Działania na potęgach: wszystkie wzory z przykładami
Potęgi pojawiają się w każdym dziale matematyki: w wyrażeniach algebraicznych, w procencie składanym, w ciągach geometrycznych, w funkcji wykładniczej i w logarytmach. Wzorów na działania na potęgach jest kilka, ale wszystkie wynikają z jednej prostej definicji. W tym wpisie przechodzimy przez każdy wzór: co mówi, dlaczego działa i jak go użyć. Na końcu są przykłady, w których trzeba połączyć kilka wzorów naraz, takie jak na maturze.
1Co to jest potęga
Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. a to podstawa, a n to wykładnik, który mówi, ile razy podstawa występuje w mnożeniu.
Na przykład 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, a 103 = 10 · 10 · 10 = 1000. W całym wpisie wykładniki są zaznaczone na pomarańczowo, bo to na nich wykonujemy większość działań.
Ten zapis „rozpisany” to klucz do wszystkich wzorów. Jeśli kiedyś zapomnisz wzoru, rozpisz potęgi na mnożenie, a wzór sam się pojawi.
2Wszystkie wzory w jednym miejscu
We wzorach a i b to liczby różne od zera, a m i n to wykładniki.
| Działanie | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| mnożenie potęg o tej samej podstawie | am · an = am + n | 23 · 24 = 27 |
| dzielenie potęg o tej samej podstawie | am : an = am − n | 56 : 52 = 54 |
| potęga potęgi | (am)n = am · n | (32)4 = 38 |
| potęga iloczynu | (a · b)n = an · bn | (2 · 5)3 = 23 · 53 |
| potęga ilorazu | (ab)n = anbn | (23)2 = 49 |
| wykładnik zero | a0 = 1 | 70 = 1 |
| wykładnik ujemny | a−n = 1an | 2−3 = 18 |
| wykładnik ułamkowy | amn = n | 813 = 38 = 2 |
3Każdy wzór osobno: co mówi i dlaczego działa
Dlaczego? Rozpiszmy 2³ · 2⁴. To (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2), czyli siedem dwójek pomnożonych przez siebie, a więc 2⁷. Trzy dwójki i cztery dwójki to razem 3 + 4 = 7 dwójek.
Dlaczego? Rozpiszmy 5⁶ : 5². To ułamek, w którym w liczniku jest sześć piątek, a w mianowniku dwie. Dwie piątki się skracają i zostają cztery: 5⁴. Sześć minus dwa to cztery.
Dlaczego? (3²)⁴ to 3² · 3² · 3² · 3², czyli cztery razy po dwie trójki. Razem 4 · 2 = 8 trójek, więc 3⁸.
Dlaczego? (2 · 5)³ to (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5). Kolejność mnożenia nie ma znaczenia, więc to 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = 2³ · 5³. Tak samo działa dzielenie: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.
Ten wzór działa też w drugą stronę i bardzo się przydaje: 2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000.
Dlaczego? Weźmy 5³ : 5³. Z jednej strony to liczba podzielona przez samą siebie, czyli 1. Z drugiej strony ze wzoru na dzielenie to 5³⁻³ = 5⁰. Żeby wzory się zgadzały, 5⁰ musi być równe 1.
Dlaczego? Weźmy 2³ : 2⁵. To ułamek z trzema dwójkami na górze i pięcioma na dole. Po skróceniu zostaje 1/2². Ze wzoru na dzielenie to 2³⁻⁵ = 2⁻². Czyli 2⁻² = 1/2² = 1/4. Minus w wykładniku oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną.
Dlaczego? Ile trzeba podnieść do kwadratu, żeby dostać 9? Ze wzoru na potęgę potęgi (9½)² = 9¹ = 9. Liczba, która podniesiona do kwadratu daje 9, to √9. Zatem 9½ = √9 = 3. Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, a licznik to potęga.
Przy wykładniku ułamkowym najwygodniej najpierw policzyć pierwiastek, a potem potęgę, bo wtedy liczby są mniejsze: 272/3 = (∛27)² = 3² = 9.
Potęgi i pierwiastki to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i trzy zestawy zadań, które łączą wszystkie wzory z tego wpisu. Ten sam sposób rozpisywania potęg wraca potem w logarytmach i funkcji wykładniczej.
Zobacz kurs na Udemy4Potęgi liczb ujemnych
Gdy podstawa jest ujemna, znak wyniku zależy od wykładnika. Iloczyn parzystej liczby czynników ujemnych jest dodatni, a nieparzystej ujemny.
| Wyrażenie | Rozpisanie | Wynik |
|---|---|---|
| (−2)4 | (−2) · (−2) · (−2) · (−2) | 16 |
| (−2)3 | (−2) · (−2) · (−2) | −8 |
| −24 | −(2 · 2 · 2 · 2) | −16 |
| (−1)100 | parzysty wykładnik | 1 |
| (−1)101 | nieparzysty wykładnik | −1 |
5Przykłady, w których łączymy kilka wzorów
W liczniku mnożenie potęg o tej samej podstawie: 25 · 23 = 28. Potem dzielenie: 28 : 26 = 22 = 4.
