Trygonometria zaczyna się od trójkąta prostokątnego. Sinus, cosinus i tangens to po prostu stosunki długości jego boków, a ich ogromna zaleta polega na tym, że zależą tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta. Dzięki temu znając jeden bok i jeden kąt, można obliczyć wszystkie pozostałe boki. W tym wpisie wyjaśniam definicje krok po kroku, pokazuję, jak obliczać boki i kąty, jak z jednej funkcji wyznaczyć pozostałe i jak to wykorzystać w zadaniach maturalnych.
1Nazwy boków względem kąta
W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok leży naprzeciw kąta prostego i nazywa się przeciwprostokątną. Dwa krótsze boki to przyprostokątne. Gdy patrzymy na kąt ostry α, jedna przyprostokątna leży przy nim (jest jednym z ramion kąta), a druga leży naprzeciw niego.
Role przyprostokątnych zależą od tego, na który kąt patrzymy. Ten sam trójkąt widziany od strony drugiego kąta ostrego β wygląda tak:
Pomarańczowy bok był naprzeciw α, a teraz leży przy β. Miętowy był przy α, a teraz jest naprzeciw β. Przeciwprostokątna zawsze zostaje przeciwprostokątną.
2Definicje
Na maturze podstawowej używa się sinusa, cosinusa i tangensa. Czasem spotkasz też cotangens, który jest odwrotnością tangensa: ctg α = (przy α) : (naprzeciw α).
Dlaczego te stosunki zależą tylko od kąta? Wszystkie trójkąty prostokątne z tym samym kątem α są do siebie podobne, czyli różnią się tylko skalą. Gdy wszystkie boki rosną dwa razy, ich stosunki się nie zmieniają.
| Funkcja | Rachunek | Wartość |
|---|---|---|
| sin α | 3 : 5 | 35 |
| cos α | 4 : 5 | 45 |
| tg α | 3 : 4 | 34 |
Dla drugiego kąta ostrego β role się zamieniają: sin β = 4/5, cos β = 3/5, tg β = 4/3.
Ważna obserwacja: sinus i cosinus kąta ostrego są zawsze mniejsze od 1, bo przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej. Tangens może być dowolną liczbą dodatnią.
3Obliczanie boków
Znamy bok i kąt
Przyprostokątna naprzeciw kąta 30° jest związana z przeciwprostokątną sinusem, a przyprostokątna przy kącie cosinusem.
Znamy bok i wartość funkcji
Trygonometria w trójkącie prostokątnym to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” pierwsza z trzech lekcji o trygonometrii, a potem są zestawy zadań maturalnych. Wiele z tych zadań rozwiązuję też na kanale Po prostu Licz na YouTube, w playliście o trygonometrii.
Zobacz kurs na Udemy4Wszystkie funkcje z jednej
Sposób 1: przez trójkąt
Rysujemy trójkąt, w którym przyprostokątna naprzeciw α ma 3, a przeciwprostokątna 5. Drugą przyprostokątną liczymy z Pitagorasa: √(25 − 9) = 4. Teraz odczytujemy: cos α = 4/5, tg α = 3/4.
Sposób 2: przez tożsamości
Oba sposoby dają ten sam wynik. Sposób z trójkątem jest bardziej obrazowy, a sposób z tożsamościami szybszy, gdy liczby są mniej wygodne.
5Najważniejsze tożsamości
| Tożsamość | Skąd się bierze |
|---|---|
| sin2α + cos2α = 1 | z twierdzenia Pitagorasa: (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = 1 |
| tg α = sin αcos α | (a/c) : (b/c) = a/b |
| sin α = cos(90° − α) | naprzeciw α leży ten sam bok, który jest przy drugim kącie ostrym |
| cos α = sin(90° − α) | analogicznie |
| tg α · tg(90° − α) = 1 | a/b · b/a = 1 |
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do 90°, więc 90° − α to drugi kąt ostry. Stąd na przykład sin 30° = cos 60° i sin 60° = cos 30°.
6Wartości dla 30°, 45° i 60°
Te trzy kąty mają dokładne wartości, które biorą się z dwóch prostych trójkątów. Połowa kwadratu o boku 1 ma przekątną √2 i kąty 45°, 45°, 90°. Połowa trójkąta równobocznego o boku 2 ma boki 1, √3 i 2 oraz kąty 30°, 60°, 90°.
