KURS MATURALNY

DOŁĄCZ

Twierdzenie Talesa: proporcje, twierdzenie odwrotne i zastosowania

Tego się dowiesz!

Twierdzenie Talesa mówi o tym, co się dzieje, gdy ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi: odcinki na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiadających im odcinków na drugim. Brzmi abstrakcyjnie, ale właśnie dzięki temu twierdzeniu można zmierzyć wysokość drzewa, nie wchodząc na nie. W tym wpisie wyjaśniam twierdzenie, pokazuję, które proporcje wolno ułożyć, a które nie, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania.

1Treść twierdzenia

Weźmy kąt o wierzchołku O. Na jednym ramieniu leżą punkty A i B, na drugim C i D. Proste AC i BD są równoległe (czerwone na rysunku).

OABCD|OA||AB||OC||CD|
Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

|OA||AB| = |OC||CD|
|OA||OB| = |OC||OD|

Obie proporcje mówią to samo: na obu ramionach „pomarańczowy” odcinek jest tyle samo razy krótszy od „miętowego” albo od całości. Można je też zapisać „na krzyż”: |OA| : |OC| = |AB| : |CD|.

2Przykład krok po kroku

PrzykładNa rysunku |OA| = 4, |AB| = 6 i |OC| = 6. Oblicz |CD|.
46 = 6|CD|proporcja z twierdzenia
4 · |CD| = 36mnożymy na krzyż
|CD| = 9
Odpowiedź|CD| = 9

Sprawdzenie: na pierwszym ramieniu 4 : 6 = ⅔, a na drugim 6 : 9 = ⅔. Proporcje się zgadzają.

3Odcinki na prostych równoległych

Często w zadaniu pojawiają się też odcinki leżące na samych prostych równoległych, czyli |AC| i |BD|. One również są proporcjonalne, ale do odcinków liczonych od wierzchołka O.

OABCD|OA||AC||BD|
Proporcja z odcinkami równoległymi
|AC||BD| = |OA||OB| = |OC||OD|

To wynika z podobieństwa trójkątów OAC i OBD: mają wspólny kąt przy O, a boki AC i BD są równoległe.

PułapkaNajczęstszy błąd to ułożenie proporcji |AC| : |BD| = |OA| : |AB|. Odcinki leżące na prostych równoległych porównujemy z odcinkami od wierzchołka do tych prostych, czyli z |OA| i |OB|, a nie z kawałkiem |AB| pomiędzy nimi.
PrzykładNa rysunku |OA| = 3, |AB| = 2 i |AC| = 4. Oblicz |BD|.
|OB| = 3 + 2 = 5cały odcinek od O do B
4|BD| = 35proporcja z odcinkami równoległymi
|BD| = 203
Odpowiedź|BD| = 203

Twierdzenie Talesa i podobieństwo figur to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” część działu planimetrii, razem z trójkątami, czworokątami i okręgami. Wszystko rozpisane krok po kroku, z rysunkami, a potem przećwiczone na zadaniach maturalnych.

Zobacz kurs na Udemy

4Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli proste przecinają ramiona kąta tak, że |OA| : |AB| = |OC| : |CD|, to te proste są równoległe.

PrzykładNa ramionach kąta zaznaczono |OA| = 2, |AB| = 3, |OC| = 4 i |CD| = 6. Czy proste AC i BD są równoległe?

2 : 3 = ⅔ oraz 4 : 6 = ⅔. Stosunki są równe, więc z twierdzenia odwrotnego proste AC i BD są równoległe.

Odpowiedźtak

5Związek z podobieństwem i linia środkowa

Trójkąty OAC i OBD z rysunku są podobne, więc twierdzenie Talesa to w gruncie rzeczy szczególny przypadek podobieństwa trójkątów. Ważny wniosek: jeśli w trójkącie poprowadzimy odcinek łączący środki dwóch boków, to jest on równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. To jest linia środkowa trójkąta. Wynika to z twierdzenia Talesa ze skalą ½.

6Zastosowania

Wysokość drzewa z cienia

Według legendy Tales z Miletu zmierzył wysokość piramidy, porównując jej cień z cieniem kija. Promienie słońca są (praktycznie) równoległe, więc przedmioty i ich cienie tworzą trójkąty podobne.

