✦ Matura 2026: kurs od podstaw do pełnych zadań Dołącz →
Matura z matematyki na poziomie podstawowym odbyła się 5 maja 2021 roku. W tym roku arkusz miał inną budowę niż wcześniej: 35 zadań, w tym 28 zamkniętych i 7 otwartych, oraz 45 punktów do zdobycia. W tym wpisie znajdziesz pełne treści wszystkich zadań, rozwiązania krok po kroku i filmy z moimi rozwiązaniami.
Rozwiązania są schowane pod przyciskiem, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie. Do zadania 13 są dwa filmy.
Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminu, z kalkulatorem prostym i zestawem wzorów maturalnych. Potem sprawdź odpowiedzi w kluczu, a przy zadaniach, w których się pomyliłeś, przeczytaj rozwiązanie i obejrzyj film.
Liczba 1005 · (0,1)−6 jest równa
1005 = 1010 oraz (0,1)−6 = (10−1)−6 = 106, więc iloczyn to 1016.
Odpowiedź: B
Liczba 78 stanowi 150% liczby c. Wtedy liczba c jest równa
1,5c = 78, więc c = 52.
Odpowiedź: B
Rozważamy przedziały liczbowe (−∞, 5) i ⟨−1, +∞). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?
Część wspólna to ⟨−1, 5), czyli liczby całkowite −1, 0, 1, 2, 3, 4. Jest ich 6.
Odpowiedź: A
Suma 2log10 + log103 jest równa
log√10 = ½, więc 2 · ½ = 1. log10³ = 3. Suma: 4.
Odpowiedź: C
Różnica 0,(3) − 2333 jest równa
0,(3) = 1/3 = 11/33, więc różnica to 11/33 − 23/33 = −12/33 = −4/11.
Odpowiedź: D
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 2 − x2 − 2x ≥ 1 jest przedział
Mnożymy przez 2: 2 − x − 4x ≥ 2, czyli −5x ≥ 0 i x ≤ 0.
Odpowiedź: B
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze ⟨−6, 5⟩.
Funkcja g jest określona wzorem g(x) = f(x) − 2 dla x ∈ ⟨−6, 5⟩. Wskaż zdanie prawdziwe.
Z wykresu f(2) = 0 (odcinek od (0, −2) do (3, 1)), więc g(2) = −2 i f(2) + g(2) = −2. Pozostałe zdania są fałszywe: wykres g jest przesunięty o 2 w dół, więc ma inne wartości i inne miejsca zerowe, a g(0) = −4.
Odpowiedź: A
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań: dwie proste, z których jedna przechodzi przez punkty (−1, 0) i (1, 2), a druga przez punkty (0, 4) i (2, 0). Wskaż ten układ.
Prosta rosnąca przecina oś Oy w punkcie 1 i ma nachylenie 1: y = x + 1. Prosta malejąca przecina oś Oy w punkcie 4 i oś Ox w punkcie 2: y = −2x + 4.
Odpowiedź: A
Proste o równaniach y = 3x − 5 oraz y = m − 32x + 92 są równoległe, gdy
(m − 3)/2 = 3, więc m = 9.
Odpowiedź: D
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x22x − 2 dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1. Wtedy dla argumentu x = 3 − 1 wartość funkcji f jest równa
x2 = 4 − 23 oraz 2x − 2 = 23 − 4. Licznik i mianownik są liczbami przeciwnymi, więc ułamek jest równy −1.
Odpowiedź: B
Do wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = 3x − 2 należy punkt o współrzędnych
f(0) = 3⁰ − 2 = 1 − 2 = −1, więc punkt (0, −1) leży na wykresie.
Odpowiedź: C
Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = −2(x + 1)(x − 3) jest malejąca w przedziale
Miejsca zerowe to −1 i 3, więc wierzchołek ma pierwszą współrzędną 1. Ramiona idą w dół, więc funkcja maleje od wierzchołka w prawo.
Odpowiedź: A
Trzywyrazowy ciąg (15, 3x, 53) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że
(3x)² = 15 · 5/3 = 25, więc 3x = 5 (wyrazy dodatnie) i x = 5/3.
Odpowiedź: D
Ciąg (bₙ) jest określony wzorem bn = 3n2 − 25n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu (bₙ) jest równa
n(3n − 25) ≤ 0 dla n ≤ 25/3 ≈ 8,33. Liczby naturalne od 1 do 8, czyli 8 wyrazów.
Odpowiedź: D
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyCiąg arytmetyczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek a₃ + a₅ = 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
W ciągu arytmetycznym a₄ to średnia sąsiednich wyrazów: 58 : 2 = 29.
