Równanie okręgu: zadania krok po kroku
W tym wpisie znajdziesz zadania z równania okręgu rozwiązane krok po kroku, od najprostszych po typowo maturalne. Do każdego zadania jest rysunek, żeby było widać, co się dzieje w układzie współrzędnych. Na początek krótko teoria, bo wszystko opiera się na jednym wzorze.
0Skąd się bierze równanie okręgu
Okrąg to zbiór wszystkich punktów, które są tak samo daleko od jednego punktu, czyli środka. Ta stała odległość to promień. Jeśli środek to S = (a, b), a promień to r, to każdy punkt P = (x, y) okręgu spełnia warunek |SP| = r.
Odległość dwóch punktów liczymy ze wzoru na długość odcinka:
Podstawiamy środek S = (a, b) i dowolny punkt okręgu P = (x, y), a potem podnosimy obie strony do kwadratu, żeby pozbyć się pierwiastka:
S = (a, b) to środek okręgu, a r to promień. Po prawej stronie zawsze stoi kwadrat promienia, a w nawiasach zawsze jest minus.
1Równanie okręgu z rysunku
Krok 1. Odczytujemy środek
Środek to S = (−4, 0), więc a = −4 oraz b = 0.
Krok 2. Liczymy promień jako odległość środka od punktu na okręgu
Promień to odległość środka od dowolnego punktu okręgu. Bierzemy punkt A i podstawiamy do wzoru na długość odcinka. Uważaj na odejmowanie liczb ujemnych: odjąć minus cztery to dodać cztery.
Policzmy dokładnie każdy nawias: −6 − (−4) = −6 + 4 = −2, a (−2)2 = 4, bo minus razy minus daje plus. Podobnie (−3)2 = 9.
Krok 3. Sprawdzamy na drugim punkcie
Skoro B też leży na okręgu, jego odległość od środka musi wyjść taka sama. To świetny sposób, żeby wyłapać błąd w rachunkach.
Krok 4. Wstawiamy do wzoru
Do wzoru potrzebujemy r², a (13)2 = 13. Teraz wpisujemy a = −4 i b = 0:
Ciekawostka do tego rysunku: odcinek AB nie jest średnicą, chociaż na oko może tak wyglądać. |AB| = = 50 ≈ 7,07, a średnica to 213 ≈ 7,21. Dlatego środka nie da się tu wyznaczyć jako środka odcinka AB.
2Odczytaj środek i promień
| Równanie | Środek S | Promień r | Na co uważać |
|---|---|---|---|
| (x − 3)2 + (y − 5)2 = 16 | (3, 5) | √16 = 4 | zwykłe minusy, więc znaki zostają |
| (x + 2)2 + (y − 1)2 = 9 | (−2, 1) | √9 = 3 | plus w nawiasie, więc a jest ujemne |
| x2 + (y + 4)2 = 7 | (0, −4) | √7 | samo x² to (x − 0)², więc a = 0 |
| (x + 1)2 + (y + 6)2 = 12 | (−1, −6) | √12 = 2√3 | √12 = √(4 · 3) = 2√3 |
| x2 + y2 = 25 | (0, 0) | √25 = 5 | środek w początku układu |
| (x − 7)2 + y2 = 2 | (7, 0) | √2 | promień nie musi być liczbą całkowitą |
Sposób na znaki: przyrównaj nawias do zera i rozwiąż w pamięci. Z x + 2 = 0 wychodzi x = −2, i to jest pierwsza współrzędna środka. Z y − 1 = 0 wychodzi y = 1, i to jest druga.
3Napisz równanie okręgu, znając środek i promień
Wstawiamy a = 2 i b = −3 do wzoru. Drugi nawias to (y − (−3)), czyli (y + 3). Zmienia się tylko prawa strona, bo za każdym razem inny jest promień, a my potrzebujemy jego kwadratu.
| r | r² | Równanie | |
|---|---|---|---|
| a) | 5 | 52 = 25 | (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 |
| b) | √5 | (√5)2 = 5 | (x − 2)2 + (y + 3)2 = 5 |
| c) | 2√3 | (2√3)2 = 4 · 3 = 12 | (x − 2)2 + (y + 3)2 = 12 |
4Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt
Krok 1. Promień to odległość S od P
Na rysunku jasnymi liniami zaznaczyłam trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4. Wzór na długość odcinka to tak naprawdę twierdzenie Pitagorasa: przeciwprostokątna ma długość 5.
