Dodatkowy termin matury z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 2 czerwca 2021 roku. Arkusz miał tę samą budowę co majowy: 35 zadań, w tym 28 zamkniętych i 7 otwartych, oraz 45 punktów do zdobycia. W tym wpisie znajdziesz pełne treści wszystkich zadań, rozwiązania krok po kroku i filmy z moimi rozwiązaniami.
Rozwiązania są schowane pod przyciskiem, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie. Przy zadaniach 16, 20 i 29 znajdziesz po dwa filmy z różnymi sposobami rozwiązania.
1Jak korzystać z tego wpisu
Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminu, z kalkulatorem prostym i zestawem wzorów maturalnych. Potem sprawdź odpowiedzi w kluczu, a przy zadaniach, w których się pomyliłeś, przeczytaj rozwiązanie i obejrzyj film.
2Zadania zamknięte (1–28)
Wartość wyrażenia 2 · (2 − 3) + 3 · (2 − 3) jest równa
Pokaż rozwiązanie
Wyłączamy wspólny nawias: (2 + 3)(2 − 3) = 2 − 3 = −1.
Odpowiedź: D
Liczba (754 · 714)23 jest równa
Pokaż rozwiązanie
W nawiasie dodajemy wykładniki: 5/4 + 1/4 = 3/2. Potem mnożymy: 3/2 · 2/3 = 1.
Odpowiedź: B
Niech log3 18 = c. Wtedy log3 54 jest równy
Pokaż rozwiązanie
54 = 18 · 3, więc log3 54 = log3 18 + log3 3 = c + 1.
Odpowiedź: C
Cenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o
Pokaż rozwiązanie
Po obu obniżkach zostaje 0,8 · 0,9 = 0,72 ceny, czyli cena spadła o 28%. Obniżek nie można po prostu dodać, bo druga liczy się od mniejszej kwoty.
Odpowiedź: B
Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x − 1)² − (2 − x)² jest równe
Pokaż rozwiązanie
Ze wzoru na różnicę kwadratów: (x − 1 − 2 + x)(x − 1 + 2 − x) = (2x − 3) · 1 = 2x − 3.
Odpowiedź: A
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, spełniających jednocześnie nierówności 0 < 7 − 3x oraz 7 − 3x ≤ 5x − 3. Rysunki w arkuszu przedstawiają na osi liczbowej następujące zbiory:
Pokaż rozwiązanie
Z pierwszej nierówności x < 7/3. Z drugiej 10 ≤ 8x, czyli x ≥ 5/4. Część wspólna to ⟨5/4, 7/3).
Odpowiedź: B
Rozwiązaniem równania x3 + 2 = 2x − 8 jest liczba
Pokaż rozwiązanie
x(3 − 2) = −10, więc x = 102 − 3. Usuwamy niewymierność, mnożąc przez 2 + √3: x = 10(2 + √3)/(4 − 3) = 10(2 + √3).
Odpowiedź: A
Równanie x2 − 7xx2 − 49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie
Pokaż rozwiązanie
Licznik x(x − 7) zeruje się dla 0 i 7, ale 7 zeruje też mianownik (x − 7)(x + 7), więc odpada. Zostaje tylko x = 0.
Odpowiedź: A
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze (−1, 7).
Wskaż zdanie prawdziwe.
Pokaż rozwiązanie
Wartość 1 jest osiągana dla x z przedziału ⟨5, 6⟩, a większych wartości funkcja nie przyjmuje, więc największa wartość to 1. Miejsca zerowe są dwa (x = 1 i x = 4,5, bo x = 7 nie należy do dziedziny), zbiór wartości to ⟨−1, 1⟩, a dla x z (−1, 0) wartości są dodatnie.
Odpowiedź: C
Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = −3(x + 4)(x − 2) jest parabola o wierzchołku W = (p, q). Współrzędne wierzchołka W spełniają warunki
Pokaż rozwiązanie
Miejsca zerowe to −4 i 2, więc p = −1 < 0. Ramiona idą w dół, a parabola ma dwa miejsca zerowe, więc wierzchołek leży nad osią: q > 0.
Odpowiedź: B
Informacja do zadań 11. i 12. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0, 3). Prosta o równaniu x = −2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f.
Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
Pokaż rozwiązanie
Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi x = −2. Liczba 2 jest odległa od osi o 4, więc drugie miejsce zerowe to −2 − 4 = −6.
Odpowiedź: D
Wartość funkcji f dla argumentu (−4) jest równa
Pokaż rozwiązanie
Argumenty 0 i −4 leżą symetrycznie względem osi x = −2, więc f(−4) = f(0) = 3.
Odpowiedź: C
Dane są ciągi (aₙ), (bₙ), (cₙ), (dₙ), określone dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorami: aₙ = 20n + 3, bn = 2n2 − 3, cn = n2 + 10n − 2, dn = n + 187n. Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu
Pokaż rozwiązanie
a₁₀ = 203, b₁₀ = 200 − 3 = 197, c₁₀ = 198, d₁₀ = 19,7.
