Wartość bezwzględna, zapisywana dwiema pionowymi kreskami |x| i nazywana też modułem, to jedno z pierwszych pojęć w liceum. Pojawia się potem w równaniach, nierównościach, funkcjach i geometrii. Ma dwie twarze: rachunkową definicję i bardzo prostą interpretację na osi liczbowej. W tym wpisie wyjaśniam obie, pokazuję, jak obliczać wartość bezwzględną liczb i wyrażeń, i rozwiązuję typowe zadania krok po kroku.
1Definicja
Jeśli liczba jest dodatnia albo równa zero, wartość bezwzględna jej nie zmienia. Jeśli liczba jest ujemna, wartość bezwzględna zmienia jej znak na przeciwny.
| Liczba | Jaki ma znak | Którą część definicji bierzemy | Wartość bezwzględna |
|---|---|---|---|
| 5 | dodatnia | |x| = x | |5| = 5 |
| −5 | ujemna | |x| = −x | |−5| = −(−5) = 5 |
| 0 | zero | |x| = x | |0| = 0 |
| −3,7 | ujemna | |x| = −x | |−3,7| = 3,7 |
| 23 | dodatnia | |x| = x | |23| = 23 |
2Wartość bezwzględna to odległość od zera
Na osi liczbowej |x| to odległość punktu x od zera. Odległość nie może być ujemna, a liczby leżące symetrycznie po obu stronach zera, jak 4 i −4, są od niego tak samo daleko. Stąd |4| = |−4| = 4.
To proste spostrzeżenie bardzo upraszcza zadania. Gdy widzisz |x| = 4, pytasz: które liczby są w odległości 4 od zera? Od razu widać, że dwie: 4 i −4.
3Odległość między dwiema liczbami
Kolejność nie ma znaczenia: |a − b| = |b − a|, bo odległość z a do b jest taka sama jak z b do a.
|5 − (−3)| = |5 + 3| = |8| = 8. Sprawdzenie odwrotnie: |−3 − 5| = |−8| = 8. Na osi: od −3 do 0 są 3 jednostki, a od 0 do 5 kolejne 5, razem 8.
Dzięki temu wyrażenia z wartością bezwzględną dają się czytać jak zdania: |x − 2| to „odległość x od 2”, a |x + 1| = |x − (−1)| to „odległość x od −1”.
4Obliczanie wartości bezwzględnej
Gdy w środku jest wyrażenie, a nie jedna liczba, robimy dwa kroki: najpierw ustalamy znak wyrażenia w środku, a potem stosujemy definicję. Jeśli w środku jest liczba dodatnia, kreski po prostu znikają. Jeśli ujemna, kreski znikają, ale zmieniamy znak całego wyrażenia.
7 − 12 = −5, więc |−5| = 5.
Krok 1. Ustalamy znak wyrażenia w środku
π ≈ 3,14, więc 3 − π ≈ −0,14. Wyrażenie w środku jest ujemne.
Krok 2. Stosujemy definicję
Zmiana znaku całego wyrażenia: −(3 − π) = −3 + π = π − 3. Wynik jest dodatni, tak jak powinien.
√2 ≈ 1,41. Pierwsze wyrażenie: √2 − 2 ≈ −0,59, czyli ujemne, więc zmieniamy znak: 2 − √2. Drugie: √2 − 1 ≈ 0,41, czyli dodatnie, więc kreski znikają bez zmian: √2 − 1.
Wartość bezwzględna ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” lekcję z definicją, lekcję o wartości bezwzględnej na osi liczbowej, osobne lekcje o równaniach i nierównościach oraz długi zestaw zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, z rysunkami na osi.
Zobacz kurs na Udemy5Własności wartości bezwzględnej
| Własność | Przykład | Jak to rozumieć |
|---|---|---|
| |x| ≥ 0 | |−7| = 7 ≥ 0 | odległość nigdy nie jest ujemna |
| |−x| = |x| | |−3| = |3| = 3 | liczby przeciwne są tak samo daleko od zera |
| |a · b| = |a| · |b| | |−2 · 5| = 10 = 2 · 5 | przy mnożeniu można rozdzielić |
| |ab| = |a||b| | |−63| = 2 | przy dzieleniu też |
| |x|2 = x2 | |−4|² = 16 = (−4)² | kwadrat i tak usuwa znak |
| x2 = |x| | (−3)2 = 9 = 3 | pierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna |
| |a + b| ≤ |a| + |b| | |−2 + 5| = 3 ≤ 7 | przy dodawaniu nie można rozdzielić |
6Opuszczanie wartości bezwzględnej w wyrażeniach z x
Gdy w środku jest x, znak wyrażenia zależy od tego, jakie x weźmiemy. Jeśli wiemy, w jakim przedziale leży x, możemy ustalić znak i opuścić kreski.
