Co to jest logarytm? Wyjaśnienie od zera
Logarytmy mają opinię jednego z najtrudniejszych tematów w liceum, a w rzeczywistości opierają się na jednym prostym pytaniu, które znasz już z potęg. Jeśli umiesz policzyć, ile to jest 2³, to umiesz też policzyć logarytm, tylko od drugiej strony. W tym wpisie wyjaśniam logarytm od zera: czym jest, jak go liczyć, jakie ma założenia i do czego się przydaje. Wszystko krok po kroku, na prostych przykładach.
1Logarytm to pytanie o wykładnik
Z potęgami znasz takie pytanie: ile to jest 23? Odpowiedź: 8. A teraz odwróćmy je: do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby dostać 8? Odpowiedź: do trzeciej, bo 2³ = 8. Właśnie to pytanie zapisuje się jako logarytm:
Logarytm liczby b przy podstawie a to wykładnik c, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. a to podstawa logarytmu, a b to liczba logarytmowana.
Czytamy to: „logarytm przy podstawie a z b”. Najważniejsze, co trzeba zapamiętać: wynik logarytmu to zawsze wykładnik potęgi. Gdy widzisz log2 8, zadaj sobie pytanie „2 do potęgi ile daje 8?”.
2Liczymy pierwsze logarytmy
W każdym przykładzie zadajemy to samo pytanie: podstawa do jakiej potęgi daje liczbę logarytmowaną?
| Logarytm | Pytanie | Bo | Wynik |
|---|---|---|---|
| log2 8 | 2 do potęgi ile daje 8? | 23 = 8 | 3 |
| log3 9 | 3 do potęgi ile daje 9? | 32 = 9 | 2 |
| log10 1000 | 10 do potęgi ile daje 1000? | 103 = 1000 | 3 |
| log5 5 | 5 do potęgi ile daje 5? | 51 = 5 | 1 |
| log7 1 | 7 do potęgi ile daje 1? | 70 = 1 | 0 |
| log2 18 | 2 do potęgi ile daje 1/8? | 2−3 = 18 | −3 |
| log9 3 | 9 do potęgi ile daje 3? | 912 = 9 = 3 | 12 |
| log12 4 | (½) do potęgi ile daje 4? | (12)−2 = 4 | −2 |
Zwróć uwagę na ostatnie wiersze: wynik logarytmu może być ujemny albo ułamkowy, bo wykładnik potęgi też może być ujemny albo ułamkowy. Przypomnienie, skąd się to bierze, jest we wpisie o działaniach na potęgach.
3Trudniejsze logarytmy: sprowadzamy do wspólnej podstawy
Gdy od razu nie widać odpowiedzi, zapisujemy logarytm jako równanie z potęgą, a potem obie strony jako potęgi tej samej liczby. Wtedy wystarczy porównać wykładniki.
Krok 1. Zapisujemy definicję
Szukamy c takiego, że 4c = 8.
Krok 2. Zapisujemy obie liczby jako potęgi 2
4 = 22 oraz 8 = 23, więc (22)c = 23, czyli 22c = 23.
Krok 3. Porównujemy wykładniki
Sprawdzenie: 43/2 = (√4)³ = 2³ = 8. Zgadza się.
| Logarytm | Równanie | Wspólna podstawa | Wynik |
|---|---|---|---|
| log27 9 | 27c = 9 | 33c = 32 | 23 |
| log8 12 | 8c = 12 | 23c = 2−1 | −13 |
| log2 4 | (2)c = 4 | 2c2 = 22 | 4 |
| log25 125 | 25c = 125 | 52c = 53 | 32 |
4Założenia: kiedy logarytm istnieje
Podstawa musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana musi być dodatnia.
Każde z tych założeń ma prosty powód:
| Przykład | Dlaczego nie istnieje |
|---|---|
| log2 −4 | nie ma takiego wykładnika, żeby 2 do tej potęgi dało liczbę ujemną; potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia |
| log2 0 | 2 do żadnej potęgi nie daje 0 |
| log1 5 | 1 do każdej potęgi to 1, więc nigdy nie dostaniemy 5; a log₁ 1 mógłby być każdą liczbą naraz |
| log(−2) 4 | przy ujemnej podstawie potęgi skaczą między wartościami dodatnimi i ujemnymi, a dla wielu wykładników (np. ½) w ogóle nie istnieją; dlatego ujemne podstawy wykluczamy |
5Logarytm dziesiętny i naturalny
Dwie podstawy są tak popularne, że mają skrócony zapis. Gdy podstawa nie jest napisana, chodzi o 10: log 100 = log10 100 = 2. To logarytm dziesiętny, ten, który liczy przycisk „log” na kalkulatorze. Logarytm naturalny, zapisywany ln, ma podstawę e ≈ 2,718 i pojawia się głównie na studiach.
6Cztery własności prosto z definicji
Te własności nie są nowymi wzorami do wkucia. Wynikają wprost z pytania „do jakiej potęgi?”.
| Własność | Dlaczego | Przykład |
|---|---|---|
| loga 1 = 0 | a0 = 1 | log5 1 = 0 |
| loga a = 1 | a1 = a | log7 7 = 1 |
| loga an = n | a do potęgi n daje an | log2 210 = 10 |
| aloga b = b | loga b to wykładnik, który z a robi b | 3log3 7 = 7 |
Wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, które pozwalają liczyć bardziej złożone wyrażenia, omawiam w osobnym wpisie, bo najpierw warto dobrze zrozumieć samą definicję.