Odpowiedź: B
Ciąg geometryczny (aₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a₃ = a₁ · a₂. Niech q oznacza iloraz ciągu (aₙ). Wtedy
Pokaż rozwiązanie
a₁q² = a₁ · a₁q. Dzielimy przez a₁q (oba dodatnie): q = a₁.
Odpowiedź: B
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyKąt o mierze α jest ostry i tg α = 5. Wtedy
Pokaż rozwiązanie
sin α = √5 cos α. Z jedynki trygonometrycznej: 5cos²α + cos²α = 1, więc cos²α = 1/6.
Odpowiedź: A
Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82° (zobacz rysunek w arkuszu). Miara kąta OBC jest równa
Pokaż rozwiązanie
Kąt BOC = 180° − 82° = 98°. Trójkąt OBC jest równoramienny (|OB| = |OC|), więc ∡OBC = (180° − 98°)/2 = 41°. Można też zauważyć, że ∡OBC = ∡OCB to kąt wpisany oparty na łuku AB, czyli połowa z 82°.
Odpowiedź: A
Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie A. Punkty B i C są położone na okręgu tak, że BC jest jego średnicą. Cięciwa AB tworzy ze styczną kąt o mierze 40° (zobacz rysunek w arkuszu). Miara kąta ABC jest równa
Pokaż rozwiązanie
Kąt między styczną a cięciwą AB jest równy kątowi wpisanemu ACB opartemu na łuku AB: ∡ACB = 40°. Kąt BAC jest oparty na średnicy, więc ma 90°. Stąd ∡ABC = 90° − 40° = 50°.
Odpowiedź: D
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC| = 24, |BC| = 10, |AB| = 26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek w arkuszu). Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa
Pokaż rozwiązanie
Punkt przecięcia dwusiecznych to środek okręgu wpisanego, a jego odległość od boków to promień. W trójkącie prostokątnym r = (a + b − c)/2 = (24 + 10 − 26)/2 = 4.
Odpowiedź: B
Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości
Pokaż rozwiązanie
Połowy przekątnych i bok tworzą trójkąt, więc suma połówek przekątnych musi być większa od 5. Dla A: 2 + 3 = 5, dla B: 2 + 1,5, dla D: 2,5 + 2,5 = 5, czyli trójkąt nie powstaje. Dla C: 5 + 5 > 5, więc to możliwe.
Odpowiedź: C
W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek w arkuszu). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą
Pokaż rozwiązanie
Najkrótsza wysokość jest opuszczona na najdłuższy bok. Dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty prostokątne z kątem 60° przy wierzchołku i przyprostokątną 6 naprzeciw niego, więc h = 6 : tg 60° = 6/√3 = 2√3.
Odpowiedź: B
Prosta przechodząca przez punkty (−4, −1) oraz (5, 5) ma równanie
Pokaż rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy: (5 + 1)/(5 + 4) = 2/3. Z punktu (5, 5): 5 = 10/3 + b, więc b = 5/3.
Odpowiedź: B
Proste o równaniach y = −1m − 2x − 1 i y = 13x + 1 są równoległe. Wynika stąd, że
Pokaż rozwiązanie
−1/(m − 2) = 1/3, więc m − 2 = −3 i m = −1.
Odpowiedź: B
W prostokącie ABCD dane są wierzchołki C = (−3, 1) oraz D = (2, 1). Bok AD ma długość 6. Pole tego prostokąta jest równe
Pokaż rozwiązanie
|CD| = 5, a |AD| = 6, więc pole to 30.
Odpowiedź: D
Obrazem prostej o równaniu x − 2y + 3 = 0 w symetrii osiowej względem osi Oy jest prosta o równaniu
Pokaż rozwiązanie
W symetrii względem osi Oy zamieniamy x na −x: −x − 2y + 3 = 0, czyli x + 2y − 3 = 0.
Odpowiedź: C
Graniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe
Pokaż rozwiązanie
Graniastosłup o podstawie n-kąta ma 3n krawędzi, więc n = 12. Ściany boczne to 12 kwadratów 4 × 4: 12 · 16 = 192.
Odpowiedź: B
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy
Pokaż rozwiązanie
Pole boczne: 6 · ½ · a · 2a = 6a². Pole podstawy (sześć trójkątów równobocznych): 6 · a²√3/4 = 3√3a²/2. Stosunek: 6 : (3√3/2) = 4/√3 = 4√3/3.
Odpowiedź: B
W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera – spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe
Pokaż rozwiązanie
Jeśli samogłosek jest s, to spółgłosek 1,25s, a wszystkich płytek 2,25s. P = s : 2,25s = 4/9.
Odpowiedź: C
Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2, 3x, 3x + 2, 3x + 4 jest równa 132. Wynika stąd, że
Pokaż rozwiązanie
Suma liczb to 9x + 8 i ma być równa 4 · 13/2 = 26. Stąd 9x = 18 i x = 2.
