Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby. To jeden z najpewniejszych tematów na maturze podstawowej, bo zadania powtarzają się w kilku schematach, a wszystkie wzory są w tablicach. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest ciąg arytmetyczny, skąd biorą się wzory na n-ty wyraz i na sumę, i rozwiązuję krok po kroku wszystkie typowe zadania.
1Co to jest ciąg arytmetyczny
Ciąg to ponumerowana lista liczb: pierwszy wyraz a₁, drugi a₂, trzeci a₃ i tak dalej. Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest taka sama. Tę stałą różnicę oznaczamy literą r.
Tutaj a₁ = 2 i r = 3. Różnica może być ujemna, wtedy ciąg maleje, albo równa zero, wtedy wszystkie wyrazy są takie same:
Różnica kolejnych wyrazów jest stała dla każdego n. Dlatego r liczymy jako różnicę dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów, na przykład a₂ − a₁.
Na wykresie wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na jednej prostej, bo co krok w prawo przybywa tyle samo w górę. To nie przypadek: ciąg arytmetyczny to po prostu funkcja liniowa określona tylko dla liczb naturalnych.
2Wzór na n-ty wyraz
Żeby dojść od a₁ do a₂, dodajemy r raz. Do a₃ dodajemy r dwa razy. Do a₁₀ trzeba dodać r dziewięć razy, bo kroków jest o jeden mniej niż numer wyrazu. Stąd wzór:
Mając pierwszy wyraz i różnicę, możesz obliczyć dowolny wyraz bez wypisywania poprzednich.
Wzór można też zapisać od dowolnego znanego wyrazu: an = ak + (n − k) · r. Na przykład a10 = a3 + 7r. Przydaje się to, gdy nie znamy a₁.
3Suma n pierwszych wyrazów
Według znanej anegdoty mały Gauss miał w szkole dodać liczby od 1 do 100. Zauważył, że 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 i tak dalej. Takich par jest 50, więc suma to 50 · 101 = 5050. Ten sam pomysł działa dla każdego ciągu arytmetycznego: pierwszy i ostatni wyraz, drugi i przedostatni, wszystkie pary mają tę samą sumę.
Pierwszy wzór jest wygodny, gdy znasz ostatni wyraz. Drugi powstaje z pierwszego po wstawieniu wzoru na aₙ i przydaje się, gdy znasz tylko a₁ i r.
Z poprzedniego przykładu a20 = 59. Zatem S20 = 2 + 592 · 20 = 612 · 20 = 610.
4Własność trzech kolejnych wyrazów
Trzy liczby a, b, c tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c. Na przykład 5, 8, 11: 2 · 8 = 5 + 11.
Ta własność wynika z tego, że b − a = c − b, czyli 2b = a + c. Bardzo często wykorzystuje się ją w zadaniach z niewiadomą x.
5Monotoniczność
| Różnica | Ciąg jest | Przykład |
|---|---|---|
| r > 0 | rosnący | 2, 5, 8, 11, … |
| r < 0 | malejący | 20, 16, 12, 8, … |
| r = 0 | stały | 7, 7, 7, 7, … |
Ciągi to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobny dział: pojęcie ciągu, wzór ogólny, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny i zestawy zadań maturalnych. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy6Typowe zadania krok po kroku
Wyznacz r i a₁, znając dwa wyrazy
Można też zapisać oba wyrazy ze wzoru ogólnego, a₁ + 2r = 7 i a₁ + 7r = 22, i rozwiązać układ równań. Wynik jest ten sam, ale sposób z liczeniem kroków jest szybszy.
Który to wyraz?
Szukamy n takiego, że 4 + (n − 1) · 6 = 70. Odejmujemy 4: (n − 1) · 6 = 66, więc n − 1 = 11 i n = 12. Gdyby wyszło n niecałkowite albo ujemne, liczba 70 w ogóle nie byłaby wyrazem tego ciągu.
Czy ciąg jest arytmetyczny?
Liczymy różnicę kolejnych wyrazów dla dowolnego n: an + 1 − an = [3(n + 1) − 2] − [3n − 2] = 3n + 1 − 3n + 2 = 3. Różnica nie zależy od n, więc ciąg jest arytmetyczny z r = 3. Dla porównania ciąg aₙ = n² nie jest arytmetyczny: 1, 4, 9, 16 mają różnice 3, 5, 7.
Trzy wyrazy z niewiadomą
Z własności wyrazu środkowego: 2 · 6 = x + (2x + 3), czyli 12 = 3x + 3, 3x = 9 i x = 3. Sprawdzenie: ciąg to 3, 6, 9, czyli r = 3.
Wzory na n-ty wyraz i sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz własność wyrazu środkowego są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Na maturze podstawowej ciąg arytmetyczny pojawia się w prawie każdym arkuszu: w zadaniach zamkniętych o konkretnym wyrazie lub różnicy oraz w zadaniach otwartych, w których trzeba z dwóch wyrazów wyznaczyć ciąg i policzyć sumę.
A. −13
B. −15
C. 23
D. −11
Rozwiązanie: a₁₀ = 5 + 9 · (−2) = 5 − 18 = −13. Odpowiedź A. Odpowiedź B wychodzi, gdy pomnoży się przez 10 zamiast przez 9, a C, gdy zgubi się minus przy r.
Odpowiedź: S₁₀ = 145. W zadaniu otwartym zapisz, skąd bierze się r i a₁, a potem wzór na sumę z podstawionymi liczbami.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to mnożenie r przez n zamiast przez n − 1. Drugi to błąd znaku, gdy r jest ujemne. Trzeci to liczenie r jako różnicy wyrazów nie sąsiednich bez dzielenia przez liczbę kroków, na przykład r = a₈ − a₃ zamiast (a₈ − a₃) : 5. Czwarty to w sumie zapomnienie o mnożeniu przez n albo dzielenie przez 2 tylko jednego wyrazu. Piąty to sprawdzanie arytmetyczności na kilku pierwszych wyrazach zamiast ogólnie. Szósty to pomylenie aₙ z Sₙ, czyli wyrazu z sumą.
8Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. a₁ = 3, r = 4. Oblicz a₁₅.
3 + 14 · 4 = 59
2. Ciąg 10, 7, 4, … Oblicz r i a₁₂.
r = −3, a₁₂ = 10 + 11 · (−3) = −23
3. a₂ = 5, a₆ = 17. Oblicz r.
17 = 5 + 4r, r = 3
4. Oblicz sumę 1 + 3 + 5 + … + 99.
n = 50 wyrazów, S = (1 + 99)/2 · 50 = 2500
5. a₁ = 2, r = 5. Oblicz S₁₀.
a₁₀ = 47, S = (2 + 47)/2 · 10 = 245
6. Czy aₙ = 7 − 2n jest arytmetyczny?
aₙ₊₁ − aₙ = −2, tak, r = −2
7. x + 1, 5, 2x tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz x.
10 = 3x + 1, x = 3
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” ciągi mają osobny dział: pojęcie ciągu, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny i zadania maturalne, także takie, które łączą oba rodzaje ciągów. Dalej są geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- DalejCiąg geometryczny – wzory i zadania krok po kroku
- Przyda się teżFunkcja liniowa
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
