Nierówności kwadratowe, takie jak x² − 5x + 6 > 0, wyglądają podobnie do równań kwadratowych i rzeczywiście zaczyna się je rozwiązywać tak samo, od miejsc zerowych. Potem jednak potrzebny jest jeden dodatkowy krok, którego nie da się pominąć: szkic paraboli. To z niego odczytujemy odpowiedź. W tym wpisie pokazuję przepis w pięciu krokach, rozwiązuję przykłady dla wszystkich przypadków delty i znaku a, a każdy rysuję z zaznaczoną częścią paraboli, która spełnia nierówność.
1Skąd się bierze odpowiedź
Wyrażenie ax² + bx + c to funkcja kwadratowa, a jej wykres to parabola. Nierówność „> 0” pyta: dla jakich x parabola leży nad osią x? Nierówność „< 0” pyta: dla jakich x leży pod osią x? Granicami tych obszarów są miejsca zerowe, czyli punkty, w których parabola przecina oś.
1. Przenieś wszystko na jedną stronę, żeby po drugiej zostało 0.
2. Wyznacz miejsca zerowe (deltą albo szybszym sposobem).
3. Narysuj szkic paraboli: zaznacz miejsca zerowe na osi i ramiona w górę, gdy a > 0, albo w dół, gdy a < 0.
4. Odczytaj z rysunku, gdzie parabola jest nad osią (dla >, ≥) albo pod osią (dla <, ≤).
5. Zapisz odpowiedź jako przedział. Przy ≥ i ≤ miejsca zerowe należą do rozwiązania, przy > i < nie.
Szkic nie musi być dokładny. Wystarczą miejsca zerowe na osi i właściwy kierunek ramion. Wierzchołka nie trzeba liczyć.
2Przykłady krok po kroku
Krok 1 i 2. Miejsca zerowe
Wszystko już jest po lewej stronie. Δ = 25 − 24 = 1, √Δ = 1, więc x1 = 5 − 12 = 2 i x2 = 5 + 12 = 3.
Krok 3. Szkic
a = 1 > 0, więc ramiona w górę. Parabola przecina oś w punktach 2 i 3. Na czerwono zaznaczone są fragmenty nad osią.
Krok 4 i 5. Odczyt i zapis
Parabola jest nad osią na lewo od 2 i na prawo od 3. Nierówność jest ostra, więc 2 i 3 nie należą do rozwiązania.
Ta sama parabola, ale teraz pytamy, gdzie jest pod osią albo na niej. To odcinek między miejscami zerowymi, razem z końcami.
Tym razem a = −1 < 0, więc ramiona w dół. Δ = 4 + 12 = 16, √Δ = 4. x1 = −2 − 4−2 = 3, x2 = −2 + 4−2 = −1.
Parabola z ramionami w dół jest nad osią między miejscami zerowymi. Nierówność nieostra, więc końce należą.
Najpierw krok 1: przenosimy wszystko na lewo, 2x2 − 3x − 2 < 0. Δ = 9 + 16 = 25, √Δ = 5, więc x1 = 3 − 54 = −12 i x2 = 3 + 54 = 2. a = 2 > 0, ramiona w górę, a pod osią jest środek.
Funkcja kwadratowa ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” jedną z najdłuższych serii lekcji, w tym osobną lekcję o nierównościach kwadratowych we wszystkich przypadkach delty i siedem zestawów zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, z rysunkami, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy3Gdy delta jest równa zero albo ujemna
Δ = 0: parabola dotyka osi w jednym punkcie
Δ = 16 − 16 = 0, jedno miejsce zerowe x = 2. Albo szybciej: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Parabola dotyka osi w 2, a poza tym punktem jest cała nad osią.
| Nierówność | Odpowiedź |
|---|---|
| (x − 2)2 > 0 | ℝ \ {2}, wszystkie liczby oprócz 2 |
| (x − 2)2 ≥ 0 | ℝ, każda liczba |
| (x − 2)2 < 0 | ∅, kwadrat nigdy nie jest ujemny |
| (x − 2)2 ≤ 0 | {2}, tylko jedna liczba |
Δ < 0: parabola nie przecina osi
Δ = 4 − 20 = −16 < 0. Brak miejsc zerowych, a ramiona w górę, więc cała parabola leży nad osią. Nigdy nie jest pod osią.
