Pierwiastki to działanie odwrotne do potęgowania. Skoro 5² = 25, to √25 = 5. Brzmi prosto, ale w zadaniach pojawiają się wyrażenia takie jak √12 + √27 albo (2√3)², i tu łatwo o błąd. W tym wpisie wyjaśniam definicję pierwiastka, wszystkie wzory na działania, wyłączanie czynnika przed pierwiastek, dodawanie i mnożenie pierwiastków, porównywanie i szacowanie. Wszystko krok po kroku, na wielu przykładach.
1Definicja pierwiastka
Pierwiastek kwadratowy z nieujemnej liczby a to taka nieujemna liczba b, która podniesiona do kwadratu daje a. Liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna, bo kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest ujemny.
Tutaj liczba pod pierwiastkiem może być ujemna, bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny: 3−8 = −2, ponieważ (−2)³ = −8. Podobnie definiuje się pierwiastki wyższych stopni: 416 = 2, bo 2⁴ = 16.
Warto znać na pamięć kwadraty i sześciany małych liczb, bo wtedy wiele pierwiastków liczy się w pamięci:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 225 | 400 | 625 |
| n3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
2Wzory na działania
Pierwiastki tego samego stopnia można mnożyć, mnożąc liczby pod nimi. Działa to też w drugą stronę: pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków (dla a, b ≥ 0).
Tak samo przy dzieleniu (dla a ≥ 0, b > 0).
Podniesienie pierwiastka do kwadratu daje liczbę spod pierwiastka. Ale pierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna, bo wynik pierwiastka musi być nieujemny.
3Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Gdy liczba pod pierwiastkiem dzieli się przez kwadrat jakiejś liczby, możemy ten kwadrat „wyciągnąć” przed pierwiastek. Rozkładamy liczbę na iloczyn, w którym jeden czynnik jest jak największym kwadratem, i korzystamy ze wzoru na mnożenie.
Krok 1. Szukamy największego kwadratu, który dzieli 72
Kwadraty: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Przez 36 się dzieli: 72 = 36 · 2.
Krok 2. Rozdzielamy pierwiastek
Gdybyśmy wzięli mniejszy kwadrat, na przykład 72 = 4 · 18, wyszłoby 2√18, a √18 da się jeszcze uprościć do 3√2. Na końcu i tak dostaniemy 2 · 3√2 = 6√2, tylko w dwóch krokach.
| Pierwiastek | Rozkład | Wynik |
|---|---|---|
| 12 | 4 · 3 | 23 |
| 18 | 9 · 2 | 32 |
| 50 | 25 · 2 | 52 |
| 75 | 25 · 3 | 53 |
| 98 | 49 · 2 | 72 |
| 200 | 100 · 2 | 102 |
| 316 | 8 · 2 | 232 |
| 354 | 27 · 2 | 332 |
Przy pierwiastku sześciennym szukamy sześcianów: 8, 27, 64, 125.
4Włączanie czynnika pod pierwiastek
To działanie odwrotne. Liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: 32 = 9 · 2 = 18. Przydaje się to przy porównywaniu pierwiastków.
Pierwiastki to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobna lekcja, a po niej są cztery lekcje o usuwaniu niewymierności z mianownika i trzy zestawy zadań maturalnych z potęg i pierwiastków. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy5Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Pierwiastki dodajemy tak, jak wyrazy podobne w algebrze: 2x + 5x = 7x. Dodawać można tylko pierwiastki z tej samej liczby.
Często pierwiastki wyglądają na różne, a po wyłączeniu czynnika okazują się podobne:
Upraszczamy każdy: 50 = 52, 8 = 22, 18 = 32. Wszystkie są „z dwójką”: 5√2 − 2√2 + 3√2 = 6√2.