Skoro x < 5, to x − 5 < 0, czyli wyrażenie w środku jest ujemne. Zmieniamy znak: |x − 5| = −(x − 5) = 5 − x.
Skoro x ≥ −3, to x + 3 ≥ 0, więc kreski znikają bez zmian: |x + 3| = x + 3.
To samo w ogólnej postaci: |x − a| = x − a, gdy x ≥ a, oraz |x − a| = a − x, gdy x < a. Na tym opiera się rozwiązywanie bardziej złożonych równań z kilkoma wartościami bezwzględnymi.
7Wykres funkcji y = |x|
Dla x ≥ 0 wykres to prosta y = x, a dla x < 0 prosta y = −x. Razem tworzą charakterystyczną literę V z wierzchołkiem w punkcie (0, 0). Wykres jest symetryczny względem osi y, bo |−x| = |x|.
Wykres y = |x − 2| to ta sama litera V przesunięta o 2 w prawo, z wierzchołkiem w (2, 0). Najmniejsza wartość funkcji y = |x − a| to 0 i jest przyjmowana dla x = a.
Wartość bezwzględna pojawia się na maturze podstawowej przede wszystkim w zadaniach zamkniętych z działu liczb rzeczywistych: trzeba obliczyć wartość wyrażenia z modułem, w którym są pierwiastki albo π, albo odczytać zbiór liczb z osi liczbowej. Prawie zawsze rozwiązanie sprowadza się do ustalenia znaku wyrażenia w środku.
A. 1
B. 25 − 5
C. 5 − 25
D. 5
Rozwiązanie: √5 ≈ 2,24. √5 − 3 jest ujemne, więc |√5 − 3| = 3 − √5. √5 − 2 jest dodatnie, więc |√5 − 2| = √5 − 2. Suma: 3 − √5 + √5 − 2 = 1. Odpowiedź A. Odpowiedź B to wynik po „opuszczeniu” obu kresek bez sprawdzania znaków.
Rozwiązanie: dla x z przedziału (−1; 2) mamy x < 2, więc x − 2 < 0 i |x − 2| = 2 − x. Mamy też x > −1, więc x + 1 > 0 i |x + 1| = x + 1. Dodajemy: (2 − x) + (x + 1) = 3. Odpowiedź: 3. Ciekawostka: na osi to suma odległości x od 2 i od −1, a dla każdego punktu między nimi wynosi dokładnie tyle, ile odległość od −1 do 2.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to myślenie, że wartość bezwzględna „usuwa minusy” ze środka: |3 − π| to nie 3 + π. Drugi to przekonanie, że −x w definicji jest liczbą ujemną. Trzeci to zapisanie √x² = x bez wartości bezwzględnej. Czwarty to rozdzielanie wartości bezwzględnej sumy: |a + b| to zwykle nie |a| + |b|. Piąty to zła odległość przy liczbach o różnych znakach: odległość −3 od 5 to 8, a nie 2.
Gdy definicja i oś liczbowa są już jasne, kolejny krok to równania i nierówności z wartością bezwzględną. Opisałam je w osobnym wpisie, w tym samym stylu i z rysunkami na osi.
9Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Oblicz |−12|
12
2. Oblicz |4 − 9|
|−5| = 5
3. Oblicz Odległość między −6 a −1 na osi
|−1 − (−6)| = 5
4. Oblicz |π − 4|
π − 4 < 0, więc 4 − π
5. Oblicz |3 − 1|
√3 ≈ 1,73, więc √3 − 1
6. Oblicz (1 − 2)2
|1 − √2| = √2 − 1
7. Oblicz |x − 4| dla x ≥ 4
x − 4
8. Oblicz |x − 4| dla x < 4
4 − x
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” wartość bezwzględna jest omówiona od definicji, przez oś liczbową, aż po równania, nierówności i zadania maturalne. Wcześniej są zbiory liczbowe i przedziały, a dalej funkcje, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Liczby i działaniaLiczby naturalne w matematyce
- WcześniejLiczby przeciwne
- DalejKolejność wykonywania działań
- Przyda się teżRównania i nierówności z wartością bezwzględną
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