Krok 2. Wstawiamy do wzoru
Mamy a = 1, b = 2 i r² = 25.
5Okrąg o danej średnicy
Krok 1. Środek okręgu to środek średnicy
Środek odcinka liczymy, biorąc średnią współrzędnych: dodajemy iksy i dzielimy przez 2, dodajemy igreki i dzielimy przez 2.
Krok 2. Promień to połowa średnicy
Możesz też policzyć promień od razu jako |SA|: = 9 + 16 = 5. Wynik ten sam.
6Czy punkt leży na okręgu, wewnątrz czy na zewnątrz
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy wynik z prawą stroną, czyli z r² = 10. Jeśli wyjdzie dokładnie 10, punkt leży na okręgu. Jeśli mniej, punkt jest bliżej środka niż promień, więc leży wewnątrz. Jeśli więcej, leży na zewnątrz.
| Punkt | Lewa strona | Porównanie z 10 | Wniosek |
|---|---|---|---|
| P = (5, 0) | (5 − 2)2 + (0 + 1)2 = 9 + 1 = 10 | = 10 | na okręgu |
| Q = (3, 2) | (3 − 2)2 + (2 + 1)2 = 1 + 9 = 10 | = 10 | na okręgu |
| R = (0, 0) | (0 − 2)2 + (0 + 1)2 = 4 + 1 = 5 | < 10 | wewnątrz |
| T = (6, 1) | (6 − 2)2 + (1 + 1)2 = 16 + 4 = 20 | > 10 | na zewnątrz |
7Równanie w postaci ogólnej: zamieniamy na kanoniczną
Takie równanie nie pokazuje od razu środka ani promienia. Trzeba je przekształcić do postaci (x − a)² + (y − b)² = r². Robimy to metodą uzupełniania do kwadratu, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Krok 1. Grupujemy wyrazy z x i z y
Krok 2. Uzupełniamy wyrazy z x do kwadratu
Szukamy nawiasu, który po rozwinięciu da x² − 6x. Bierzemy połowę liczby stojącej przy x: połowa z −6 to −3. Sprawdzamy: (x − 3)2 = x2 − 6x + 9. Wyszło o 9 za dużo, więc to 9 odejmujemy:
Krok 3. To samo z wyrazami z y
Połowa z 4 to 2. Sprawdzamy: (y + 2)2 = y2 + 4y + 4. Wyszło o 4 za dużo, więc 4 odejmujemy:
Krok 4. Wstawiamy i przenosimy liczby na prawą stronę
Liczby −9, −4 i −3 przenosimy na prawą stronę ze zmianą znaku: 9 + 4 + 3 = 16.
Krok 5. Odczytujemy środek i promień
S = (3, −2), a r = 16 = 4.
8Jeszcze jedna postać ogólna
Wyrazy z x: połowa z 8 to 4, a (x + 4)2 = x2 + 8x + 16, więc x2 + 8x = (x + 4)2 − 16.
Wyrazy z y: połowa z −2 to −1, a (y − 1)2 = y2 − 2y + 1, więc y2 − 2y = (y − 1)2 − 1.
Na prawą stronę: 16 + 1 − 8 = 9. Uważaj na +8: po przeniesieniu zmienia się w −8.
9Czy to równanie w ogóle opisuje okrąg?
Robimy to samo co wcześniej. x2 − 4x = (x − 2)2 − 4 oraz y2 + 2y = (y + 1)2 − 1.
Po prawej wyszła liczba ujemna. Lewa strona to suma dwóch kwadratów, a kwadrat nigdy nie jest ujemny, więc suma kwadratów nie może być równa −5. Żaden punkt nie spełnia tego równania. Okrąg istnieje tylko wtedy, gdy po prawej stronie wyjdzie liczba dodatnia.
10Okrąg styczny do osi układu
Styczny do osi Ox oznacza, że okrąg dotyka osi Ox w jednym punkcie. Promień jest wtedy równy odległości środka od tej osi, a odległość od osi Ox to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej: r = |−4| = 4. Na rysunku to czerwony okrąg.
Styczny do osi Oy: odległość od osi Oy to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej: r = |3| = 3. Na rysunku to pomarańczowy okrąg.
styczny do Oy: (x − 3)2 + (y + 4)2 = 9
11Środek w początku układu
Promień to odległość punktu P od początku układu: r = = 9 + 16 = 5. Gdy a = 0 i b = 0, nawiasy znikają i zostaje samo x² + y².
