to liczby dodatnie.
| Nazwa | Wzór | Słownie |
|---|---|---|
| logarytm iloczynu | loga (x · y) = loga x + loga y | logarytm iloczynu to suma logarytmów |
| logarytm ilorazu | loga (xy) = loga x − loga y | logarytm ilorazu to różnica logarytmów |
| logarytm potęgi | loga xr = r · loga x | wykładnik schodzi przed logarytm |
| zamiana podstawy | loga b = logc blogc a | dowolny logarytm zapiszesz przy wygodnej podstawie |
Wszystkie te wzory są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Ale łatwiej się nimi posługiwać, gdy wiesz, skąd się biorą, a biorą się wprost z działań na potęgach.
2Każdy wzór osobno
Dlaczego? Logarytm to wykładnik, a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodaje: 2³ · 2⁴ = 2⁷. Dlatego log₂ (8 · 16) = log₂ 128 = 7, a log₂ 8 + log₂ 16 = 3 + 4 = 7.
Dlaczego? Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się odejmuje: 2⁷ : 2³ = 2⁴. Dlatego log₂ (128 : 8) = log₂ 16 = 4, a log₂ 128 − log₂ 8 = 7 − 3 = 4.
Dlaczego? xʳ to x pomnożone przez siebie r razy, a z wzoru na logarytm iloczynu każde takie mnożenie dodaje jeden log x. r razy log x to r · log x. Działa też dla wykładników ujemnych i ułamkowych, więc także dla pierwiastków.
Ten wzór działa też w drugą stronę: liczbę stojącą przed logarytmem można „wciągnąć” jako wykładnik. To przydaje się, gdy chcemy połączyć kilka logarytmów w jeden: 2 log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36.
Dlaczego? Gdy logarytmy mają różne podstawy, wzory na iloczyn i iloraz nie działają. Zamiana podstawy pozwala zapisać wszystko przy jednej, wygodnej podstawie c, na przykład 2 albo 10. Z tego wzoru korzysta też kalkulator, który ma tylko przycisk „log”.
| Zapis | Czy można uprościć? |
|---|---|
| loga x + loga y | tak: loga (xy) |
| loga (x + y) | nie, nie ma wzoru |
| loga x − loga y | tak: loga (x/y) |
| loga xloga y | nie wzorem na iloraz; to zamiana podstawy: logy x |
| log2 x + log3 y | nie bez zamiany podstawy: podstawy są różne |
Wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną lekcję, a po niej są dwa zestawy zadań z logarytmów rozwiązane krok po kroku. To ten sam sposób myślenia co w tym wpisie: najpierw skąd wzór, potem jak go użyć.
Zobacz kurs na Udemy3Przykłady krok po kroku
Osobno żaden z logarytmów nie jest liczbą całkowitą, ale mają tę samą podstawę, więc łączymy je wzorem na iloczyn: log6 (4 · 9) = log6 36. 6² = 36, więc wynik to 2.
Krok 1. Liczbę przed logarytmem zamieniamy na wykładnik
2log3 6 = log3 62 = log3 36.
Krok 2. Różnica logarytmów to logarytm ilorazu
Podstawy są różne, więc zamieniamy oba logarytmy na podstawę 10 (albo dowolną inną): log 3log 2 · log 8log 3. log 3 się skraca i zostaje log 8log 2 = log2 8 = 3.
Wszystkie logarytmy mają podstawę 5. Dodawanie zamieniamy na mnożenie, a odejmowanie na dzielenie: log5 50 · 104 = log5 125 = 3.
4Wyrażanie logarytmów przez dane
To bardzo popularny typ zadania. Znamy wartości kilku logarytmów, oznaczone literami, i trzeba wyrazić przez nie inny logarytm. Klucz to rozkład liczby na czynniki.
log 12
Rozkładamy 12 na czynniki: 12 = 2² · 3. Zatem log 12 = log 22 + log 3 = 2 log 2 + log 3 = 2a + b.
log 1,5
1,5 = 3/2, więc log 1,5 = log 3 − log 2 = b − a.
Przy takich zadaniach przydaje się też log 5: skoro 5 = 10/2, to log 5 = log 10 − log 2 = 1 − a.
5Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to rozbijanie logarytmu sumy: log(x + y) ≠ log x + log y. Drugi to używanie wzorów na iloczyn i iloraz dla logarytmów o różnych podstawach. Trzeci to traktowanie ilorazu logarytmów jak logarytmu ilorazu. Czwarty to pomylenie (log x)² z log x², bo tylko to drugie równa się 2 log x. Piąty to zgubienie założeń: wzory działają tylko dla liczb dodatnich, więc wyrażenia pod logarytmem muszą być dodatnie.
Wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzór na zamianę podstawy są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Na maturze podstawowej logarytmy pojawiają się zwykle w jednym lub dwóch zadaniach zamkniętych, w których trzeba obliczyć wartość wyrażenia. Najczęściej wystarczy połączyć logarytmy w jeden wzorem na iloczyn albo iloraz, a potem policzyć go z definicji.
A. 3
B. 52
C. log3 52
D. 27
Rozwiązanie: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu: log3 542 = log3 27 = 3, bo 3³ = 27. Odpowiedź A. Odpowiedź C to „odjęcie liczb pod logarytmem”, a D to liczba spod logarytmu bez obliczenia logarytmu.
Rozwiązanie: rozkładamy 72 na czynniki pierwsze: 72 = 8 · 9 = 2³ · 3². Zatem log 72 = log 23 + log 32 = 3 log 2 + 2 log 3 = 3a + 2b. Odpowiedź: log 72 = 3a + 2b. W zadaniu otwartym zapisz rozkład liczby i nazwij wzory, z których korzystasz.
6Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz log₂ 4 + log₂ 8
log₂ 32 = 5
2. Oblicz log 20 + log 5
log 100 = 2
3. Oblicz log₃ 18 − log₃ 2
log₃ 9 = 2
4. Oblicz log₂ 8⁵
5 · log₂ 8 = 15
5. Oblicz 3 log₅ 5
3 · 1 = 3
6. Oblicz log₄ 2 + log₄ 8
log₄ 16 = 2
7. Oblicz log₈ 2 (zamiana podstawy na 2)
log₂ 2 / log₂ 8 = 1/3
8. Jeśli log 2 = a, to ile to log 8?
log 2³ = 3a
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” logarytmy mają lekcję wprowadzającą, lekcję o wzorach z tego wpisu i zestawy zadań maturalnych. Przed nimi są potęgi i pierwiastki, a po nich funkcje, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejCo to jest logarytm? Wyjaśnienie od zera
- DalejLogarytmy – zadania maturalne krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
