W styczniu 2021 roku wydawnictwo Nowa Era przygotowało próbną maturę z matematyki na poziomie podstawowym. Do wszystkich 34 zadań nagrałam filmy z rozwiązaniami, a przy wielu z nich pokazuję dwa różne sposoby. W tym wpisie zebrałam je w jednym miejscu razem z kluczem odpowiedzi i krótkimi rozwiązaniami pisemnymi.
Treści zadań nie przepisuję, bo arkusz jest materiałem wydawnictwa. Możesz go rozwiązać online pod adresem podanym na arkuszu (przycisk poniżej) albo zobaczyć treść każdego zadania na początku filmu. Przy każdym zadaniu podaję temat, żebyś szybko trafił do tego, czego szukasz.
Arkusz online Cała playlista na YouTube
1Klucz odpowiedzi
2Zadania zamknięte (1–25)
Wartość bezwzględna i pierwiastki: suma wartości bezwzględnej i pierwiastka z liczby, która jest kwadratem.
Pokaż rozwiązanie
√1681 = 41, bo 41² = 1681. Wtedy |41 − 45| + 41 = 4 + 41 = 45.
Odpowiedź: D, czyli 45
Procenty: cena komputera po obniżce.
Pokaż rozwiązanie
Po obniżce o 25% zostaje 75% ceny: 0,75 · 1968 = 1476 zł.
Odpowiedź: A, czyli 1476 zł
Logarytmy: różnica dwóch liczb zapisanych logarytmami o różnych podstawach.
Pokaż rozwiązanie
log₂2 = 1, więc a = 2. log₄8 = 3/2, bo 4^(3/2) = 8. Różnica: 2 − 3/2 = 1/2.
Odpowiedź: B, czyli 1/2
Pierwiastki: wartość wyrażenia wymiernego dla liczby z pierwiastkiem.
Pokaż rozwiązanie
x − 1 = (1 + √3)/√3 − 1 = 1/√3, więc 1/(x − 1) = √3. Wyrażenie to 1/√3 + √3 = 4/√3 = 4√3/3.
Odpowiedź: A
Trygonometria: stosunek kwadratów sinusa i cosinusa, gdy znamy sinus.
Pokaż rozwiązanie
sin²α = 9/16, a z jedynki trygonometrycznej cos²α = 7/16. Stosunek to 9/7.
Odpowiedź: D, czyli 9/7
Funkcja liniowa: parametr, dla którego dana liczba jest miejscem zerowym.
Pokaż rozwiązanie
Wstawiamy x = 3/4 i przyrównujemy do zera: (5m/3 − 4) · 3/4 + 3m + 6 = 0, czyli 5m/4 − 3 + 3m + 6 = 0. Stąd 17m/4 = −3 i m = −12/17.
Odpowiedź: B, czyli −12/17
Funkcja kwadratowa: oś symetrii paraboli z postaci iloczynowej.
Pokaż rozwiązanie
Miejsca zerowe to −2021 i 1. Oś symetrii przechodzi przez środek między nimi: x = (−2021 + 1)/2 = −1010.
Odpowiedź: B, x = −1010
Funkcja kwadratowa: wybór wykresu pasującego do postaci kanonicznej.
Pokaż rozwiązanie
Z postaci kanonicznej wierzchołek to (−4, 2), a minus przed nawiasem oznacza ramiona skierowane w dół. Pasuje tylko wykres D.
Odpowiedź: D
Układy równań: parametry układu, gdy znamy jego rozwiązanie.
Pokaż rozwiązanie
Wstawiamy x = 2, y = 1: a − b = 4 − 3 = 1 oraz a + b = 4 + 3 = 7. Dodając równania, 2a = 8, więc a = 4 i b = 3.
Odpowiedź: B
Równania: suma rozwiązań równania w postaci iloczynu.
