Suma, część wspólna i różnica przedziałów
Przedziały to sposób zapisywania całych „kawałków” osi liczbowej, na przykład wszystkich liczb od −2 do 3. Pojawiają się przy każdej nierówności, przy dziedzinie funkcji i w wielu zadaniach maturalnych. W tym wpisie przypominam, jak zapisuje się przedziały, a potem krok po kroku pokazuję trzy działania: sumę, część wspólną i różnicę przedziałów. Najpewniejszy sposób to rysunek na osi liczbowej, więc każdy przykład jest narysowany.
1Przypomnienie: jak zapisujemy przedziały
Nawias okrągły oznacza, że końca nie bierzemy, a nawias ostry ⟨ ⟩, że koniec należy do przedziału. Na osi rysujemy wtedy odpowiednio puste i pełne kółko. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły, bo nieskończoność nie jest liczbą, którą można wziąć.
| Zapis | Jakie liczby | Na osi |
|---|---|---|
| (−2; 3) | większe od −2 i mniejsze od 3 | oba kółka puste |
| ⟨−2; 3⟩ | od −2 do 3, razem z końcami | oba kółka pełne |
| (−2; 3⟩ | większe od −2, mniejsze lub równe 3 | puste przy −2, pełne przy 3 |
| (−∞; 3) | wszystkie liczby mniejsze od 3 | strzałka w lewo, puste przy 3 |
| ⟨−2; +∞) | wszystkie liczby większe lub równe −2 | pełne przy −2, strzałka w prawo |
2Metoda, która działa zawsze: dwa poziomy na jednej osi
Rysujemy oba przedziały nad jedną osią liczbową, każdy na innej wysokości i w innym kolorze. Dzięki temu od razu widać, gdzie się nakładają, a gdzie nie. Potem odczytujemy wynik i rysujemy go w trzecim wierszu. Szczególną uwagę zwracamy na końce: dla każdego końca wyniku sprawdzamy osobno, czy należy do wyniku.
3Suma przedziałów: A ∪ B
Suma A ∪ B to zbiór liczb, które należą do A lub do B, czyli do przynajmniej jednego z nich. Na rysunku to wszystko, co jest zamalowane w którymkolwiek wierszu.
Przedziały się nakładają, więc razem tworzą jeden kawałek osi od −2 do 5. Lewy koniec −2: należy do A? Nie (puste kółko). Do B? Też nie. Więc nie należy do sumy. Prawy koniec 5: należy do B (pełne kółko), więc należy do sumy.
Przedziały są rozłączne: między 0 a 2 jest przerwa. Suma składa się więc z dwóch osobnych kawałków i tak ją zapisujemy, ze znakiem ∪ pomiędzy.
W pierwszym przypadku liczba 3 nie należy do pierwszego przedziału, ale należy do drugiego, więc przerwy nie ma: suma to ⟨1; 6⟩. W drugim przypadku 3 nie należy do żadnego, więc w sumie zostaje „dziura” w punkcie 3 i wynik to (1; 3) ∪ (3; 6).
4Część wspólna przedziałów: A ∩ B
Część wspólna A ∩ B (iloczyn zbiorów) to zbiór liczb, które należą jednocześnie do A i do B. Na rysunku to miejsca, gdzie zamalowane są oba wiersze naraz.
Oba przedziały nakładają się między 1 a 3. Koniec 1: należy do A? Tak, bo jest między −2 a 3. Do B? Tak (pełne kółko). Należy do obu, więc do części wspólnej. Koniec 3: do B należy, ale do A nie (puste kółko). Do części wspólnej trzeba należeć do obu, więc 3 odpada.
Przy (4; 7) przedziały tylko się stykają, ale 4 nie należy do drugiego z nich, więc nie mają ani jednej wspólnej liczby: część wspólna to zbiór pusty ∅. Przy ⟨4; 7) liczba 4 należy do obu przedziałów, więc część wspólna to jedna liczba, czyli zbiór {4}. Na rysunku pokazany jest ten drugi przypadek.
Przedziały i działania na nich to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” cała seria krótkich lekcji: oś liczbowa, przedziały ograniczone i nieograniczone, suma, część wspólna i różnica, każda z dziewięcioma przykładami. Potem ta wiedza wraca w wartości bezwzględnej i w nierównościach.
Zobacz kurs na Udemy5Różnica przedziałów: A \ B
Różnica A \ B (czytamy „A minus B”) to zbiór liczb, które należą do A, ale nie należą do B. Na rysunku bierzemy pierwszy wiersz i wycinamy z niego wszystko, co jest zamalowane w drugim.