Potęga potęgi: (32)4 = 38. Mnożenie: 38 · 3−5 = 38 + (−5) = 33 = 27.
Podstawy są różne, więc wzorów nie da się od razu użyć. Najpierw sprowadzamy wszystko do tej samej podstawy, czyli do 2, bo 4 = 2² i 8 = 2³.
Krok 1. Zamieniamy podstawy
43 = (22)3 = 26 oraz 82 = (23)2 = 26.
Krok 2. Liczymy
Sprowadzanie do wspólnej podstawy to najważniejszy trik w zadaniach z potęgami. Warto znać na pamięć potęgi 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024), 3 (3, 9, 27, 81, 243) i 5 (5, 25, 125, 625).
Wzorów na potęgi nie da się użyć do dodawania. Ale mamy tu pięć jednakowych składników, a dodanie pięciu takich samych liczb to pomnożenie przez 5: 5 · 510 = 51 · 510 = 511.
Licznik: (x3)2 = x6, potem x6 · x−4 = x2. Mianownik to x¹, więc x2 : x1 = x1 = x.
6Notacja wykładnicza
Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisuje się w postaci a · 10ⁿ, gdzie 1 ≤ a < 10. Na przykład odległość Ziemi od Słońca to około 150 000 000 km, czyli 1,5 · 10⁸ km, a 0,0003 to 3 · 10⁻⁴.
Działania na takich liczbach to działania na potęgach dziesięciu: (2 · 103) · (4 · 105) = 8 · 108. Gdy liczba przed potęgą wyjdzie większa niż 10, trzeba ją poprawić: (5 · 104) · (6 · 103) = 30 · 107 = 3 · 108.
Wzory na działania na potęgach są w zestawie wzorów maturalnych CKE, więc nie musisz ich pamiętać, ale musisz umieć je szybko zastosować. Zadania z potęg są na maturze bardzo częste, zwykle jako zadania zamknięte z jednym trikiem: sprowadzeniem do wspólnej podstawy, zamianą wykładnika ujemnego albo ułamkowego, czy wyłączeniem wspólnego czynnika przed nawias przy dodawaniu potęg.
A. 25
B. 210
C. 2−5
D. 1
Rozwiązanie: sprowadzamy do podstawy 2. 410 = 220, 815 = 245. Zatem 230 · 220245 = 250245 = 25. Odpowiedź A.
Rozwiązanie: wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę, czyli 3²⁰. Pozostałe składniki to 3²¹ = 3²⁰ · 3 oraz 3²² = 3²⁰ · 9. Zatem 320 + 321 + 322 = 320 · (1 + 3 + 9) = 320 · 13. Liczba ma postać 13 · (liczba całkowita), więc jest podzielna przez 13. To kończy dowód. W zadaniu „wykaż” trzeba zapisać przekształcenie i na końcu jednym zdaniem stwierdzić, co z niego wynika.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to dodawanie wykładników przy dodawaniu potęg, na przykład 2³ + 2⁴ = 2⁷. Wzór na dodawanie wykładników dotyczy tylko mnożenia. Drugi to mnożenie podstaw przy mnożeniu potęg: 2³ · 2⁴ to 2⁷, a nie 4⁷. Trzeci to traktowanie wykładnika ujemnego jak liczby ujemnej. Czwarty to stosowanie wzorów do potęg o różnych podstawach bez sprowadzenia ich do wspólnej podstawy. Piąty to pomylenie (−2)⁴ z −2⁴. Szósty to potęgowanie sumy wyraz po wyrazie: (a + b)² ≠ a² + b².
8Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz 3⁴ · 3⁻².
3⁴⁻² = 3² = 9
2. Oblicz (2²)³ : 2⁵.
2⁶ : 2⁵ = 2¹ = 2
3. Oblicz 4⁻¹ + 2⁰.
1/4 + 1 = 5/4
4. Oblicz 163/4.
(⁴√16)³ = 2³ = 8
5. Zapisz 9⁵ · 27² jako potęgę liczby 3.
3¹⁰ · 3⁶ = 3¹⁶
6. Oblicz 2⁵ · 5⁵.
(2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000
7. Oblicz 2¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰.
2 · 2¹⁰⁰ = 2¹⁰¹
8. Oblicz (−3)³ i −3².
(−3)³ = −27, a −3² = −9
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” potęgi i pierwiastki mają lekcje z teorią i trzy zestawy zadań maturalnych, a zaraz po nich są logarytmy, które opierają się na tych samych wzorach. Dalej przechodzisz przez funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Wszystko krok po kroku, w twoim tempie, z możliwością powrotu do każdej lekcji.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejPotęgi o wykładniku wymiernym, czyli potęgi ułamki
- DalejUsuwanie niewymierności z mianownika: 4 typy zadań
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
