7 maja 2018 roku maturzyści pisali matematykę na poziomie podstawowym w dwóch formułach: nowej i starej. Arkusze były prawie identyczne, różniły się tylko dwoma zadaniami: 18 i 27. Dlatego oba arkusze znajdziesz w jednym wpisie. Przy tych dwóch zadaniach pokazuję obie wersje, a przy pozostałych treść i rozwiązanie są wspólne.
Przy każdym zadaniu jest pełna treść, rozwiązanie krok po kroku schowane pod przyciskiem i, jeśli go nagrałam, film z rozwiązaniem. Spróbuj najpierw rozwiązać zadanie samodzielnie, a dopiero potem zajrzyj do rozwiązania.
1Jak korzystać z tego wpisu
Rozwiąż arkusz w warunkach egzaminu: 170 minut, kalkulator prosty i zestaw wzorów. Jeśli przygotowujesz się do obecnej matury, wybierz wersję nowej formuły w zadaniach 18 i 27. Potem sprawdź odpowiedzi w kluczu i przejrzyj rozwiązania zadań, w których się pomyliłeś.
2Zadania zamknięte (1–25)
Liczba 2log3 6 − log3 4 jest równa
Pokaż rozwiązanie
2log3 6 = log3 36, więc wyrażenie to log3 364 = log3 9 = 2.
Odpowiedź: B
Liczba 373 · 38156 jest równa
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy liczby pod pierwiastkiem: 73 · 8156 = 567168 = 278. Pierwiastek trzeciego stopnia z 27/8 to 3/2.
Odpowiedź: C
Dane są liczby a = 3,6 · 10−12 oraz b = 2,4 · 10−20. Wtedy iloraz ab jest równy
Pokaż rozwiązanie
3,62,4 = 1,5 oraz 10−12 : 10−20 = 108.
Odpowiedź: C
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował
Pokaż rozwiązanie
Po obniżce zostało 85% ceny: 0,85 · x = 850, więc x = 1000 zł.
Odpowiedź: C
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 − 2x2 > 13 jest przedział
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy przez 2: 1 − 2x > 23, czyli −2x > −13. Dzielimy przez −2 i zmieniamy zwrot: x < 16.
Odpowiedź: A
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = −2(x + 3)(x − 5). Liczby x₁, x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
Pokaż rozwiązanie
Z postaci iloczynowej miejsca zerowe to −3 i 5, więc ich suma to 2.
Odpowiedź: C
Równanie x2 + 2xx2 − 4 = 0
Pokaż rozwiązanie
Licznik x(x + 2) zeruje się dla 0 i −2. Mianownik (x − 2)(x + 2) nie może być zerem, więc wykluczamy 2 i −2. Zostaje tylko x = 0.
Odpowiedź: D
Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = 13x − 1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.
Pokaż rozwiązanie
a = ⅓ > 0, więc funkcja jest rosnąca. Wyraz wolny b = −1, więc wykres przecina oś Oy w punkcie (0, −1).
Odpowiedź: D
Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = x2 − 6x − 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Pokaż rozwiązanie
p = 6 : 2 = 3, q = f(3) = 9 − 18 − 3 = −12.
Odpowiedź: C
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax + b, a punkt M = (3, −2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
Pokaż rozwiązanie
f(1) = 0 daje a + b = 0, a f(3) = −2 daje 3a + b = −2. Odejmujemy równania: 2a = −2, więc a = −1.
Odpowiedź: D
Dany jest ciąg (aₙ) określony wzorem an = 5 − 2n6 dla n ≥ 1. Ciąg ten jest
Pokaż rozwiązanie
an = 56 − 13n, czyli wzór liniowy względem n. Ciąg jest arytmetyczny, a różnica to współczynnik przy n: r = −⅓.
Odpowiedź: A
Dla ciągu arytmetycznego (aₙ), określonego dla n ≥ 1, jest spełniony warunek a₄ + a₅ + a₆ = 12. Wtedy
Pokaż rozwiązanie
W ciągu arytmetycznym a₄ + a₆ = 2a₅, więc 3a₅ = 12 i a₅ = 4.
Odpowiedź: A
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyDany jest ciąg geometryczny (aₙ), określony dla n ≥ 1, w którym a1 = 2, a2 = 22, a3 = 42. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
Pokaż rozwiązanie
Iloraz q = 2, więc an = 2 · 2n − 1 = 2n2. Sprawdzenie dla n = 1: 2/√2 = √2.
Odpowiedź: B
Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (kąt prosty przy M, kąt α przy wierzchołku K). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
Pokaż rozwiązanie
Bok LM leży naprzeciw kąta α, więc sin α = 3/8 = 0,375. Z tablic sin 21° ≈ 0,358 i sin 24° ≈ 0,407, więc α leży między 21° a 24° (α ≈ 22°).
