W marcu 2020 roku wydawnictwo Operon przygotowało próbną maturę z matematyki na poziomie podstawowym. Do wszystkich zadań z tego arkusza nagrałam filmy z rozwiązaniami, a w tym wpisie zebrałam je w jednym miejscu razem z krótkimi rozwiązaniami pisemnymi i kluczem odpowiedzi.
Treści zadań nie przepisuję, bo arkusz jest materiałem wydawnictwa Operon. Najlepiej otwórz go obok tego wpisu albo włącz film, na którym treść każdego zadania jest widoczna. Przy każdym zadaniu podaję temat, żebyś szybko znalazł to, czego szukasz.
1Klucz odpowiedzi
2Zadania zamknięte (1–25)
Potęgi i pierwiastki: iloczyn pierwiastków zapisany jako jedna potęga liczby 2.
Pokaż rozwiązanie
Zamieniamy pierwiastki na potęgi: ∛4 = 2^(2/3), ⁵√8 = 2^(3/5). Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: 2/3 + 3/5 − 1 = (10 + 9 − 15)/15 = 4/15.
Odpowiedź: A, czyli 2 do potęgi 4/15
Przedziały: różnica dwóch przedziałów liczbowych, uwaga na końce domknięte i otwarte.
Pokaż rozwiązanie
Z przedziału A usuwamy wszystkie liczby należące do B. Zostaje kawałek od −3 do −2 (−2 należy do B, więc wypada) oraz liczba 3, jeśli należy do A, a nie należy do B. W tym zadaniu tak jest.
Odpowiedź: C
Procenty: jaką kwotę wpłacić na lokatę, żeby po roku z odsetkami mieć określoną sumę.
Pokaż rozwiązanie
Po roku kwota rośnie o 3%, czyli zostaje pomnożona przez 1,03: 1,03 · x = 5665, więc x = 5500 zł.
Odpowiedź: D, czyli 5500 zł
Wartość bezwzględna: wartość bezwzględna różnicy liczby i pierwiastka.
Pokaż rozwiązanie
√10 ≈ 3,16 jest większe od 3, więc 3 − √10 jest liczbą ujemną. Wartość bezwzględna liczby ujemnej to liczba przeciwna: √10 − 3.
Odpowiedź: D
Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy, gdy znamy sumę kwadratów i iloczyn liczb.
Pokaż rozwiązanie
(x + y)² = x² + 2xy + y² = (x² + y²) + 2xy. Wystarczy wstawić dane: 74 + 2 · 35 = 144.
Odpowiedź: C, czyli 144
Logarytmy: która z liczb nie jest równa danemu wyrażeniu z logarytmem.
Pokaż rozwiązanie
log₃1 = 0, więc wyrażenie jest równe 3. Sprawdzamy odpowiedzi: log₃27 = 3, a log₃27 − log₃1 = 3 − 0 = 3. Jedyna liczba różna od 3 to 0.
Odpowiedź: B
Planimetria: kąty w trapezie równoramiennym przy znanej różnicy kątów przy ramieniu.
Pokaż rozwiązanie
Kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do 180°. Ich różnica to 30°, więc mają 105° i 75°. Przy krótszej podstawie leżą kąty rozwarte.
Odpowiedź: C, czyli 105°
Geometria analityczna: średnica okręgu, gdy znamy środek i punkt na okręgu.
Pokaż rozwiązanie
Promień to odległość środka od punktu na okręgu: √(3² + 4²) = 5. Średnica jest dwa razy dłuższa.
Odpowiedź: B, czyli 10
Trygonometria: tangens kąta w prostokącie, którego jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego.
Pokaż rozwiązanie
Niech |AB| = a, wtedy |AD| = 2a, a |AE| = a/2. Kąt AED leży w trójkącie prostokątnym AED (kąt prosty przy A): tg∡AED = |AD| : |AE| = 2a : (a/2) = 4.
Odpowiedź: C, czyli 4
Funkcja liniowa: parametr, dla którego proste są prostopadłe.
