Zadania zaczynające się od słów „Wykaż, że…” albo „Uzasadnij, że…” budzą respekt, bo nie ma w nich liczby do policzenia. Trzeba pokazać, że coś jest prawdą zawsze, dla każdej liczby. Dobra wiadomość jest taka, że dowody algebraiczne na maturze podstawowej powtarzają się w kilku schematach i każdy z nich ma swój sprawdzony sposób. W tym wpisie wyjaśniam, jak zapisywać liczby w dowodach, jakie są dwie główne strategie, i przeprowadzam krok po kroku siedem typowych dowodów.
1Czym jest dowód i za co są punkty
Dowód to ciąg poprawnych przekształceń, który pokazuje, że teza jest prawdziwa dla wszystkich liczb spełniających założenia, a nie tylko dla kilku przykładów. Sprawdzenie, że coś działa dla n = 1, 2 i 3, nie jest dowodem i nie daje punktów.
Na maturze podstawowej zadanie z dowodem jest zwykle warte 2 punkty. Egzaminator ocenia przede wszystkim, czy rozumowanie jest kompletne: czy każde przejście jest uzasadnione i czy na końcu jest jasno napisane, co z niego wynika. Częściowy punkt można dostać za istotny postęp, na przykład za poprawne przekształcenie wyrażenia, nawet jeśli dowód nie jest skończony.
2Jak zapisywać liczby w dowodach
Pierwszy krok w dowodzie o liczbach całkowitych to zapisanie ich za pomocą litery. Od dobrego zapisu zależy, czy dowód w ogóle się uda.
| Liczba | Zapis | Uwagi |
|---|---|---|
| dowolna liczba całkowita | n | n ∈ ℤ |
| liczba parzysta | 2k | k jest liczbą całkowitą |
| liczba nieparzysta | 2k + 1 | k jest liczbą całkowitą |
| trzy kolejne liczby całkowite | n, n + 1, n + 2 | albo n − 1, n, n + 1, co często upraszcza rachunki |
| dwie kolejne liczby nieparzyste | 2k + 1, 2k + 3 | różnią się o 2 |
| liczba podzielna przez 3 | 3k | |
| liczba dająca resztę 1 z dzielenia przez 3 | 3k + 1 | ogólnie: reszta r z dzielenia przez m to mk + r |
Liczba jest podzielna przez m, gdy da się ją zapisać jako m · (liczba całkowita). Dlatego cel dowodu o podzielności to doprowadzić wyrażenie do postaci m · (…), gdzie w nawiasie jest liczba całkowita.
3Dwie główne strategie
Przekształcamy jedną stronę tezy, zwykle bardziej skomplikowaną, aż dostaniemy drugą stronę. Dobra przy tożsamościach, podzielności i wyrażeniach z pierwiastkami.
Strategia 2: przekształcenia równoważne aż do oczywistej prawdyPrzekształcamy całą nierówność, za każdym razem tak, żeby nowa nierówność była równoważna poprzedniej (⟺), aż dojdziemy do czegoś oczywiście prawdziwego, najczęściej (a − b)² ≥ 0. Wtedy teza też jest prawdziwa.
Kluczowy fakt dla nierówności: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, czyli (a − b)² ≥ 0 dla dowolnych a i b. Bardzo wiele nierówności maturalnych sprowadza się właśnie do tego.
4Siedem typowych dowodów
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (n + 1)2 − (n − 1)2 jest podzielna przez 4.
Pomysł: przekształcić wyrażenie do postaci 4 · (liczba całkowita).
Wykaż, że suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 4.
Pomysł: zapisać liczby jako 2k + 1 i 2k + 3, dodać i wyłączyć 4 przed nawias.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n3 − n jest podzielna przez 6.
Pomysł: rozłożyć na czynniki i zauważyć iloczyn trzech kolejnych liczb.
To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród dwóch kolejnych liczb zawsze jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez 2. Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jedna dzieli się przez 3, więc iloczyn dzieli się przez 3.
Liczba n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Wykaż, że n2 przy dzieleniu przez 3 też daje resztę 1.
Pomysł: zapisać n = 3k + 1, podnieść do kwadratu i wydzielić wielokrotność 3.