Odpowiedź: C
Dany jest trójkąt o bokach długości: 25, 35, 45. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
Pokaż rozwiązanie
Boki danego trójkąta są w stosunku 2 : 3 : 4. Ten sam stosunek mają boki 10, 15, 20 (skala √5 · √5 = 5).
Odpowiedź: A
Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek w arkuszu), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że
Pokaż rozwiązanie
Kąt środkowy KSL jest dwa razy większy od kąta wpisanego KML opartego na tym samym łuku: α = 2β. Wtedy 3β = 111°, β = 37° i α = 74°.
Odpowiedź: A
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b (kąty proste przy K i N). Kąt KLM ma miarę 60°. Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
Pokaż rozwiązanie
Wysokość z punktu M odcina przy L trójkąt prostokątny, którego przyprostokątna przy kącie 60° ma długość a − b. Ramię LM jest przeciwprostokątną: |LM| = (a − b) : cos 60° = 2(a − b).
Odpowiedź: B
Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM| = |LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4, 3). Zatem
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę KL dzieli ją na połowy, więc N jest środkiem odcinka KL. Zatem L = 2N − K = (8 − 2, 6 − 2) = (6, 4).
Odpowiedź: B
Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6, 8), L = (−6, −8). Równanie tego okręgu ma postać
Pokaż rozwiązanie
Środek okręgu to środek średnicy: (0, 0). Promień to odległość od środka do K: √(36 + 64) = 10, więc r² = 100.
Odpowiedź: B
Proste o równaniach y = (m + 2)x + 3 oraz y = (2m − 1)x − 3 są równoległe, gdy
Pokaż rozwiązanie
Współczynniki kierunkowe muszą być równe: m + 2 = 2m − 1, więc m = 3.
Odpowiedź: B
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek w arkuszu). Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
Pokaż rozwiązanie
Trójkąty KNS i MNS są prostokątne z przyprostokątnymi 4 i 4, więc |KS| = |MS| = 4√2. Odcinek KM to przekątna kwadratu: 4√2.
Trójkąt KSM ma trzy równe boki, jest równoboczny, więc α = 60°.
Odpowiedź: D
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek w arkuszu). Wysokość graniastosłupa jest równa
Pokaż rozwiązanie
Przekątna podstawy ma długość √(9 + 16) = 5. Przy kącie 45° wysokość jest równa przekątnej podstawy: H = 5 · tg 45° = 5.
Odpowiedź: A
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
Pokaż rozwiązanie
Walec: πr² · r = πr³. Półkula: połowa z 43πr3, czyli 23πr3. Razem 53πr3.
Odpowiedź: A
W zestawie 2, 2, 2, …, 2, 4, 4, 4, …, 4 jest 2m liczb (m ≥ 1), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
Pokaż rozwiązanie
Średnia to 3, a każda liczba odchyla się od niej o 1. Wariancja to średnia kwadratów odchyleń, czyli 1, więc odchylenie standardowe też jest równe 1.
Odpowiedź: B
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
Pokaż rozwiązanie
To liczby 1000, 1005, 1010, …, 2015. Ich liczba: (2015 − 1000) : 5 + 1 = 203 + 1 = 204.
Odpowiedź: D
W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
Pokaż rozwiązanie
Kuponów wygrywających jest 50 − 15 = 35, więc P = 35/50.
Odpowiedź: D
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. Zapisuj obliczenia i kończ każde zadanie odpowiedzią albo zdaniem, że dowód jest zakończony.
Rozwiąż nierówność
2x2 − 3x > 5
Pokaż rozwiązanie
Przenosimy 5: 2x² − 3x − 5 > 0. Δ = 9 + 40 = 49, √Δ = 7.
x1 = 3 − 74 = −1, x2 = 3 + 74 = 52. Ramiona paraboli idą w górę.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1) ∪ (52, +∞)
Rozwiąż równanie
(x3 + 125)(x2 − 64) = 0
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. x³ + 125 = 0 daje x³ = −125, czyli x = −5. x² − 64 = 0 daje x = 8 albo x = −8.
Odpowiedź: x ∈ {−8, −5, 8}
Rozwiąż równanie
x3 − 7x2 − 4x + 28 = 0
Pokaż rozwiązanie
Grupujemy wyrazy: x²(x − 7) − 4(x − 7) = 0, czyli (x − 7)(x² − 4) = 0, czyli (x − 7)(x − 2)(x + 2) = 0.
Odpowiedź: x ∈ {−2, 2, 7}
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność
12a + 12b ≥ 2a + b
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy obie strony przez 2ab(a + b), które jest dodatnie, więc zwrot nierówności się nie zmienia: b(a + b) + a(a + b) ≥ 4ab.
Lewa strona to (a + b)², więc dostajemy (a + b)² ≥ 4ab, czyli a² + 2ab + b² − 4ab ≥ 0, czyli (a − b)² ≥ 0.
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, a wszystkie przekształcenia były równoważne. To kończy dowód.
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek w arkuszu). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 − 1.