Pokaż rozwiązanie
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn współczynników kierunkowych to −1: (m²/2 − 3/2) · (−2) = −1. Stąd m²/2 − 3/2 = 1/2, m² = 4 i m = −2 albo m = 2.
Odpowiedź: D
Funkcja kwadratowa: przedział, w którym funkcja w postaci iloczynowej jest malejąca.
Pokaż rozwiązanie
Miejsca zerowe to 1 i −5, więc wierzchołek ma pierwszą współrzędną (1 + (−5))/2 = −2. Przed nawiasami jest minus, ramiona idą w dół, więc funkcja rośnie do wierzchołka i maleje od niego.
Odpowiedź: C, czyli ⟨−2, ∞)
Funkcje: liczba miejsc zerowych funkcji określonej dwoma wzorami.
Pokaż rozwiązanie
Pierwszy wzór daje miejsce zerowe x = 1/2, które spełnia warunek x ≤ 1. Drugi wzór daje x = 1, ale ten wzór obowiązuje tylko dla x > 1, więc to nie jest miejsce zerowe.
Odpowiedź: B, jedno
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyRównania wymierne: rozwiązania równania z ułamkiem, uwaga na dziedzinę.
Pokaż rozwiązanie
Licznik zeruje się dla x = −1, x = 1 i x = −2. Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy −1 i 2. Zostają −2 i 1.
Odpowiedź: C
Trygonometria: wartość wyrażenia z sinusem i cosinusem, gdy znamy tangens.
Pokaż rozwiązanie
Dzielimy licznik przez cos α: (sin α + cos α)/cos α = tg α + 1 = 1/3 + 1 = 4/3.
Odpowiedź: A, czyli 1⅓
Ciąg geometryczny: parametr, dla którego trzy liczby tworzą monotoniczny ciąg geometryczny.
Pokaż rozwiązanie
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu to iloczyn sąsiednich: (4x − 1)² = 2 · 0,5 = 1. Stąd 4x − 1 = 1 albo 4x − 1 = −1, czyli x = 1/2 albo x = 0.
Dla x = 0 dostajemy 2, −1, 0,5, a ten ciąg nie jest monotoniczny. Dla x = 1/2 dostajemy 2, 1, 0,5, ciąg malejący.
Odpowiedź: B, czyli x = 1/2
Ciąg arytmetyczny: ile wyrazów ciągu jest mniejszych od danej liczby.
Pokaż rozwiązanie
aₙ = −2 + 2,5(n − 1) < 122, czyli 2,5(n − 1) < 124 i n − 1 < 49,6. Stąd n ≤ 50.
Odpowiedź: B, czyli 50
Pierwiastki: porównanie dwóch liczb z pierwiastkiem, usuwanie niewymierności z mianownika.
Pokaż rozwiązanie
Usuwamy niewymierność z mianownika y, mnożąc przez 5 − 2√6: y = (5 − 2√6)/(25 − 24) = 5 − 2√6. To dokładnie x.
Odpowiedź: D, x = y
Funkcja liniowa: współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty.
Pokaż rozwiązanie
a = (y_B − y_A) : (x_B − x_A) = (2 − 7) : (4 − 2) = −5/2.
Odpowiedź: C, czyli −2,5
Przekształcenia wykresów: przesunięcie wykresu funkcji o wektor.
Pokaż rozwiązanie
Przesunięcie o 1 w lewo zamienia x na x + 1, a przesunięcie o 3 w dół odejmuje 3 od wartości funkcji: g(x) = 2/(x + 1) − 3.
Odpowiedź: A
Prawdopodobieństwo: liczba kul w pudełku przy znanym prawdopodobieństwie.
Pokaż rozwiązanie
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli to m/(4 + m) = 0,2. Stąd m = 0,8 + 0,2m, czyli 0,8m = 0,8 i m = 1.
