Zadania z prędkością, drogą i czasem to klasyka zadań tekstowych: pociągi, rowerzyści, łodzie płynące z prądem i pod prąd. Wszystkie opierają się na jednym wzorze, ale łatwo pomylić się w jednostkach albo przy prędkości średniej. W tym wpisie pokazuję wzór i jego przekształcenia, zamianę jednostek i rozwiązuję krok po kroku wszystkie typowe rodzaje zadań.
1Wzór
Prędkość to droga przebyta w jednostce czasu. Jadąc 80 km/h, w ciągu każdej godziny pokonujesz 80 km. Wzór dotyczy ruchu ze stałą prędkością.
Z tego jednego wzoru wynikają dwa pozostałe: s = v · t i t = s : v. Łatwo je zapamiętać dzięki trójkątowi: zasłoń palcem wielkość, której szukasz, a to, co zostanie, pokaże działanie.
2Jednostki
| Zamiana | Jak | Przykład |
|---|---|---|
| km/h → m/s | podziel przez 3,6 | 72 km/h = 20 m/s |
| m/s → km/h | pomnóż przez 3,6 | 15 m/s = 54 km/h |
| minuty → godziny | podziel przez 60 | 20 min = ⅓ h, 45 min = ¾ h, 90 min = 1,5 h |
| godziny → godziny i minuty | część dziesiętną razy 60 | 2,4 h = 2 h 24 min |
Skąd 3,6? 1 km = 1000 m, a 1 h = 3600 s, więc 1 km/h = 1000/3600 m/s = 1/3,6 m/s.
3Trzy podstawowe typy
v = 2403 = 80 km/h.
Najpierw czas w godzinach: 2 h 30 min = 2,5 h. Potem s = 90 · 2,5 = 225 km.
t = 36 : 16 = 2,25 h. Zamiana: 0,25 h = 0,25 · 60 min = 15 min.
4Prędkość średnia
To nie jest średnia arytmetyczna prędkości.
Zadania tekstowe z prędkością, drogą i czasem pojawiają się w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” przy proporcjonalności, równaniach i układach równań. Każde zadanie jest rozpisane krok po kroku: od oznaczenia niewiadomych do sprawdzenia wyniku.
Zobacz kurs na Udemy5Dwa obiekty w ruchu
Naprzeciw siebie
Gdy dwa obiekty jadą naprzeciw siebie, odległość między nimi maleje z prędkością równą sumie ich prędkości.
Prędkość zbliżania: 70 + 80 = 150 km/h. Czas: 300 : 150 = 2 h. Pierwszy przejedzie 140 km, a drugi 160 km, razem 300.
Pościg
Gdy obiekty jadą w tym samym kierunku, szybszy dogania wolniejszego z prędkością równą różnicy ich prędkości.
Sposób przez prędkość doganiania: po godzinie rowerzysta jest 15 km przed motocyklistą, a odległość maleje z prędkością 45 − 15 = 30 km/h, więc 15 : 30 = 0,5 h.
6Z prądem i pod prąd
Łódź płynąca z prądem rzeki porusza się z prędkością v + u, gdzie v to prędkość łodzi w stojącej wodzie, a u prędkość prądu. Pod prąd płynie z prędkością v − u.
To klasyczny przykład zadania, które rozwiązuje się układem równań metodą przeciwnych współczynników.
7Wykres drogi od czasu
Przy stałej prędkości droga jest wprost proporcjonalna do czasu: s = v · t. Wykresem jest prosta przechodząca przez początek układu, a prędkość to jej współczynnik kierunkowy.
Zadania z prędkością, drogą i czasem pojawiają się na maturze podstawowej jako zadania tekstowe, zwykle rozwiązywane równaniem albo układem równań, oraz w zadaniach zamkniętych z zamianą jednostek i prędkością średnią. Kluczowe są dwie rzeczy: zgodne jednostki i dobre oznaczenie niewiadomych.
A. 30 m
B. 108 m
C. 300 m
D. 3 m
Rozwiązanie: 108 : 3,6 = 30 m/s. Odpowiedź A. Odpowiedź C to wynik dzielenia przez 0,36, a D przez 36, czyli błąd z przecinkiem. B to sama liczba z treści.
Odpowiedź: 72 km/h. Średnia arytmetyczna 75 km/h byłaby błędem, bo wolniejszy odcinek trwał dłużej.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to niezgodne jednostki, zwłaszcza minuty we wzorze z km/h. Drugi to liczenie prędkości średniej jako średniej arytmetycznej. Trzeci to zła zamiana ułamka godziny, na przykład 2,5 h jako 2 h 50 min zamiast 2 h 30 min. Czwarty to przy ruchu naprzeciw siebie odejmowanie prędkości zamiast dodawania, a przy pościgu odwrotnie. Piąty to w pościgu zapomnienie, że jeden obiekt jechał dłużej. Szósty to brak sprawdzenia, czy wynik ma sens, na przykład czy rowerzysta nie jedzie 200 km/h.
9Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Zamień 90 km/h na m/s.
25 m/s
2. Zamień 20 m/s na km/h.
72 km/h
3. Ile km przejedzie auto przez 40 min z prędkością 75 km/h?
75 · ⅔ = 50 km
4. Ile czasu zajmie 210 km przy 84 km/h?
2,5 h = 2 h 30 min
5. Tam 30 km/h, z powrotem 60 km/h, ta sama droga. Prędkość średnia?
np. 60 km: 2 h + 1 h, 120 : 3 = 40 km/h
6. Dwa pociągi 400 km od siebie, 90 i 110 km/h naprzeciw. Kiedy się spotkają?
po 2 h
7. Pieszy 5 km/h, rowerzysta 20 km/h wyjeżdża 30 min później. Kiedy dogoni?
2,5 km przewagi : 15 km/h = 10 min
8. Łódź: z prądem 15 km/h, pod prąd 9 km/h. Prędkość prądu?
(15 − 9) : 2 = 3 km/h
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” zadania tekstowe z prędkością, pracą, procentami i wiekiem pojawiają się przy proporcjonalności, równaniach, układach równań i funkcji liniowej. Każde jest rozwiązane krok po kroku, od oznaczenia niewiadomych do sprawdzenia wyniku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Jednostki, czas i skalaZamiana jednostek długości
- WcześniejZamiana jednostek czasu
- DalejCo to jest skala?
- Przyda się teżUkłady równań liniowych – trzy metody krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