A \ B
Z przedziału A wycinamy wszystko od 1 w prawo, bo to należy do B. Zostaje kawałek od −2 do 1. Koniec 1: należy do B, więc go wycinamy, czyli kółko jest puste. Wynik: (−2; 1).
B \ A
Z przedziału B wycinamy to, co należy do A, czyli wszystko do 3. Zostaje kawałek od 3 do 5. Koniec 3: nie należy do A, więc go nie wycinamy i zostaje w wyniku, kółko jest pełne. Wynik: ⟨3; 5⟩.
B leży w środku A, więc po wycięciu A rozpada się na dwa kawałki. Końce 2 i 5 nie należą do B, więc nie są wycinane i zostają w wyniku z nawiasami ostrymi.
Z całej osi wycinamy przedział (−1; 4⟩. Liczba −1 nie należy do wycinanego przedziału, więc zostaje. Liczba 4 do niego należy, więc wypada.
6Końce przedziałów: ściągawka
| Działanie | Koniec należy do wyniku, gdy… |
|---|---|
| A ∪ B | należy do A lub do B |
| A ∩ B | należy do A i do B |
| A \ B | należy do A i nie należy do B |
Zamiast pamiętać reguły o nawiasach, zawsze możesz sprawdzić konkretny koniec, zadając pytanie z tej tabeli.
Działania na przedziałach pojawiają się na maturze zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i jako fragment innych zadań: zbiór rozwiązań układu nierówności to część wspólna, a dziedzina wyrażenia często powstaje przez wycięcie z osi kilku liczb. Najczęstszy powód utraty punktu to zły nawias na końcu przedziału, dlatego przy każdym końcu warto zadać pytanie z tabeli powyżej.
A. (−3; +∞)
B. ⟨2; 4⟩
C. (2; 4)
D. (−3; 2)
Rozwiązanie: przedziały nakładają się od 2 do 4. Liczba 2 należy do A i do B, a liczba 4 też należy do obu, więc oba końce zostają. Odpowiedź B. Odpowiedź A to suma przedziałów, a D to różnica A \ B.
Rozwiązanie: najpierw rozwiązujemy nierówność. 2x ≤ 6, więc x ≤ 3, czyli A = (−∞; 3⟩. Z A wycinamy wszystko, co należy do B, czyli liczby większe od −1. Liczba −1 nie należy do B, więc zostaje.
Odpowiedź: A \ B = (−∞; −1⟩. W zadaniu otwartym warto narysować oś liczbową, bo pokazuje tok rozumowania.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zły nawias na końcu, zwłaszcza przy różnicy, gdzie końce się „odwracają”. Drugi to nawias ostry przy nieskończoności. Trzeci to zapisanie sumy rozłącznych przedziałów jako jednego przedziału, z pominięciem przerwy. Czwarty to pomylenie sumy z częścią wspólną: suma to „lub”, czyli więcej liczb, a część wspólna to „i”, czyli mniej. Piąty to zamiana kolejności w różnicy: A \ B to co innego niż B \ A.
8Sprawdź się
Wyznacz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie. Rysuj oś liczbową, to naprawdę pomaga.
1. Wyznacz (−1; 4) ∪ ⟨2; 6⟩
(−1; 6⟩
2. Wyznacz (−1; 4) ∩ ⟨2; 6⟩
⟨2; 4)
3. Wyznacz (−1; 4) \ ⟨2; 6⟩
(−1; 2)
4. Wyznacz ⟨2; 6⟩ \ (−1; 4)
⟨4; 6⟩
5. Wyznacz (−∞; 1) ∩ ⟨1; 5⟩
∅, bo 1 nie należy do pierwszego przedziału
6. Wyznacz (−∞; 3⟩ ∪ (0; +∞)
ℝ, czyli (−∞; +∞)
7. Wyznacz ℝ \ ⟨−2; 2⟩
(−∞; −2) ∪ (2; +∞)
8. Wyznacz ⟨−5; 5⟩ \ {0}
⟨−5; 0) ∪ (0; 5⟩
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” przedziały mają serię lekcji z dziesiątkami przykładów, a zaraz po nich jest wartość bezwzględna oraz równania i nierówności z wartością bezwzględną. Dalej przechodzisz przez funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Liczby i działaniaLiczby naturalne w matematyce
- WcześniejNWD i NWW – jak obliczyć i kiedy którego użyć
- Przyda się teżRównania i nierówności z wartością bezwzględną
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