PrzykładPionowy pal o wysokości 2 m rzuca cień długości 1,5 m. W tym samym momencie drzewo rzuca cień długości 9 m. Jak wysokie jest drzewo?
h9 = 21,5wysokość do cienia jest w tym samym stosunku
h = 9 · 21,5 = 12
Odpowiedź12 m

Podział odcinka w danym stosunku

Twierdzenie Talesa pozwala podzielić odcinek na równe części albo w dowolnym stosunku, używając tylko linijki i cyrkla. Z końca odcinka prowadzimy pomocniczą półprostą, odkładamy na niej cyrklem jednakowe odcinki, łączymy ostatni punkt z drugim końcem odcinka i prowadzimy do tej prostej równoległe przez pozostałe punkty. Proste równoległe dzielą odcinek w tym samym stosunku.

Na maturze podstawowej

Twierdzenie Talesa pojawia się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych z rysunkiem, w których trzeba obliczyć długość odcinka, oraz w zadaniach z trójkątami i trapezami, gdzie odcinek równoległy do boku tworzy trójkąty podobne. Kluczem jest poprawne ułożenie proporcji: zawsze sprawdź, czy porównujesz odpowiadające sobie odcinki.

Zadanie w stylu maturalnym (zamknięte)Ramiona kąta o wierzchołku O przecięto prostymi równoległymi AC i BD. Wiadomo, że |OA| = 5, |AB| = 3 i |OC| = 4. Długość odcinka OD jest równa:

A. 325
B. 125
C. 7
D. 6

Rozwiązanie: |CD| = 4 · 3 / 5 = 12/5, więc |OD| = 4 + 12/5 = 32/5. Albo od razu: |OD| : 4 = 8 : 5, więc |OD| = 32/5. Odpowiedź A. Odpowiedź B to |CD|, czyli tylko kawałek odcinka, a C to 4 + 3, jakby odcinki były równe.

Zadanie w stylu maturalnym (otwarte)W trójkącie ABC punkt D leży na boku AC, a punkt E na boku BC, przy czym DE ∥ AB. Wiadomo, że |CD| = 4, |DA| = 6 i |DE| = 5. Oblicz długość boku AB.
|CA| = 4 + 6 = 10cały bok od wierzchołka C
|DE||AB| = |CD||CA|odcinki równoległe do odcinków od wierzchołka
5|AB| = 410
|AB| = 12,5

Odpowiedź: |AB| = 12,5. Wierzchołek C pełni tu rolę wierzchołka kąta O. Gdyby ułożyć 5 : |AB| = 4 : 6, wyszłoby 7,5, czyli klasyczny błąd z porównaniem do kawałka zamiast całości.

7Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to porównywanie odcinków na prostych równoległych z kawałkiem między prostymi zamiast z odcinkiem od wierzchołka. Drugi to pomieszanie odpowiadających sobie odcinków, na przykład |OA| : |AB| = |CD| : |OC|. Trzeci to stosowanie twierdzenia, gdy proste nie są równoległe. Czwarty to zapomnienie, że w odpowiedzi może chodzić o cały odcinek |OD|, a nie tylko o |CD|. Piąty to w zadaniach z cieniem porównanie wysokości jednego przedmiotu z cieniem drugiego w złej kolejności.

8Sprawdź się

Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.

1. |OA| = 2, |AB| = 5, |OC| = 4. Oblicz |CD|.

2/5 = 4/|CD|, |CD| = 10

2. |OA| = 6, |OB| = 10, |OC| = 9. Oblicz |OD|.

6/10 = 9/|OD|, |OD| = 15

3. |OA| = 4, |AB| = 4, |AC| = 3. Oblicz |BD|.

|OB| = 8, |BD| = 6

4. |OA| = 3, |AB| = 6, |OC| = 2, |CD| = 5. Czy proste są równoległe?

3/6 ≠ 2/5, nie

5. Kij 1 m rzuca cień 0,8 m. Wieża rzuca cień 20 m. Wysokość wieży?

20 · 1 / 0,8 = 25 m

6. Bok trójkąta ma 14. Ile ma linia środkowa równoległa do niego?

7

Planimetria krok po kroku

W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” planimetria to cały dział: trójkąty, czworokąty, okręgi, pola, twierdzenie Talesa i podobieństwo figur, z zadaniami maturalnymi rozwiązywanymi krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.

Przejdź do kursu na Udemy

Powiązane tematy

Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury

Facebook
Pinterest
Twitter
LinkedIn

KURS MATURALNY

Uczysz się do matury z matematyki?

Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:

„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”

to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.

Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.

W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:

Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.

Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.

Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.

Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎

Kup kurs - zacznij z Narzędziownią już dziś

Schemat jest prosty i brutalnie skuteczny:

zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.

Zaczynasz od zera

3–4 miesiące

Masz już podstawy

4–6 tygodni

Kup kurs - zacznij z Narzędziownią już dziś