Pokaż rozwiązanie
x³ + 8 = 0 daje x = −2, a x² − 9 = 0 daje x = 3 albo x = −3. Suma: −2 + 3 − 3 = −2.
Odpowiedź: D, czyli −2
Geometria analityczna: równanie drugiej przekątnej rombu.
Pokaż rozwiązanie
Przekątne rombu są prostopadłe, więc BD ma współczynnik kierunkowy 2/3 (iloczyn z −3/2 daje −1) i przechodzi przez środek S = (2, −2): y = 2/3 x − 4/3 − 2 = 2/3 x − 10/3.
Odpowiedź: B
Funkcja liniowa: wyraz wolny prostej przez dwa punkty.
Pokaż rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy: (−2 − 3)/(4 + 3) = −5/7. Z punktu P: 3 = −5/7 · (−3) + b, więc b = 3 − 15/7 = 6/7.
Odpowiedź: D, czyli 6/7
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyOdczytywanie z wykresu: zbiór wartości funkcji z rysunku, uwaga na kółka puste i pełne.
Pokaż rozwiązanie
Lewa część wykresu przyjmuje wartości od −4 do −2 (−2 bez punktu, bo kółko jest puste), a prawa wszystkie wartości od −2 do 3. Razem dostajemy cały przedział od −4 do 3, z obydwoma końcami.
Odpowiedź: D, czyli ⟨−4, 3⟩
Przekształcenia wykresów: miejsce zerowe funkcji przesuniętej w górę.
Pokaż rozwiązanie
h(x) = 0 oznacza f(x) = −2. Na wykresie wartość −2 jest osiągana tylko w x = 7 (w x = −3 kółko jest puste).
Odpowiedź: C, czyli 7
Ciąg arytmetyczny: różnica ciągu z równości łączącej dwa wyrazy.
Pokaż rozwiązanie
a₅ − a₂ = 3r. Z równości a₂ + 20 = a₅ + 50 mamy a₅ − a₂ = −30, więc r = −10.
Odpowiedź: A, czyli −10
Ciąg geometryczny: iloraz ciągu, którego wyrazy zależą od x.
Pokaż rozwiązanie
(x + 3)² = (4x + 4)(x + 1) = 4(x + 1)². Wyrazy są dodatnie, więc x + 3 = 2(x + 1), czyli x = 1. Ciąg to 8, 4, 2, a iloraz 1/2.
Odpowiedź: B, czyli 1/2
Kąty w okręgu: kąt wpisany oparty na tym samym łuku co inny kąt wpisany.
Pokaż rozwiązanie
Kąt ABD jest oparty na tym samym łuku AD co kąt ACD, więc mają tę samą miarę. Z trójkąta ACD: ∡ACD = 180° − 110° − 28° = 42°.
Odpowiedź: C, czyli 42°
Planimetria: pole trójkąta prostokątnego z wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną.
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną |BC|² = |BD| · |AB|, więc |AB| = 25/3. Pole: ½ · 25/3 · 4 = 50/3 = 16⅔.
Odpowiedź: A
Podobieństwo: obwód trójkąta podobnego, gdy znamy różnicę jego boków.
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie ABC różnica najdłuższego i najkrótszego boku to 12 − 6 = 6. W PQR ta różnica to 9, więc skala podobieństwa to 1,5. Obwód: 28 · 1,5 = 42.
Odpowiedź: B, czyli 42
Geometria analityczna: obwód kwadratu z wierzchołka i punktu przecięcia przekątnych.
Pokaż rozwiązanie
|AS| = √(16 + 9) = 5, więc przekątna kwadratu ma długość 10, a bok 10/√2 = 5√2. Obwód: 20√2.
Odpowiedź: D
Stereometria: objętość walca z wydrążonym stożkiem.
Pokaż rozwiązanie
Walec: π · 4 · 4 = 16π. Stożek ma wysokość 4 − 1 = 3: ⅓ · π · 4 · 3 = 4π. Bryła: 16π − 4π = 12π.