Dowody algebraiczne, czyli zadania „wykaż” z liczb, nierówności i wyrażeń, wracają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” w zestawach zadań z kolejnych działów: liczb rzeczywistych, potęg, wyrażeń algebraicznych i wzorów skróconego mnożenia. Każde zadanie jest rozwiązane krok po kroku, z poprawnym zapisem.
Zobacz kurs na UdemyWykaż, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab.
Pomysł: przekształcić lewą stronę do prawej.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność x2 + y2 + 2 ≥ 2x + 2y.
Pomysł: przenieść wszystko na lewą stronę i zwinąć w sumę kwadratów.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzi nierówność ab + ba ≥ 2.
Pomysł: pozbyć się ułamków mnożąc przez ab, które jest dodatnie, i dojść do (a − b)² ≥ 0.
5Jak to zapisać: dobrze i źle
| Źle | Dobrze |
|---|---|
| „Sprawdzam: dla n = 1 wychodzi 4, dla n = 2 wychodzi 8, więc działa” | Ogólne przekształcenie dla dowolnego n i wniosek |
| Zaczynam od tezy jako faktu i dochodzę do 0 ≥ 0, pisząc kolejne nierówności bez ⟺ | Każde przejście oznaczam ⟺ albo opisuję, dlaczego jest równoważne |
| Mnożę przez a bez komentarza | Piszę: mnożę przez a, które jest dodatnie z założenia |
| Kończę na wyrażeniu 4(k + 1) | Dopisuję zdanie: liczba ma postać 4 · całkowita, więc jest podzielna przez 4. To kończy dowód. |
W arkuszu maturalnym z poziomu podstawowego jest zwykle przynajmniej jedno zadanie „wykaż” z algebry, najczęściej o podzielności, parzystości albo nierówności z kwadratem różnicy. Za pełny dowód są zwykle 2 punkty. Nawet jeśli nie widzisz całego rozwiązania, zacznij od poprawnego zapisu liczb i przekształcenia wyrażenia, bo za istotny postęp można dostać punkt.
Suma ma postać 3 · n, gdzie n jest liczbą całkowitą, więc jest podzielna przez 3. To kończy dowód. Zapis z liczbą środkową n daje od razu prostszy rachunek niż n, n + 1, n + 2.
(x − 3)² ≥ 0 dla każdego x, więc (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0. To kończy dowód. Można też zauważyć, że Δ = 36 − 40 < 0 i a > 0, więc parabola leży cała nad osią x. Oba uzasadnienia są poprawne.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to „dowód na przykładach”, czyli sprawdzenie kilku liczb. Drugi to zła reprezentacja liczb, na przykład zapisanie dwóch kolejnych liczb nieparzystych jako 2k + 1 i 2n + 1. Trzeci to brak zakończenia: przekształcenie jest poprawne, ale brakuje zdania, co z niego wynika. Czwarty to w nierównościach mnożenie lub dzielenie przez wyrażenie bez sprawdzenia jego znaku. Piąty to błędy znaków przy minusie przed nawiasem. Szósty to zakładanie tezy jako prawdziwej i dochodzenie do prawdy bez pilnowania, czy przejścia są równoważne.
7Spróbuj sam
Przeprowadź dowód samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć szkic rozwiązania.
1. Wykaż, że kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, czyli postać 2 · całkowita + 1
2. Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8.
2k · (2k + 2) = 4k(k + 1); k(k + 1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb, więc jest parzysty, czyli 4 · 2m = 8m
3. Wykaż, że dla dowolnych a i b zachodzi a² + b² ≥ 2ab.
⟺ a² − 2ab + b² ≥ 0 ⟺ (a − b)² ≥ 0, prawda
4. Wykaż, że liczba 7¹⁰ + 7¹¹ jest podzielna przez 8.
7¹⁰(1 + 7) = 8 · 7¹⁰
5. Wykaż, że dla x > 0 zachodzi x + 1/x ≥ 2.
mnożymy przez x > 0: x² + 1 ≥ 2x ⟺ (x − 1)² ≥ 0
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” zadania „wykaż” pojawiają się w zestawach zadań maturalnych z liczb rzeczywistych, potęg, wyrażeń algebraicznych i wzorów skróconego mnożenia. Każde jest rozwiązane krok po kroku, z zapisem, który egzaminator uzna za pełny dowód. Oglądasz w swoim tempie, zatrzymujesz film, próbujesz sam i porównujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Wyrażenia algebraiczne i równaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- WcześniejRównania wymierne
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