Logarytmy mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” lekcję wprowadzającą, osobną lekcję o wzorach na iloczyn, iloraz i potęgę oraz dwa zestawy zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, zaczynając właśnie od pytania „do jakiej potęgi?”.
Zobacz kurs na Udemy7Gdy wynik nie jest „ładny”
Nie każdy logarytm wychodzi liczbą całkowitą. Ile to jest log2 5? Szukamy wykładnika, dla którego 2 do tej potęgi da 5. Wiemy, że 2² = 4, a 2³ = 8. Piątka leży między 4 a 8, więc log2 5 leży między 2 a 3. Kalkulator podaje około 2,32. Na maturze podstawowej takie logarytmy zwykle zostawia się w postaci log₂ 5 albo szacuje, między jakimi liczbami leżą.
8Proste równania z logarytmem
Każde takie równanie rozwiązujemy tak samo: zamieniamy logarytm na potęgę zgodnie z definicją.
Z definicji: x = 34 = 81. Liczba 81 jest dodatnia, więc spełnia założenie.
Z definicji: x2 = 16, więc x = 4 albo x = −4. Ale x jest podstawą logarytmu, więc musi być dodatni i różny od 1. Zostaje x = 4.
Z definicji: x − 1 = 23 = 8, więc x = 9. Sprawdzamy założenie: x − 1 = 8 > 0. Zgadza się.
9Do czego przydają się logarytmy
Logarytmy odpowiadają na pytania „ile razy?” i „po jakim czasie?”, gdy coś rośnie przez mnożenie. Dobry przykład to lokata z procentem składanym: po ilu latach kapitał na lokacie z oprocentowaniem 5% rocznie się podwoi? Szukamy n takiego, że 1,05ⁿ = 2, czyli n = log1,05 2 ≈ 14,2. Kapitał podwoi się więc po 15 pełnych latach.
Logarytmy kryją się też w skalach, które opisują zjawiska o ogromnej rozpiętości: w skali decybeli (głośność dźwięku), w skali pH (kwasowość) i w skali Richtera (siła trzęsienia ziemi). Wzrost o 1 na takiej skali oznacza pomnożenie mierzonej wielkości przez stałą liczbę, a nie dodanie.
Definicja logarytmu, z założeniami a > 0, a ≠ 1 i b > 0, jest w zestawie wzorów maturalnych CKE, razem z wzorami na działania na logarytmach. Zadania z logarytmów pojawiają się na maturze podstawowej zwykle jako zadania zamknięte: trzeba obliczyć wartość logarytmu albo prostego wyrażenia z logarytmami. Prawie zawsze sprowadza się to do pytania „do jakiej potęgi?” i do zapisania liczb jako potęg tej samej podstawy.
A. 3
B. 23
C. 32
D. 18
Rozwiązanie: szukamy c takiego, że 9ᶜ = 27. Zapisujemy oba jako potęgi 3: 32c = 33, więc 2c = 3 i c = 3/2. Odpowiedź C. Odpowiedź B to wynik po zamianie podstawy z liczbą logarytmowaną (log₂₇ 9 = 2/3), a D to 27 − 9.
Rozwiązanie: liczymy każdy logarytm z definicji. log2 32 = 5, bo 2⁵ = 32. log3 19 = −2, bo 3⁻² = 1/9. log5 1 = 0, bo 5⁰ = 1. Zatem 5 − (−2) + 0 = 7. Odpowiedź: 7. Uważaj na minus przed ujemnym logarytmem: odjęcie −2 to dodanie 2.
10Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zamiana miejscami podstawy i liczby logarytmowanej: log₂ 8 to nie to samo co log₈ 2. Drugi to dzielenie liczb zamiast szukania wykładnika, na przykład log₂ 8 = 8 : 2 = 4. Trzeci to przekonanie, że wynik logarytmu nie może być ujemny. Może, ale liczba logarytmowana musi być dodatnia. Czwarty to pomijanie założeń przy równaniach, na przykład zostawienie x = −4 jako podstawy logarytmu. Piąty to traktowanie log x jako „log razy x”. Log to nie liczba, tylko działanie, i bez argumentu nic nie znaczy.
11Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz log₂ 16.
4, bo 2⁴ = 16
2. Oblicz log₃ 81.
4, bo 3⁴ = 81
3. Oblicz log 0,01.
−2, bo 10⁻² = 0,01
4. Oblicz log₅ (1/25).
−2, bo 5⁻² = 1/25
5. Oblicz log₈ 4.
2³ᶜ = 2², więc c = 2/3
6. Oblicz 2log₂ 9.
9, z definicji logarytmu
7. Rozwiąż log₄ x = 3.
x = 4³ = 64
8. Czy istnieje log₃ (−9)?
nie, liczba logarytmowana musi być dodatnia
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” logarytmy zaczynają się od wprowadzenia takiego jak w tym wpisie, potem są wzory na iloczyn, iloraz i potęgę, a na końcu zestawy zadań maturalnych. Przed logarytmami są potęgi i pierwiastki, a po nich funkcje, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejFunkcja wykładnicza – wykres, własności i równania
- DalejWzory na logarytmy: iloczyn, iloraz, potęga
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