Odpowiedź: B, czyli 1
Kombinatoryka: liczby trzycyfrowe nieparzyste z cyfr z określonych zbiorów.
Pokaż rozwiązanie
Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności to 1, 3 albo 5 (3 możliwości). Cyfra dziesiątek: 4 możliwości. Cyfra setek nie może być zerem: 9 możliwości. Razem 3 · 4 · 9 = 108.
Odpowiedź: D, czyli 108
Planimetria: promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.
Pokaż rozwiązanie
Przeciwprostokątna ma długość √(25 + 144) = 13. W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego to r = (a + b − c)/2 = (5 + 12 − 13)/2 = 2.
Odpowiedź: A, czyli 2 cm
Stereometria: który kąt jest kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy.
Pokaż rozwiązanie
Kąt nachylenia ściany do podstawy leży w trójkącie zbudowanym z wysokości ostrosłupa, odcinka od środka podstawy do środka krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej. Wierzchołkiem tego kąta jest środek krawędzi BC, czyli punkt F.
Odpowiedź: B, czyli ∡EFS
Stereometria: wysokość stożka, gdy znamy pole powierzchni bocznej i średnicę podstawy.
Pokaż rozwiązanie
Promień podstawy to 3 cm. Pole boczne πrl = 12π, więc l = 4 cm. Z twierdzenia Pitagorasa h = √(16 − 9) = √7 cm.
Odpowiedź: A, czyli √7 cm
Statystyka: mediana ocen odczytanych z diagramu.
Pokaż rozwiązanie
Odczytujemy z diagramu liczbę ocen, zaczynając od najniższej: niedostatecznych 2, dopuszczających 6, dostatecznych 7, dobrych 10, bardzo dobrych 5, razem 30 ocen.
Mediana 30 ocen to średnia 15. i 16. oceny w uporządkowanym zestawie. 15. ocena to jeszcze dostateczna (2 + 6 + 7 = 15), a 16. to już dobra. Mediana: (3 + 4)/2 = 3,5.
Odpowiedź: B, czyli 3,5
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. W filmach pokazuję pełny zapis, a tutaj znajdziesz najważniejsze kroki i wynik, żeby szybko sprawdzić swoje rozwiązanie.
Nierówność kwadratowa: nierówność z wyrażeniem (x + 2) powtarzającym się dwa razy.
Pokaż rozwiązanie
Wyłączamy wspólny czynnik (x + 2): (x + 2)(x + 2 − 3) ≤ 0, czyli (x + 2)(x − 1) ≤ 0.
Miejsca zerowe to −2 i 1, ramiona paraboli idą w górę, więc wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi, razem z nimi.
Odpowiedź: x ∈ ⟨−2, 1⟩
Planimetria: dowód: stosunek pól dwóch trójkątów w kwadracie z przekątną.
Pokaż rozwiązanie
Bok AD jest równoległy do BE, więc trójkąty BEO i DAO mają równe kąty (kąty wierzchołkowe przy O i kąty naprzemianległe). Są podobne.
Skala podobieństwa to |BE| : |AD| = ½, bo E jest środkiem boku kwadratu. Stosunek pól figur podobnych to kwadrat skali: (½)² = ¼. To kończy dowód.
Trygonometria: kąty ostre trójkąta prostokątnego z warunku na iloczyn sinusa i cosinusa.
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do 90°, więc cos β = sin α. Warunek zamienia się na sin²α = 3/4.
Kąt jest ostry, więc sin α = √3/2, czyli α = 60° i β = 30°.
Odpowiedź: α = 60°, β = 30°
Potęgi: wartość ułamka z potęgami liczby 2.
Pokaż rozwiązanie
Licznik: 9 · 2¹³ + 2³ · 2⁹ = 9 · 2¹³ + 2¹² = 2¹² (18 + 1) = 19 · 2¹². Dzielimy przez 38 · 2¹²: 19/38 = 1/2.
Odpowiedź: 1/2
Ciąg arytmetyczny: parametr, dla którego trzy wyrażenia tworzą ciąg arytmetyczny.
