Nierówności liniowe rozwiązuje się prawie tak samo jak równania. Prawie, bo jest jedna reguła, o której trzeba pamiętać, i to ona jest źródłem większości błędów. Drugą różnicą jest odpowiedź: rozwiązaniem nierówności nie jest jedna liczba, tylko cały zbiór liczb, zwykle przedział. W tym wpisie pokazuję zasady, rozwiązuję krok po kroku nierówności z nawiasami i ułamkami, każdą rysuję na osi liczbowej, a na końcu omawiam układy nierówności i zadanie tekstowe.

1Znaki nierówności i zapis rozwiązania

Rozwiązanie można zapisać na trzy sposoby: jako prostą nierówność (x < 4), jako przedział (x ∈ (−∞; 4)) albo na osi liczbowej. Na maturze zwykle oczekuje się przedziału. Więcej o zapisie przedziałów jest we wpisie o działaniach na przedziałach.

2Zasady przekształceń

Dlaczego znak się odwraca?

Weźmy prawdziwą nierówność 2 < 5. Pomnóżmy obie strony przez −1. Dostajemy −2 i −5. Na osi liczbowej −2 leży na prawo od −5, czyli −2 > −5. Mnożenie przez liczbę ujemną „odbija” liczby względem zera, a wtedy ich kolejność się odwraca. Gdybyśmy zostawili znak, dostalibyśmy fałsz: −2 < −5.

3Przykłady krok po kroku

Na pomarańczowym tle jest wyraz, z którym coś robimy, a na czerwono znak, który się odwraca.

Sprawdzenie dla x = −4, które powinno spełniać nierówność: 5 − 3 · (−4) = 5 + 12 = 17 ≥ 14. Zgadza się. A x = 0 nie powinno: 5 ≥ 14 to fałsz.

Można też uniknąć dzielenia przez liczbę ujemną, przenosząc x na drugą stronę: 5 − 14 ≥ 3x, czyli −9 ≥ 3x, czyli −3 ≥ x. To ten sam wynik zapisany od drugiej strony.

4Gdy x znika

Czasem po przekształceniach x znika z obu stron. Wtedy zostaje zdanie o liczbach, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

Odejmujemy x od obu stron: 2 < 0. To fałsz, niezależnie od x. Nierówność nie ma rozwiązań.

3x − 3 − 2x > x − 10, czyli x − 3 > x − 10, czyli −3 > −10. To prawda dla każdego x, więc każda liczba rzeczywista spełnia nierówność.

5Najmniejsza i największa liczba całkowita

2x < 7, czyli x < 3,5. Liczby całkowite mniejsze od 3,5 to …, 1, 2, 3. Największa z nich to 3. Uważaj: 4 już nie spełnia nierówności, a 3,5 nie jest liczbą całkowitą.

Przy nierówności ostrej, na przykład x < 4, największą liczbą całkowitą jest 3, a przy nieostrej, x ≤ 4, już 4.

6Układ nierówności i nierówność podwójna

Układ nierówności to kilka nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie. Rozwiązujemy każdą osobno, a wynikiem jest część wspólna rozwiązań.

Pierwsza: 2x > 4, czyli x > 2. Druga: x ≤ 6. Rysujemy obie na osi i bierzemy to, co jest zamalowane w obu wierszach:

Nierówność podwójna to skrót układu. Te same działania wykonujemy na wszystkich trzech częściach naraz: odejmujemy 3, czyli −4 < 2x ≤ 4, i dzielimy przez 2, czyli −2 < x ≤ 2.

7Zadanie tekstowe

Niech x to liczba minut. Koszt A to 30 + 0,1x, a koszt B to 0,25x. Szukamy x, dla których A jest tańszy:

Sprawdzenie dla 200 minut: A kosztuje 30 + 20 = 50 zł, a B też 0,25 · 200 = 50 zł. Przy 200 minutach koszty są równe, a powyżej abonament A jest tańszy.

8Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to brak odwrócenia znaku przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną. Drugi to odwracanie znaku przy dodawaniu lub odejmowaniu, choć wtedy znak się nie zmienia. Trzeci to zły nawias w odpowiedzi: przy ≤ i ≥ koniec należy do przedziału, przy < i > nie. Czwarty to błędy z minusem przed nawiasem i przy mnożeniu przez wspólny mianownik, tak samo jak w równaniach. Piąty to w układzie nierówności branie sumy rozwiązań zamiast części wspólnej.

9Sprawdź się

Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.