Odpowiedź: B, czyli 12π
Stereometria: objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z kąta nachylenia przekątnej.
Pokaż rozwiązanie
Przekątna podstawy: √8 · √2 = 4. Przy kącie 45° wysokość jest równa przekątnej podstawy, czyli 4. Objętość: (√8)² · 4 = 32.
Odpowiedź: B, czyli 32
Stereometria: objętość prostopadłościanu z pól trzech ścian.
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn pól trzech ścian to (ab)(bc)(ac) = (abc)², czyli V². V² = 72 · 36 · 18 = 46 656, więc V = 216.
Odpowiedź: C, czyli 216
Statystyka: mediana danych z tabeli liczebności.
Pokaż rozwiązanie
Osób jest 64, więc mediana to średnia 32. i 33. wartości. Licząc narastająco: 11, 17, 22, 32, więc 32. osoba uczy się 3 lata, a 33. już 4 lata. Mediana: 3,5.
Odpowiedź: C, czyli 3,5
Prawdopodobieństwo: liczba kul w pojemniku przy znanym prawdopodobieństwie.
Pokaż rozwiązanie
Niech c to liczba kul czarnych, wtedy białych jest c + 6. Z warunku (c + 6)/(2c + 6) = 2/3 dostajemy 3c + 18 = 4c + 12, czyli c = 6. Wszystkich kul: 6 + 12 = 18.
Odpowiedź: C, czyli 18
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. W filmach pokazuję pełny zapis, a tutaj znajdziesz najważniejsze kroki i wynik, żeby szybko sprawdzić swoje rozwiązanie.
Nierówność kwadratowa: nierówność z wyrażeniem (2x − 1) powtarzającym się dwa razy.
Pokaż rozwiązanie
Wyłączamy (2x − 1): (2x − 1)(2x − 1 − 4) > 0, czyli (2x − 1)(2x − 5) > 0. Miejsca zerowe to 1/2 i 5/2, ramiona paraboli idą w górę.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, 1/2) ∪ (5/2, +∞)
Funkcja kwadratowa: współczynniki b i c, gdy znamy wierzchołek paraboli.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza współrzędna wierzchołka: −b/(2 · 2) = 1, więc b = −4. Wierzchołek leży na wykresie: f(1) = 2 − 4 + c = −8, więc c = −6.
Odpowiedź: b = −4, c = −6
Prawdopodobieństwo: losowanie dwóch kul bez zwracania: ten sam kolor lub ten sam numer.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich par kul jest C(6, 2) = 15. Ten sam kolor: po 3 pary czerwonych i białych, razem 6. Ten sam numer (kule muszą mieć wtedy różne kolory): 3 pary. Te zdarzenia się nie pokrywają, więc sprzyjających par jest 9.
Odpowiedź: P = 9/15 = 3/5
Dowód algebraiczny: nierówność z ułamkami dla liczb ujemnych.
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy obie strony przez 9x. Liczba x jest ujemna, więc zmieniamy zwrot nierówności: x² + 36 ≥ −12x.
Przenosimy wszystko na lewą stronę: x² + 12x + 36 ≥ 0, czyli (x + 6)² ≥ 0. To jest prawdą, a przekształcenia były równoważne. To kończy dowód.
Dowód geometryczny: kwadrat i dwa trójkąty równoboczne zbudowane na jego przekątnych.
Pokaż rozwiązanie
Przekątna kwadratu tworzy z bokiem kąt 45°, a kąty trójkąta równobocznego mają 60°. Dlatego ∡GCD = 60° − 45° = 15° i tak samo ∡GDC = 15°.
Punkt C jest jednakowo odległy od B i D, tak samo punkt F, więc prosta FC jest symetralną odcinka BD i dzieli kąt BFD na połowy: ∡CFD = 30°.
