Proporcje pojawiają się wszędzie tam, gdzie coś trzeba przeliczyć: przepis na więcej osób, cena za kilka kilogramów, skala na mapie, czas pracy przy innej liczbie pracowników. W tym wpisie wyjaśniam, czym jest proporcja i jak ją rozwiązać, czym różni się proporcjonalność prosta od odwrotnej, jak je rozpoznać w zadaniu tekstowym i jak dzielić liczby w danym stosunku. Wszystko krok po kroku, z tabelami i wykresami.
1Proporcja i jak ją rozwiązać
Proporcja to równość dwóch ilorazów. Najważniejsza własność: iloczyn wyrazów „skrajnych” (a i d) równa się iloczynowi wyrazów „środkowych” (b i c). W praktyce mówi się, że mnożymy na krzyż.
Sprawdzenie: 8/6 = 4/3, bo po skróceniu przez 2 wychodzi 4/3.
Mnożymy na krzyż, biorąc licznik w nawias, bo mnożymy cały licznik:
2Proporcjonalność prosta
Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały. Jeśli jedna rośnie 2, 3 czy 10 razy, druga rośnie tyle samo razy. Stała a to współczynnik proporcjonalności.
Przykład: kilogram jabłek kosztuje 4 zł. Cena zależy od masy wprost proporcjonalnie:
| Masa (kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 0,5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Cena (zł) | 4 | 8 | 12 | 20 | 2 |
| Cena : masa | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
Iloraz cena : masa wynosi zawsze 4, więc y = 4x. Wykresem proporcjonalności prostej jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych, czyli szczególna funkcja liniowa z b = 0.
3Proporcjonalność odwrotna
Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały. Jeśli jedna rośnie 2 razy, druga maleje 2 razy.
Przykład: trzeba przejechać 120 km. Im szybciej jedziemy, tym krócej trwa podróż, a iloczyn prędkości i czasu to zawsze 120 km:
| Prędkość (km/h) | 20 | 30 | 40 | 60 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|
| Czas (h) | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| Prędkość · czas | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 |
Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola. Dla dodatnich x krzywa opada coraz łagodniej, ale nigdy nie dotyka osi.
4Jak rozpoznać rodzaj zależności
| Proporcjonalność prosta | Proporcjonalność odwrotna | |
|---|---|---|
| intuicja | im więcej jednego, tym więcej drugiego, w tym samym stosunku | im więcej jednego, tym mniej drugiego |
| co jest stałe | iloraz y : x | iloczyn x · y |
| wzór | y = ax | y = a/x |
| wykres | prosta przez (0, 0) | hiperbola |
| przykłady | cena i liczba sztuk, droga i czas przy stałej prędkości, składniki i liczba porcji | liczba pracowników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu, liczba osób i kawałek tortu dla każdej |
Proporcje i proporcjonalność wracają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” w wielu miejscach: przy procentach, funkcji liniowej, funkcji wymiernej i w planimetrii, przy podobieństwie figur. Każdy temat jest rozpisany krok po kroku, a potem przećwiczony na zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy5Zadania tekstowe krok po kroku
Najwygodniejsza metoda to „strzałki”. Zapisujemy dane w dwóch kolumnach: na górze to, co znamy, a na dole nową sytuację. W pierwszej kolumnie rysujemy strzałkę z góry na dół. W drugiej rysujemy strzałkę w tę samą stronę przy proporcjonalności prostej, a w przeciwną przy odwrotnej. Przy prostej układamy proporcję, a przy odwrotnej korzystamy z tego, że iloczyn jest stały.
Można też przez jedną sztukę: 12 : 3 = 4 zł za zeszyt, więc 7 · 4 = 28 zł.
Więcej osób, więcej mąki: proporcjonalność prosta. 46 = 300x, więc 4x = 1800 i x = 450 g. Albo: 6 osób to 1,5 razy więcej niż 4, więc mąki też 1,5 razy więcej: 1,5 · 300 = 450 g.
Skala 1 : 50 000 oznacza, że 1 cm na mapie to 50 000 cm w terenie. To proporcjonalność prosta: 4 cm na mapie to 4 · 50 000 = 200 000 cm. Zamieniamy jednostki: 200 000 cm = 2000 m = 2 km.
