Graniastosłupy to bryły, które spotykasz codziennie: pudełko, cegła, kostka, namiot. Na maturze trzeba umieć obliczyć ich pole powierzchni i objętość, długość przekątnej, a także kąt między przekątną a podstawą. W tym wpisie wyjaśniam, z czego składa się graniastosłup, jakie są jego rodzaje, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania, łącznie z tymi, w których potrzebna jest trygonometria.
1Czym jest graniastosłup
Graniastosłup ma dwie podstawy: jednakowe wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach. Pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi, są równoległobokami. Odcinki łączące odpowiadające sobie wierzchołki podstaw to krawędzie boczne, a odległość między płaszczyznami podstaw to wysokość H.
| Rodzaj | Co to znaczy | Przykład |
|---|---|---|
| prosty | krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, ściany boczne są prostokątami | prostopadłościan |
| prawidłowy | prosty, a podstawa jest wielokątem foremnym | graniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa to trójkąt równoboczny |
| pochyły | krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw | przechylony stos kartek |
Nazwa graniastosłupa pochodzi od podstawy: trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Prostopadłościan to graniastosłup prosty, którego podstawą jest prostokąt, a sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe.
Ile wierzchołków, krawędzi i ścian?
| Graniastosłup n-kątny | Wierzchołki | Krawędzie | Ściany |
|---|---|---|---|
| wzór | 2n | 3n | n + 2 |
| trójkątny (n = 3) | 6 | 9 | 5 |
| czworokątny (n = 4) | 8 | 12 | 6 |
| sześciokątny (n = 6) | 12 | 18 | 8 |
Każda podstawa ma n wierzchołków i n krawędzi, a do tego dochodzi n krawędzi bocznych. Ścian jest n bocznych plus dwie podstawy.
2Pole powierzchni i objętość
Pₚ to pole jednej podstawy, a P_b to pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich ścian bocznych. W graniastosłupie prostym Pb = obwód podstawy · H.
| Podstawa | Pole podstawy |
|---|---|
| kwadrat o boku a | a2 |
| prostokąt a × b | a · b |
| trójkąt równoboczny o boku a | a234 |
| sześciokąt foremny o boku a | 3a232 (sześć trójkątów równobocznych) |
3Przekątne
Przekątna prostopadłościanu (czerwona) łączy przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez wnętrze bryły. Liczymy ją, stosując twierdzenie Pitagorasa dwa razy: najpierw przekątna podstawy d (miętowa), potem trójkąt z d i krawędzią c.
Stereometria ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobny dział: graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe, przekroje i kąty w bryłach, z zadaniami maturalnymi rozwiązywanymi krok po kroku. Twierdzenie Pitagorasa i trygonometria, na których to się opiera, są we wcześniejszych działach.
Zobacz kurs na Udemy4Przykłady krok po kroku
Sześcian ma 6 jednakowych kwadratowych ścian: Pc = 6 · 25 = 150. V = 5³ = 125. D = 5√3.
Sześciokąt foremny dzieli się na 6 trójkątów równobocznych o boku 2: Pp = 6 · 434 = 63. V = 6√3 · 5 = 30√3.
5Kąty w graniastosłupie
Na maturze często pojawia się kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy. Tworzy on trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i krawędzią boczną, więc liczy się go z trygonometrii.
Pole kwadratu można od razu policzyć z przekątnej: Pp = d²/2 = 25/2. To oszczędza liczenie boku.
Graniastosłupy, zwłaszcza prostopadłościan, sześcian i graniastosłupy prawidłowe, pojawiają się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych z objętością i przekątną oraz w zadaniach otwartych za kilka punktów, w których trzeba połączyć stereometrię z twierdzeniem Pitagorasa i trygonometrią. Wzory na pole i objętość są w zestawie wzorów CKE, ale w zadaniu z kątem najważniejsze jest dobre zaznaczenie trójkąta prostokątnego na rysunku.
A. 216
B. 36
C. 1083
D. 72
Rozwiązanie: D = a√3 = 6√3, więc a = 6, a V = 6³ = 216. Odpowiedź A. B to pole jednej ściany, a D to suma długości krawędzi (12 · 6).
Odpowiedź: V = 480, Pc = 376. Kąt 45° oznacza, że wysokość jest równa przekątnej podstawy, co bardzo upraszcza rachunki.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to doliczenie tylko jednej podstawy do pola powierzchni całkowitej. Drugi to pomylenie przekątnej ściany z przekątną bryły: w sześcianie a√2 i a√3. Trzeci to użycie krawędzi podstawy zamiast przekątnej podstawy w trójkącie z kątem nachylenia przekątnej. Czwarty to błędne pole podstawy trójkątnej, na przykład a²/2 zamiast a²√3/4 dla trójkąta równobocznego. Piąty to mylenie jednostek: pole w cm², objętość w cm³.
7Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Objętość prostopadłościanu 2 × 5 × 7?
70
2. Przekątna prostopadłościanu 2 × 3 × 6?
√(4 + 9 + 36) = 7
3. Pole powierzchni sześcianu o krawędzi 3?
54
4. Przekątna sześcianu o krawędzi 4?
4√3
5. Ile krawędzi ma graniastosłup pięciokątny?
15
6. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, a = 3, H = 8?
72
7. Sześcian o objętości 64. Pole powierzchni?
a = 4, Pc = 96
8. Prawidłowy trójkątny, a = 4, H = 5. Objętość?
4√3 · 5 = 20√3
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” stereometria ma osobny dział: graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stożek i kula, przekątne, przekroje i kąty w bryłach, a do tego zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku, z rysunkami. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejRównanie okręgu zadania krok po kroku i tipy
- DalejOstrosłupy – objętość, pole, wysokości i kąty
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