4Szybciej, bez delty
Gdy w nierówności brakuje b albo c, miejsca zerowe widać od razu.
| Nierówność | Miejsca zerowe | Odpowiedź |
|---|---|---|
| x2 − 9 < 0 | (x − 3)(x + 3): −3 i 3 | (−3; 3) |
| x2 ≥ 5x | x2 − 5x = x(x − 5): 0 i 5 | (−∞; 0⟩ ∪ ⟨5; +∞) |
| x2 + 4 > 0 | brak, bo x2 ≥ 0 | ℝ |
| (x − 1)(x + 4) ≤ 0 | 1 i −4, a = 1 > 0 | ⟨−4; 1⟩ |
5Ściągawka: wszystkie przypadki dla a > 0
| Δ > 0, miejsca x₁ < x₂ | Δ = 0, miejsce x₀ | Δ < 0 | |
|---|---|---|---|
| ax² + bx + c > 0 | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | ℝ \ {x₀} | ℝ |
| ax² + bx + c ≥ 0 | (−∞; x₁⟩ ∪ ⟨x₂; +∞) | ℝ | ℝ |
| ax² + bx + c < 0 | (x₁; x₂) | ∅ | ∅ |
| ax² + bx + c ≤ 0 | ⟨x₁; x₂⟩ | {x₀} | ∅ |
Dla a < 0 odpowiedzi dla „> 0” i „< 0” zamieniają się miejscami. Zamiast uczyć się tabeli na pamięć, lepiej za każdym razem narysować szkic: zajmuje kilka sekund i chroni przed pomyłką.
Nierówność kwadratowa to jedno z najpewniejszych zadań na maturze podstawowej: prawie co roku pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty albo jako zadanie zamknięte z wyborem przedziału. Za zadanie otwarte zwykle dostaje się punkt za poprawne miejsca zerowe i drugi punkt za poprawną odpowiedź. Szkic paraboli nie jest obowiązkowy, ale bardzo pomaga.
A. (−2; 4)
B. (−∞; −2) ∪ (4; +∞)
C. (−4; 2)
D. ⟨−2; 4⟩
Rozwiązanie: Δ = 4 + 32 = 36, miejsca zerowe 2 − 62 = −2 i 2 + 62 = 4. a > 0, ramiona w górę, pod osią jest środek, nierówność ostra. Odpowiedź A. B to odpowiedź dla „> 0”, C ma zamienione znaki miejsc zerowych, a D ma złe nawiasy.
Rozwiązanie: Δ = 4 + 12 = 16, √Δ = 4. x1 = 2 − 46 = −13, x2 = 2 + 46 = 1. a = 3 > 0, ramiona w górę, nad osią są części zewnętrzne, nierówność nieostra.
Odpowiedź: x ∈ (−∞; −⅓⟩ ∪ ⟨1; +∞). Zapisz obliczenie delty i miejsc zerowych, a odpowiedź podaj jako przedział albo sumę przedziałów.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pominięcie szkicu i zgadywanie, czy odpowiedź jest „w środku”, czy „na zewnątrz”, zwłaszcza przy ujemnym a. Drugi to nieprzeniesienie wszystkiego na jedną stronę przed liczeniem delty, na przykład liczenie dla 2x² − 3x = 2 bez −2. Trzeci to złe nawiasy na końcach. Czwarty to „pierwiastkowanie” nierówności: x² > 9 zamieniane na x > 3. Piąty to dzielenie przez x albo przez wyrażenie z x. Szósty to przy Δ < 0 odpowiedź „brak rozwiązań” bez sprawdzenia kierunku ramion, choć może to być ℝ.
7Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozwiąż x² − 7x + 10 < 0
miejsca zerowe 2 i 5, środek: (2; 5)
2. Rozwiąż x² + x − 6 ≥ 0
−3 i 2, zewnątrz: (−∞; −3⟩ ∪ ⟨2; +∞)
3. Rozwiąż −x² + 4 > 0
ramiona w dół, −2 i 2: (−2; 2)
4. Rozwiąż x² ≤ 3x
x(x − 3) ≤ 0: ⟨0; 3⟩
5. Rozwiąż x² + 6x + 9 ≤ 0
(x + 3)² ≤ 0: tylko {−3}
6. Rozwiąż 2x² + x + 1 > 0
Δ = −7, ramiona w górę: ℝ
7. Rozwiąż x² > 16
(−∞; −4) ∪ (4; +∞)
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” funkcja kwadratowa jest rozpisana na kolejne lekcje: wzory z tablic, współczynniki, miejsca zerowe, postać kanoniczna, nierówności kwadratowe we wszystkich przypadkach i siedem zestawów zadań maturalnych. Dalej są wielomiany, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Wyrażenia algebraiczne i równaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- WcześniejRównania i nierówności z wartością bezwzględną
- DalejWielomiany – rozkład na czynniki i równania
- Przyda się teżMiejsca zerowe funkcji kwadratowej: delta krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