Przy proporcjonalności odwrotnej iloczyn jest stały: 4 · 6 = 3 · x, więc 24 = 3x i x = 8. Liczba 24 ma sens: to „malarzodni”, czyli łączna ilość pracy.
Większa prędkość, krótszy czas: proporcjonalność odwrotna. 60 · 3 = 90 · x, więc 180 = 90x i x = 2 godziny. Iloczyn 180 to długość trasy w kilometrach.
6Podział w danym stosunku
Podzielić liczbę w stosunku 2 : 3 to rozdzielić ją na dwie części, w których na każde 2 jednostki pierwszej części przypadają 3 jednostki drugiej. Najprościej policzyć wszystkie „części” i jedną część.
Razem jest 2 + 3 = 5 części. Jedna część to 120 : 5 = 24 zł. Pierwsza osoba dostaje 2 · 24 = 48 zł, a druga 3 · 24 = 72 zł. Sprawdzenie: 48 + 72 = 120 i 48 : 72 = 2 : 3.
Tak samo dzielimy na więcej części: 360 w stosunku 1 : 2 : 3 to 6 części po 60, czyli 60, 120 i 180.
Proporcje i proporcjonalność pojawiają się na maturze w wielu przebraniach: w zadaniach z procentami, w funkcji liniowej i wymiernej, w zadaniach o podobieństwie figur, w skali, w zadaniach tekstowych z pracą i prędkością. Bardzo często trzeba rozwiązać proporcję z niewiadomą albo rozpoznać, czy wielkości są proporcjonalne wprost, czy odwrotnie.
A. 12
B. 3
C. 24
D. 13
Rozwiązanie: przy proporcjonalności odwrotnej iloczyn jest stały: 4 · 6 = 24. Zatem 8 · y = 24 i y = 3. Odpowiedź B. Odpowiedź A to wynik dla proporcjonalności prostej, a C to sam iloczyn.
Rozwiązanie: mnożymy na krzyż, biorąc liczniki w nawiasy: 2(2x − 1) = 3(x + 2). Wymnażamy: 4x − 2 = 3x + 6. Przenosimy: 4x − 3x = 6 + 2, czyli x = 8. Sprawdzenie: (16 − 1)/3 = 5 i (8 + 2)/2 = 5. Odpowiedź: x = 8.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie proporcjonalności prostej z odwrotną, zwłaszcza w zadaniach z pracownikami i prędkością. Drugi to brak nawiasu przy mnożeniu na krzyż, gdy licznik jest sumą. Trzeci to uznanie każdej zależności rosnącej za proporcjonalną, choć na przykład koszt z opłatą stałą nie jest proporcjonalny. Czwarty to przy podziale w stosunku 2 : 3 dzielenie przez 2 i przez 3 zamiast przez sumę części, czyli 5. Piąty to w zadaniach ze skalą zapomnienie o zamianie jednostek.
8Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozwiąż x/5 = 6/10.
10x = 30, x = 3
2. Rozwiąż 3/(x − 1) = 1/2.
x − 1 = 6, x = 7
3. 5 kg ziemniaków kosztuje 15 zł. Ile kosztuje 8 kg?
prosta: 3 zł/kg, 24 zł
4. 6 pomp opróżnia basen w 10 h. W ile godzin zrobi to 5 pomp?
odwrotna: 6 · 10 = 5 · x, x = 12 h
5. Na mapie 1 : 20 000 odcinek ma 7 cm. Ile to w terenie?
140 000 cm = 1,4 km
6. Podziel 84 w stosunku 3 : 4.
7 części po 12: 36 i 48
7. Czy cena za bilety, gdy jest stała opłata rezerwacyjna, jest proporcjonalna do liczby biletów?
nie, bo dla 0 biletów koszt nie jest 0, a iloraz nie jest stały
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” proporcje i proporcjonalność łączą się z procentami, funkcją liniową, funkcją wymierną i planimetrią. Kurs prowadzi od liczb i ułamków aż po geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo, a każdy dział ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: ProcentyJak obliczyć procent z liczby? 5 przykładów krok po kroku
- DalejJak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?
- Przyda się teżCo to jest skala?
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
