Po prostu blog

Potężna dawka matematycznej wiedzy

Przekształcanie wykresu funkcji

czrw. 9, 2021 | Matematyka

Wykres funkcji można przekształcić na kilka sposobów. W liceum ( lub technikum) w pierwszej klasie spotykasz taki temat przekształcanie wykresu funkcji i w tym dziale poznasz takie tematy jak:

  • g(x)=(x)+q przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY o q jednostek do góry lub w dół – przekształcenie wykresu funkcji wzdłuż osi OY CZYTAJ WIĘCEJ,
  • g(x)=(x-p) przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX o p jednostek w prawo lub w lewo – przekształcenie wykresu funkcji wzdłuż osi OX CZYTAJ WIĘCEJ,
  • g(x)=(x-p)+q – przesuwanie wykresu o wektor [p,q], inaczej mówiąc translacja o wektor CZYTAJ WIĘCEJ,
  • f(-x), -f(x) – przekształcenie wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych CZYTAJ WIĘCEJ,
  • |f(x)|, f(|x|) – inne przekształcenia wykresu, takie jak wartość bezwzględna CZYTAJ WIĘCEJ.

No to zaczynamy.

Przesuwanie (przekształcenie) wykresu wzdłuż osi OY

g(x)=f(x)+q lub g(x)=f(x)-q

Przesuwając wykres wzdłuż osi OY mamy tylko dwie możliwości: albo w górę, albo w dół. Poniżej rozpiszę na dwóch przykładach jak to wygląda. Zachęcam Ciebie do obejrzenia dodatkowych materiałów, bardziej szkolnych, sprawdzianowych ;),a teraz przed Tobą wprowadzenie do tematu.

Wykres g(x)=f(x)+q dla q>0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu y=f(x) o q jednostek w górę wzdłuż osi OY.

Funkcje, które są na wykresie to:

  1. wyk1. y=x2
  2. wyk2. y=x2 + 2
  3. wyk3. y=x2 + 5
  4. wyk4. y=x2 + 8

Te liczby, które zaznaczyłam na pomarańczowo to nasze q z tego wzoru g(x)=f(x)+q.

Spójrz na poniższy wykres lub wzory powyżej. Widzisz, za każdym x2 jest + i jakaś liczba, i to dzięki temu, wiem, że wykres muszę przesunąć do góry.

przesuwanie przekształcanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x)+q
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x)+q

Wykres g(x)=f(x)-q dla q>0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu y=f(x) o q jednostek w dół wzdłuż osi OY.

Funkcje, które są na wykresie to:

  1. wyk1. y=x2
  2. wyk2. y=x2 – 2
  3. wyk3. y=x2 – 5
  4. wyk4. y=x2 – 8

Te liczby, które zaznaczyłam na pomarańczowo to nasze q z tego wzoru g(x)=f(x) – q.

I tutaj też spójrz na wzory funkcji, która mamy na wykresie. Za każdym naszym x2 jest , i właśnie to, że ten minus jest za x2, mówi nam o tym, że wykres przesuwamy w dół.

przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x)-q
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x)-q

Podsumowując:

Przekształcanie wykresu funkcji wzdłuż osi OY rozpoznaję po tym, że gdzieś x mam +/- jakąś liczbę. Lepiej spójrz poniżej. (Nie martw się, zaraz zobaczysz jak odróżnić to od przesuwania względem osi OX).

Skąd wiem, że muszę przesunąć wykres w górą lub w dół.
Skąd wiem, że muszę przesunąć wykres w górą lub w dół.

I kolejny przykład na podsumowanie, tym razem z wartością bezwzględną, byś mógł drogi uczniu zobaczyć jeszcze więcej przykładów.

przesuwanie wzdłuż osi OY przypadek z wartością bezwzględną
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek z wartością bezwzględną
przekształcenie wykresu funkcji f(x) - 1
Zad1. Kliknij w zdjęcie i przenieś się na YouTube
przekształcenie wykresu funkcji f(x) + 1
Zad2. Kliknij w zdjęcie i przenieś się na YouTube
przekształcenie wykresu funkcji f(x) - 2
Zad3. Kliknij w zdjęcie i przenieś się na YouTube

Przesuwanie (przekształcenie) wykresu wzdłuż osi OX

g(x)=f(x+q) lub g(x)=f(x-q)

Wykres g(x)=f(x+p) dla p>0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu y=f(x) o p jednostek w LEWO wzdłuż osi OX.