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| sin | 12 | 22 | 32 |
| cos | 32 | 22 | 12 |
| tg | 33 | 1 | 3 |
Te wartości są w zestawie wzorów maturalnych CKE, ale warto je znać na pamięć, bo pojawiają się bardzo często. Dla innych kątów korzysta się z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, która też jest w zestawie wzorów.
7Wyznaczanie kąta
Gdy znamy wartość funkcji, szukamy kąta odwrotnie: z tabeli albo z tablic. Jeśli sin α = √3/2 i α jest ostry, to α = 60°. Jeśli tg α = 1, to α = 45°. Gdy znamy dwa boki, najpierw liczymy wartość odpowiedniej funkcji, a potem kąt.
Niech α leży naprzeciw boku 5. tg α = 5 : 5√3 = 1/√3 = √3/3, więc α = 30°. Drugi kąt ostry to 90° − 30° = 60°.
8Zastosowania
Drabina to przeciwprostokątna, a wysokość to przyprostokątna naprzeciw kąta 60°. h = 5 · sin 60° = 5 · √3/2 = 5√3/2 ≈ 4,33 m.
Cień to przyprostokątna przy kącie 45°, a wysokość drzewa to przyprostokątna naprzeciw. tg 45° = h : 12, a tg 45° = 1, więc h = 12 m.
Trygonometria w trójkącie prostokątnym pojawia się na maturze podstawowej w prawie każdym arkuszu: w zadaniach zamkniętych z definicjami i wartościami dla 30°, 45°, 60°, w zadaniach, w których z jednej funkcji trzeba wyznaczyć inną, oraz w geometrii, gdzie trzeba obliczyć wysokość, bok albo pole figury. Definicje, jedynka trygonometryczna i tabela wartości są w zestawie wzorów CKE.
A. 513
B. 1213
C. 512
D. 125
Rozwiązanie: przeciwprostokątna to √(25 + 144) = 13. Naprzeciw kąta leży bok 5, więc sinus to 5/13. Odpowiedź A. B to cosinus tego kąta, C to tangens, a D to tangens drugiego kąta.
Odpowiedź: cos α = √5/3, tg α = 2√5/5. W zadaniu otwartym zapisz, dlaczego wybierasz dodatni cosinus: bo kąt jest ostry.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie przyprostokątnej przy kącie z przyprostokątną naprzeciw kąta, przez co sinus zamienia się z cosinusem. Drugi to dzielenie przez przyprostokątną zamiast przez przeciwprostokątną przy sinusie i cosinusie. Trzeci to zamiana wartości sin 30° i sin 60°. Czwarty to przy jedynce trygonometrycznej zapomnienie o pierwiastku albo branie ujemnego cosinusa dla kąta ostrego. Piąty to używanie twierdzenia Pitagorasa lub funkcji trygonometrycznych w trójkącie, który nie jest prostokątny.
10Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Przyprostokątne 8 i 6. Oblicz sinus kąta naprzeciw boku 8.
c = 10, sin = 8/10 = 4/5
2. Przeciwprostokątna 12, kąt 60°. Przyprostokątna naprzeciw tego kąta?
12 · √3/2 = 6√3
3. Przyprostokątna przy kącie 45° ma 7. Druga przyprostokątna?
tg 45° = 1, więc też 7
4. cos α = 5/13, α ostry. Oblicz sin α i tg α.
sin α = 12/13, tg α = 12/5
5. tg α = √3, α ostry. Ile wynosi α?
60°
6. Oblicz sin²37° + cos²37°.
1, z jedynki trygonometrycznej
7. Oblicz sin 20° − cos 70°.
0, bo sin 20° = cos 70°
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” trygonometria ma trzy lekcje: funkcje w trójkącie prostokątnym, funkcje dowolnego kąta i tożsamości, a potem dwa zestawy zadań maturalnych. Te umiejętności wracają w planimetrii i stereometrii. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: TrygonometriaTrygonometria od podstaw
- DalejWartości funkcji trygonometrycznych dla 30°, 45° i 60°
- Przyda się teżKoła i okręgi. Koło i okrąg.
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