Kąt CGF jest kątem zewnętrznym trójkąta CGD, więc ∡CGF = 15° + 15° = 30°. Trójkąt CFG ma dwa kąty po 30° (przy F i przy G), więc jest równoramienny i |CG| = |CF|. To kończy dowód.
Geometria analityczna: wierzchołek trójkąta prostokątnego leżący na osi Oy.
Pokaż rozwiązanie
Niech C = (0, c). Kąt przy A jest prosty, więc wektory AB = (3, 4) i AC = (−3, c − 1) są prostopadłe: 3 · (−3) + 4(c − 1) = 0.
Stąd 4c = 13 i c = 13/4.
Odpowiedź: C = (0, 13/4)
Ciąg arytmetyczny: wzór ogólny ciągu z sum wybranych wyrazów.
Pokaż rozwiązanie
Ciąg ma 21 wyrazów, więc środkowy wyraz a₁₁ jest ich średnią: a₁₁ = 147 : 21 = 7, czyli a₁ + 10r = 7.
Suma odrzuconych wyrazów to 147 − 108 = 39: a₁ + a₂ + a₁₉ + a₂₀ + a₂₁ = 5a₁ + 58r = 39.
Wstawiamy a₁ = 7 − 10r: 35 + 8r = 39, więc r = 1/2 i a₁ = 2.
Odpowiedź: aₙ = 2 + (n − 1) · 1/2 = n/2 + 3/2
Planimetria: pole trapezu prostokątnego z symetralną ramienia.
Pokaż rozwiązanie
Ustawmy trapez w układzie współrzędnych: A = (0, 0), B = (13, 0), C = (13, h), D = (2, h), F = (13, 1).
Punkt F leży na symetralnej odcinka AD, więc |FA| = |FD|: 169 + 1 = 121 + (h − 1)². Stąd (h − 1)² = 49 i h = 8.
Pole trapezu: (13 + 11)/2 · 8 = 96.
Odpowiedź: P = 96
Stereometria: objętość i pole ostrosłupa trójkątnego, którego spodek wysokości leży w środku wysokości podstawy.
Pokaż rozwiązanie
Wysokość podstawy |AD| = 2√3, więc |AO| = |OD| = √3. Ściana BCS jest równoboczna, więc jej wysokość |SD| = 2√3.
Trójkąt SOD jest prostokątny: |SO| = √(12 − 3) = 3. Objętość: ⅓ · 4√3 · 3 = 4√3.
Pole podstawy i ściany BCS: po 4√3. Krawędź |SA| = √(9 + 3) = 2√3. Ściany ABS i ACS to trójkąty o bokach 4, 4, 2√3, każda o polu ½ · 2√3 · √13 = √39.
Odpowiedź: V = 4√3, Pc = 8√3 + 2√39
4Jak wykorzystać próbną maturę
Próbna matura przydaje się najbardziej wtedy, gdy rozwiążesz ją w warunkach egzaminu: w wyznaczonym czasie, z kalkulatorem prostym i zestawem wzorów maturalnych. Dopiero potem sprawdź odpowiedzi w kluczu i obejrzyj filmy do zadań, w których się pomyliłeś. Przy zadaniach rozwiązanych na dwa sposoby warto obejrzeć oba filmy, bo na maturze przydaje się mieć więcej niż jedną drogę do wyniku.
Arkusze wydawnictw są zwykle bardzo podobne do prawdziwych matur, ale nie identyczne. Dlatego warto łączyć je z arkuszami CKE z poprzednich lat, które znajdziesz na moim blogu razem z pełnymi treściami i rozwiązaniami.
Rozwiązania wszystkich zadań z tego arkusza są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejPróbna matura z matematyki Operon, marzec 2020, poziom podstawowy: rozwiązania
- DalejJak zdać poprawkę w sierpniu z matematyki?
- Przyda się teżDarmowy kurs maturalny z matematyki: zadania, które były na maturze
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