Pokaż rozwiązanie
Niech O będzie wierzchołkiem kąta, a r promieniem mniejszego okręgu (o środku B, bliżej wierzchołka). Środki obu okręgów leżą na dwusiecznej kąta prostego, a odległość środka od wierzchołka to promień razy √2: |OA| = 2√2, |OB| = r√2.
Okręgi są styczne zewnętrznie, więc |AB| = 2 + r. Jednocześnie |AB| = |OA| − |OB| = 2√2 − r√2. Stąd r(1 + √2) = 2√2 − 2 i r = 2(√2 − 1)/(√2 + 1) = 2(√2 − 1)².
Ponieważ 0 < √2 − 1 < 1 i 2(√2 − 1) < 1, mamy r = 2(√2 − 1) · (√2 − 1) < √2 − 1. Liczbowo r = 6 − 4√2 ≈ 0,34, a √2 − 1 ≈ 0,41. To kończy uzasadnienie.
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = ax (gdzie a > 0 i a ≠ 1), należy punkt P = (2, 9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x) = f(x) − 2.
Pokaż rozwiązanie
f(2) = a² = 9, a ponieważ a > 0, to a = 3.
Funkcja 3ˣ przyjmuje wszystkie wartości dodatnie, czyli zbiór (0, +∞). Odjęcie 2 przesuwa wykres o 2 w dół.
Odpowiedź: a = 3, zbiór wartości g to (−2, +∞)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (aₙ), określonego dla n ≥ 1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie
S12 = a1 + 302 · 12 = 6(a1 + 30) = 162, więc a₁ + 30 = 27 i a₁ = −3.
Odpowiedź: a₁ = −3
W układzie współrzędnych punkty A = (4, 3) i B = (10, 5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Pokaż rozwiązanie
Kąt ABC jest prosty, więc prosta BC jest prostopadła do AB. Współczynnik kierunkowy AB: (5 − 3)/(10 − 4) = ⅓, więc prosta BC ma współczynnik −3.
Prosta BC przez B: y − 5 = −3(x − 10), czyli y = −3x + 35.
Punkt C leży też na prostej y = 2x + 3: 2x + 3 = −3x + 35, więc 5x = 32, x = 32/5, a y = 64/5 + 3 = 79/5.
Odpowiedź: C = (325, 795)
Dane są dwa zbiory: A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Pokaż rozwiązanie
|Ω| = 7 · 7 = 49. Liczy się tylko reszta z dzielenia przez 3.
W zbiorze A: reszta 0 mają 300 i 600 (2 liczby), reszta 1 mają 100, 400, 700 (3 liczby), reszta 2 mają 200 i 500 (2 liczby). W zbiorze B: reszta 0 mają 12 i 15 (2), reszta 1 mają 10, 13, 16 (3), reszta 2 mają 11 i 14 (2).
Suma dzieli się przez 3, gdy reszty to (0, 0), (1, 2) albo (2, 1): 2 · 2 + 3 · 2 + 2 · 3 = 4 + 6 + 6 = 16.
Odpowiedź: P = 16/49
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek w arkuszu). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 453. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Pokaż rozwiązanie
Pole całkowite to 2 podstawy i 3 ściany boczne, a wszystkie mają to samo pole Pₚ: 5Pₚ = 45√3, więc Pₚ = 9√3.
Podstawa to trójkąt równoboczny: a234 = 93, więc a² = 36 i a = 6.
Ściana boczna to prostokąt a × H o polu 9√3: 6H = 9√3, więc H = 332.
V = 93 · 332 = 812.
Odpowiedź: V = 81/2
4Czego uczy ten arkusz
W zadaniu 4 trzeba pamiętać, że obniżka liczy się od starej ceny, więc 850 zł to 85% ceny przed obniżką, a nie cena pomniejszona o 15% z 850 zł. W zadaniu 7 liczby zerujące mianownik nie są rozwiązaniami równania, a w zadaniu 24 łatwo zgubić jedną liczbę, licząc wyrazy ciągu 1000, 1005, …, 2015. Zadanie 23 pokazuje, że odchylenie standardowe można policzyć bez wzoru, gdy każda liczba odchyla się od średniej o tyle samo.
Zadania otwarte sprawdzają różne umiejętności: dowód nierówności sprowadzonej do kwadratu różnicy (28), geometrię z okręgami wpisanymi w kąt (29), prostopadłość prostych w układzie współrzędnych (32) i liczenie wyników sprzyjających przez reszty z dzielenia (33). Każdy z tych tematów omawiam w osobnych wpisach na blogu.
Rozwiązania zadań z matur z poprzednich lat są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejZbiór zadań CKE z matematyki (poziom podstawowy): treści zadań i rozwiązania krok po kroku
- DalejMatura z matematyki maj 2019, poziom podstawowy (nowa formuła): zadania i rozwiązania
- Przyda się teżDarmowy kurs maturalny z matematyki: zadania, które były na maturze
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