Odpowiedź: D
3Zadania otwarte (29–35)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. Zapisuj obliczenia i kończ każde zadanie odpowiedzią albo zdaniem, że dowód jest zakończony.
Rozwiąż nierówność:
2(x + 1)(x − 3) < x2 − 9
Pokaż rozwiązanie
Wymnażamy: 2x² − 4x − 6 < x² − 9, czyli x² − 4x + 3 < 0, czyli (x − 1)(x − 3) < 0. Ramiona paraboli idą w górę, więc wartości ujemne są między miejscami zerowymi.
Odpowiedź: x ∈ (1, 3)
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a + b2 > c i b + c2 > a, prawdziwa jest nierówność
a + c2 < b
Pokaż rozwiązanie
Dodajemy obie nierówności stronami: (a + 2b + c)/2 > a + c. Mnożymy przez 2: a + 2b + c > 2a + 2c, czyli 2b > a + c.
Dzieląc przez 2, dostajemy (a + c)/2 < b. To kończy dowód.
Dany jest ciąg arytmetyczny (aₙ), określony dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20a₂₁ + 62. Oblicz różnicę ciągu (aₙ).
Pokaż rozwiązanie
S₂₀ = (2a₁ + 19r)/2 · 20 = 20a₁ + 190r, a 20a₂₁ = 20(a₁ + 20r) = 20a₁ + 400r.
Z równości 20a₁ + 190r = 20a₁ + 400r + 62 mamy −210r = 62, więc r = −31/105.
Odpowiedź: r = −31/105
Dany jest trapez o podstawach długości a oraz b i wysokości h. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość h trapezu.
Pokaż rozwiązanie
Nowe pole: (1,25a + 1,25b)/2 · h′ = 1,25 · (a + b)/2 · h′. Ma być równe (a + b)/2 · h, więc h′ = h : 1,25 = 0,8h.
Odpowiedź: wysokość skrócono o 20%
W trójkącie ABC boki BC i AC są równej długości. Prosta k jest prostopadła do podstawy AB tego trójkąta i przecina boki AB oraz BC w punktach – odpowiednio – D i E. Pole czworokąta ADEC jest 17 razy większe od pola trójkąta BED. Oblicz |CE||EB|.
Pokaż rozwiązanie
Niech M będzie środkiem podstawy AB. Wysokość CM dzieli trójkąt ABC na dwie równe części. Pole ABC to 18 pól trójkąta BED (17 + 1), więc pole BMC to 9 pól BED.
Trójkąty BED i BMC są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt przy B). Stosunek pól to 1 : 9, więc skala to 1 : 3, czyli |EB| = ⅓|BC| i |CE| = ⅔|BC|.
Odpowiedź: |CE| : |EB| = 2
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0, 1, 2, 3, 4}, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich takich liczb jest 6 · 5 = 30. Podzielne przez 4: 32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84, czyli 9 liczb.
Odpowiedź: P = 9/30 = 3/10
Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y = −2x + 16. Wierzchołki B i C mają współrzędne B = (3, 10) i C = (−2, 3). Oblicz współrzędne wierzchołka A i pole trójkąta ABC.
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie równoramiennym wysokość z C pada na środek M podstawy AB. Prosta przez C prostopadła do AB ma współczynnik ½: y = ½x + 4.
Punkt M: −2x + 16 = ½x + 4, więc x = 24/5 i y = 32/5. A = 2M − B = (48/5 − 3, 64/5 − 10) = (33/5, 14/5).
Pole: ½ · |AB| · |CM|, gdzie |CM| = √(57,8) i |AB| = 2√(16,2). Wychodzi P = √(16,2 · 57,8) = √936,36 = 30,6 = 153/5. Ten sam wynik daje wzór na pole trójkąta z wektorów.
Odpowiedź: A = (33/5, 14/5), P = 153/5
4Czego uczy ten arkusz
W zadaniu 4 widać, że dwóch obniżek procentowych nie można po prostu dodać: 20% i 10% dają razem 28%, a nie 30%. W zadaniu 8 liczba zerująca mianownik odpada, mimo że zeruje też licznik. Zadania 11 i 12 pokazują, jak dużo daje symetria paraboli, a zadanie 19 sprawdza warunek trójkąta ukryty w równoległoboku.
Zadania otwarte sprawdzają między innymi dowód przez dodanie nierówności stronami (30), sprytne porównanie sumy wyrazów ciągu (31), procenty w geometrii (32), stosunek pól figur podobnych (33) i wysokość trójkąta równoramiennego w układzie współrzędnych (35).
Rozwiązania wszystkich zadań z tego arkusza są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejMatura z matematyki maj 2021, poziom podstawowy: zadania i rozwiązania
- DalejMatura próbna z matematyki CKE Marzec 2021
- Przyda się teżDarmowy kurs maturalny z matematyki: zadania, które były na maturze
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