12Wyznacz brakującą współrzędną
Punkt leży na okręgu, gdy jego współrzędne spełniają równanie. Wstawiamy x = m i y = 3: (m − 1)2 + (3 − 3)2 = 16, czyli (m − 1)2 = 16.
Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 16? Są dwie takie liczby: 4 i −4. Dlatego m − 1 = 4 albo m − 1 = −4, co daje m = 5 albo m = −3. Łatwo zapomnieć o drugim rozwiązaniu, a na rysunku widać, że prosta y = 3 przecina okrąg w dwóch punktach.
13Długość okręgu i pole koła
Z równania r² = 18, więc r = 18 = 9 · 2 = 32. Długość okręgu: L = 2πr = 2π · 32 = 62π. Pole koła: P = πr2 = 18π.
Zauważ, że do pola potrzebujemy r², a ono stoi już w równaniu. Pole wychodzi więc od razu, bez liczenia pierwiastka.
14Punkty przecięcia okręgu z osiami
Na osi Ox każdy punkt ma y = 0. Wstawiamy: (x − 3)2 + 16 = 25, czyli (x − 3)2 = 9. Stąd x − 3 = 3 albo x − 3 = −3, więc x = 6 albo x = 0.
Na osi Oy każdy punkt ma x = 0. Wstawiamy: 9 + (y − 4)2 = 25, czyli (y − 4)2 = 16. Stąd y − 4 = 4 albo y − 4 = −4, więc y = 8 albo y = 0.
Punkt (0, 0) pojawił się w obu rachunkach, bo okrąg przechodzi przez początek układu.
z osią Oy: (0, 0) i (0, 8)
15Drugi koniec średnicy
Środek okręgu S = (4, −2) jest środkiem średnicy AB. Z A do S idziemy o 2 w lewo i o 4 w dół, bo 6 → 4 i 2 → −2. Żeby dojść do B, robimy z S jeszcze raz ten sam krok.
Wzorem: współrzędne B to 2 · S − A, czyli xB = 2 · 4 − 6 = 2 i yB = 2 · (−2) − 2 = −6. Sprawdzenie, że B leży na okręgu: (2 − 4)2 + (−6 + 2)2 = 4 + 16 = 20.
16Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to złe znaki środka: z (x + 3)² ktoś odczytuje a = 3, a powinno być a = −3. Drugi błąd to wpisanie promienia zamiast jego kwadratu: okrąg o promieniu 4 ma po prawej 16, a nie 4. Trzeci błąd to zgubienie drugiego rozwiązania przy równaniu typu (m − 1)² = 16. Czwarty to błędy przy odejmowaniu liczb ujemnych we wzorze na długość odcinka: −6 − (−4) to −2, a nie −10. Piąty dotyczy postaci ogólnej: przenosząc liczby na prawą stronę, trzeba zmienić ich znak.
17Sprawdź się
Spróbuj samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć odpowiedź.
1. Podaj środek i promień okręgu (x + 5)² + (y − 2)² = 49.
S = (−5, 2), r = 7
2. Podaj środek i promień okręgu x² + (y − 3)² = 8.
S = (0, 3), r = √8 = 2√2
3. Napisz równanie okręgu o środku (−1, 4) i promieniu 6.
(x + 1)² + (y − 4)² = 36
4. Napisz równanie okręgu o środku (2, 2) przechodzącego przez (5, 6).
r = √(9 + 16) = 5, więc (x − 2)² + (y − 2)² = 25
5. Okrąg o średnicy AB, gdzie A = (0, 0), B = (6, 8).
S = (3, 4), r = 5, więc (x − 3)² + (y − 4)² = 25
6. Czy punkt (1, 1) leży na okręgu x² + y² = 2?
Tak, bo 1 + 1 = 2
7. Wyznacz środek i promień: x² + y² − 10x + 6y + 18 = 0.
(x − 5)² + (y + 3)² = 16, więc S = (5, −3), r = 4
8. Okrąg o środku (−2, 5) styczny do osi Ox.
r = 5, więc (x + 2)² + (y − 5)² = 25
Powiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejRównanie prostej, proste równoległe i prostopadłe
- DalejGraniastosłupy – pole, objętość, przekątne i kąty
- Przyda się teżUkład współrzędnych: odcięta, rzędna punktu, osie i funkcja
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