6Mnożenie wyrażeń z pierwiastkami
Liczby przed pierwiastkami mnożymy z liczbami, a pierwiastki z pierwiastkami. Wyrażenia z nawiasami wymnażamy jak zwykle, każdy z każdym.
| Wyrażenie | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| 23 · 52 | (2 · 5) · 3 · 2 | 106 |
| 35 · 25 | 6 · 25 = 6 · 5 | 30 |
| 2(8 + 3) | 16 + 32 | 4 + 32 |
| (3 + 1)(3 − 1) | 3 − 1, wzór na różnicę kwadratów | 2 |
| (5 + 2)2 | 5 + 45 + 4, kwadrat sumy | 9 + 45 |
Przy dwóch ostatnich przydają się wzory skróconego mnożenia. Iloczyn (√a − b)(√a + b) usuwa pierwiastek, co wykorzystuje się przy usuwaniu niewymierności z mianownika.
7Szacowanie i porównywanie
Między jakimi liczbami całkowitymi leży pierwiastek?
Szukamy najbliższych kwadratów. 16 < 20 < 25, więc 16 < 20 < 25, czyli 4 < √20 < 5. Dokładniej: 20 jest bliżej 16 niż 25, więc √20 jest bliżej 4 i wynosi około 4,47.
Który pierwiastek jest większy?
Włączamy czynniki pod pierwiastek: 35 = 45 oraz 52 = 50. Większy pierwiastek ma większą liczbę pod spodem, a 50 > 45.
8Pierwiastki jako potęgi
Pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym: a = a12, 3a = a13, a ogólnie nam = amn. Dzięki temu do pierwiastków można stosować wszystkie wzory na potęgi. Szczegóły są we wpisie o działaniach na potęgach.
Pierwiastki pojawiają się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych z liczb rzeczywistych prawie w każdym arkuszu: trzeba obliczyć wartość wyrażenia, uprościć sumę pierwiastków albo porównać liczby. Do tego wracają w geometrii (przekątna kwadratu, wysokość trójkąta równobocznego) i w funkcji kwadratowej (√Δ). Kluczowe umiejętności to wyłączanie czynnika przed pierwiastek i dodawanie tylko pierwiastków podobnych.
A. 32
B. 22
C. 2
D. 4
Rozwiązanie: 50 = 52, 18 = 32, więc 5√2 − 3√2 = 2√2. Odpowiedź B. Odpowiedź A to „odjęcie pod pierwiastkiem”, √(50 − 18) = √32 = 4√2, czyli klasyczny błąd z pierwiastkiem różnicy.
Rozwiązanie: w nawiasie 12 = 23, więc 23 − 3 = 3 i (3)2 = 3. Iloczyn: 75 · 3 = 225 = 15. Razem 3 + 15 = 18. Odpowiedź: 18. Upraszczanie nawiasu przed podniesieniem do kwadratu oszczędza sporo liczenia.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to rozdzielanie pierwiastka z sumy lub różnicy: √(a + b) ≠ √a + √b. Drugi to podawanie dwóch wyników dla √9. Trzeci to dodawanie pierwiastków z różnych liczb: √2 + √3 ≠ √5. Czwarty to wyłączanie przed pierwiastek liczby, która nie jest kwadratem, na przykład √12 = 3√4. Piąty to niedokończone upraszczanie, na przykład zostawienie 2√18 zamiast 6√2. Szósty to zapomnienie o podniesieniu do kwadratu liczby przed pierwiastkiem: (3√2)² to 18, a nie 6.
10Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz 144
12
2. Oblicz 3−27
−3
3. Oblicz 48
16 · 3 = 43
4. Oblicz 45 + 20
35 + 25 = 55
5. Oblicz 6 · 24
144 = 12
6. Oblicz (27)2
4 · 7 = 28
7. Między jakimi liczbami całkowitymi leży 40?
między 6 a 7, bo 36 < 40 < 49
8. Który jest większy: 26 czy 33?
24 i 27, więc 33
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” pierwiastki są omówione razem z potęgami i usuwaniem niewymierności z mianownika, a potem przećwiczone w trzech zestawach zadań maturalnych. Dalej są procenty, logarytmy, funkcje, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejNotacja wykładnicza
- DalejPotęgi o wykładniku wymiernym, czyli potęgi ułamki
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