Pokaż rozwiązanie
W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz to średnia sąsiednich: 2(6x + 1) = (x² + 7) + (4x² − 1). Stąd 5x² − 12x + 4 = 0.
Δ = 144 − 80 = 64, x = (12 − 8)/10 = 2/5 albo x = (12 + 8)/10 = 2.
Odpowiedź: x = 2/5 lub x = 2
Planimetria: kąty trójkąta wpisanego w okrąg przy znanym stosunku łuków.
Pokaż rozwiązanie
Łuki dzielą 360° w stosunku 1 : 3 : 5, czyli mają 40°, 120° i 200°.
Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt przy C jest oparty na łuku AB: 20°. Kąt przy A na łuku BC: 60°. Kąt przy B na łuku CA: 100°.
Odpowiedź: 20°, 60°, 100°
Zadanie tekstowe: prędkości i czasy jazdy dwóch rowerzystów na tej samej trasie.
Pokaż rozwiązanie
Niech v będzie prędkością pierwszego rowerzysty (km/h). Drugi jedzie z prędkością v + 5, a różnica czasów to 2 godziny: 60/v − 60/(v + 5) = 2.
Mnożymy przez v(v + 5): 300 = 2v(v + 5), czyli v² + 5v − 150 = 0. Δ = 625, v = (−5 + 25)/2 = 10 (rozwiązanie ujemne odrzucamy).
Odpowiedź: pierwszy: 10 km/h i 6 h, drugi: 15 km/h i 4 h
Geometria analityczna: punkt na osi x, dla którego trójkąt ma dane pole.
Pokaż rozwiązanie
Punkt A to miejsce zerowe prostej: 0 = −3/2 x + 3, więc A = (2, 0). Punkt B to przecięcie z osią y: B = (0, 3).
Trójkąt ABC ma podstawę AC na osi x o długości c − 2 i wysokość 3 (odległość B od osi x). Pole: ½ · (c − 2) · 3 = 6, więc c − 2 = 4 i c = 6.
Odpowiedź: C = (6, 0), odcięta 6
Stereometria: pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego przy znanej objętości.
Pokaż rozwiązanie
Podstawa to trójkąt równoboczny o boku a. Jego wysokość a√3/2 jest równa wysokości ostrosłupa H.
V = ⅓ · (a²√3/4) · (a√3/2) = a³/8 = 27, więc a = 6 cm i H = 3√3 cm.
Odległość środka podstawy od boku to ⅓ wysokości podstawy, czyli √3. Wysokość ściany bocznej: √(27 + 3) = √30.
Pole podstawy: 36√3/4 = 9√3. Pole boczne: 3 · ½ · 6 · √30 = 9√30.
Odpowiedź: Pc = 9√3 + 9√30 = 9(√3 + √30) cm²
4Jak wykorzystać próbną maturę
Próbna matura przydaje się najbardziej wtedy, gdy rozwiążesz ją w warunkach egzaminu: w wyznaczonym czasie, z kalkulatorem prostym i zestawem wzorów maturalnych. Dopiero potem sprawdź odpowiedzi w kluczu i obejrzyj filmy do zadań, w których się pomyliłeś. Zadania z błędami zapisz w zeszycie błędów i wróć do nich po tygodniu.
Arkusze wydawnictw są zwykle bardzo podobne do prawdziwych matur, ale nie identyczne. Dlatego warto łączyć je z arkuszami CKE z poprzednich lat, które znajdziesz na moim blogu razem z pełnymi treściami i rozwiązaniami.
Rozwiązania wszystkich zadań z tego arkusza są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejPróbna matura z matematyki Operon 2018, poziom podstawowy: rozwiązania wideo
- DalejPróbna matura z matematyki Nowa Era, styczeń 2021, poziom podstawowy: rozwiązania
- Przyda się teżDarmowy kurs maturalny z matematyki: zadania, które były na maturze
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