Funkcje, które są na wykresie to:

  1. wyk1. y=x2
  2. wyk2. y=(x + 2)2
  3. wyk3. y=(x + 5)2
  4. wyk4. y=(x + 8)2
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x+p)
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x+p)

Wykres g(x)=f(x-p) dla p>0 otrzymujemy przez przesunięcie wykresu y=f(x) o p jednostek w PRAWO wzdłuż osi OX.

Funkcje, które są na wykresie to:

  1. wyk1. y=x2
  2. wyk2. y=(x – 2)2
  3. wyk3. y=(x – 5)2
  4. wyk4. y=(x – 8)2
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x-p)
przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY przypadek g(x)=f(x-p)

Podsumowując:

Przekształcanie wykresu funkcji wzdłuż osi OX rozpoznaję po tym, że zaraz bliziutko mojego x mam liczbę. Brzmi hard corowo, ale ale spójrz poniżej na przykłady.

Skąd wiem, że muszę przesunąć wykres w lewo lub w prawo.

I jeszcze przykład z wartością bezwzględną. Tak dla pewności.

przesuwanie wykresu y=|x| względem osi OX
przesuwanie wykresu y=|x| względem osi OX
Zad1. Kliknij w zdjęcie i przenieś się na YouTube
Zad2. Kliknij w zdjęcie i przenieś się na YouTube
Zad3. Kliknij w zdjęcie i przenieś się na YouTube

Przesuwanie wykresu o wektor [p,q], inaczej mówiąc translacja o wektor g(x)=(x-p)+q

Przesunięcie wykresu o wektor [p, q] polega na przesunięciu wykresu w poziomie o p i w pionie o q.

Zróbmy od razu konkretny przykład.

Przesuń wykres funkcji y=|x| o wektor:

  • [1,5]
  • [-1,2]
  • [1,-2]
  • [-3,-4]
  • [0,3]
  • [3,0]

By przesunąć wykres funkcji y=|x| o podany wektor, zaczynamy od narysowania wykresu funkcji y=|x|.

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [1,5]. Przesuwamy wykres w poziomie o 1 (w prawo) i w pionie o 5 ( 5 do góry).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor 1,5

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [-1,2]. Przesuwamy wykres w poziomie o 1 (w lewo) i w pionie o 2 ( 2 do góry).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor -1,2

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [1,-2]. Przesuwamy wykres w poziomie o 1 (w prawo) i w pionie o -2 ( -2 w dół).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor 1,-2

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [-3,-4]. Przesuwamy wykres w poziomie o 3 (w lewo) i w pionie o -4 ( -4 w dół).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor -3,-4

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [0,-3]. Przesuwamy wykres w poziomie o 0 ( nie przesuwamy w lewo ani w prawo) i w pionie o 3 ( 3 w dół).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor 0,-3

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [0,3]. Przesuwamy wykres w poziomie o 0 (hihihi czyli nie przesuwamy w lewo ani w prawo) i w pionie o 3 ( 3 w górę).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor 0,3

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [3,0]. Przesuwamy wykres w poziomie o 3 ( w prawo ) i w pionie o 0 ( hehe czyli nie przesuwamy go w górę ani dół).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor 3,0

Przesunięcie wykresu y=|x| o wektor [-3,0]. Przesuwamy wykres w poziomie (oś OX) o 3 ( w lewo ) i w pionie o 0 ( czyli nie przesuwamy go w górę ani dół).

przesuniecie wykresu z wartością bezwzględną o wektor -3,0

Podsumowanie a raczej uzupełnienie tematu o przesuwaniu funkcji o wekor.

Ten temat będę na bieżąco rozszerzać o kolejne przekształcenia.

O mnie

Zgodnie z moją teorią, matematyki może się nauczyć każdy, wystarczy trochę praktyki. Podobnie jak z jazdą na rowerze czy graniem w gry 🙂 im częściej to robisz tym jest łatwiej np. przejść kolejny poziom. Matematyka działa tak samo, im więcej masz praktyki w liczeniu, tym mniej może Ciebie zaskoczyć. Po prostu licz!

Więcej o mnie…