Odpowiedź: B
Dla każdego kąta ostrego α iloczyn cos α1 − sin2α · 1 − cos2αsin α jest równy
Z jedynki trygonometrycznej 1 − sin2α = cos2α i 1 − cos2α = sin2α. Iloczyn to (cos α/cos²α) · (sin²α/sin α) = sin α/cos α = tg α.
Odpowiedź: B
Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa 80°. Przez punkty O i B poprowadzono prostą, która przecina prostą k w punkcie C (zobacz rysunek w arkuszu). Miara kąta BAC jest równa
Trójkąt AOB jest równoramienny (|OA| = |OB|), więc ∡OAB = (180° − 80°)/2 = 50°. Promień OA jest prostopadły do stycznej, więc ∡BAC = 90° − 50° = 40°.
Odpowiedź: C
Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tg α = 25, gdzie α to kąt przy wierzchołku A (zobacz rysunek w arkuszu). Pole tego trójkąta jest równe
tg α = |BC| : |AC|, więc |BC| = 8 · 2/5 = 16/5. Pole: ½ · 8 · 16/5 = 64/5.
Odpowiedź: D
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe 439. Obwód tego trójkąta jest równy
a²√3/4 = 4√3/9, więc a² = 16/9 i a = 4/3. Obwód: 3 · 4/3 = 4.
Odpowiedź: A
W trójkącie ABC bok BC ma długość 13, a wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB na odcinki o długościach |AD| = 3 i |BD| = 12 (zobacz rysunek w arkuszu). Długość boku AC jest równa
Z trójkąta BDC: |CD| = √(169 − 144) = 5. Z trójkąta ADC: |AC| = √(9 + 25) = √34.
Odpowiedź: A
Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∡SBC| = 60°, |∡BCD| = 110°, |∡CDA| = 90° (zobacz rysunek w arkuszu). Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa
W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do 180°: ∡DAB = 180° − 110° = 70° i ∡ABC = 180° − 90° = 90°.
Stąd ∡ABS = 90° − 60° = 30°. Trójkąt ABS jest równoramienny (|SA| = |SB|), więc ∡BAS = 30°. Zatem α = 70° − 30° = 40°.
Odpowiedź: D
W równoległoboku ABCD kąt α przy wierzchołku A ma miarę 70°. Z wierzchołka B poprowadzono wysokości na boki AD i CD, a β to kąt między nimi (zobacz rysunek w arkuszu). Wtedy kąt β ma miarę
Kąt między dwiema wysokościami jest równy kątowi między prostymi, do których są prostopadłe. Kąt ostry między bokami AD i DC równoległoboku to 70°, więc β = 70°.
Odpowiedź: B
W każdym n-kącie wypukłym (n ≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n − 3)2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
n(n − 3)/2 = n + 25, czyli n² − 5n − 50 = 0. Δ = 225, n = (5 + 15)/2 = 10.
Odpowiedź: B
Pole figury F₁ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F₂ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości r (zobacz rysunek w arkuszu). Długość r promienia jest równa
Pole F₁: π + 9π = 10π. Pole F₂: 2πr². Z równości 2r² = 10 mamy r = √5.
Odpowiedź: C
Punkt A = (3, −5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M = (1, 3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCD jest równe
|AM| = √(4 + 64) = √68, więc przekątna d = 2√68 i d² = 272. Pole kwadratu: d²/2 = 136.
Odpowiedź: B
Z wierzchołków sześcianu ABCDEFGH losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu ABCDEFGH, jest równe
Par wierzchołków jest C(8, 2) = 28, a przekątnych sześcianu 4. P = 4/28 = 1/7.
Odpowiedź: A
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
Pierwsza cyfra to 7, 8 albo 9 (3 możliwości), druga jedna z pozostałych 5, trzecia jedna z pozostałych 4: 3 · 5 · 4 = 60.
Odpowiedź: B
Sześciowyrazowy ciąg liczbowy (1, 2, 2x, x + 2, 5, 6) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa 4. Wynika stąd, że
Mediana to średnia trzeciego i czwartego wyrazu: (2x + x + 2)/2 = 4, więc 3x = 6 i x = 2. Ciąg 1, 2, 4, 4, 5, 6 jest niemalejący.
Odpowiedź: C
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. Zapisuj obliczenia i kończ każde zadanie odpowiedzią albo zdaniem, że dowód jest zakończony.
Rozwiąż nierówność:
x2 − 5x ≤ 14
x² − 5x − 14 ≤ 0, czyli (x − 7)(x + 2) ≤ 0. Miejsca zerowe to −2 i 7, ramiona paraboli idą w górę.
Odpowiedź: x ∈ ⟨−2, 7⟩
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność
ab < a + cb + c
Mnożymy obie strony przez b(b + c), które jest dodatnie: a(b + c) < b(a + c), czyli ab + ac < ab + bc, czyli ac < bc.
Dzielimy przez c > 0 i dostajemy a < b, co jest prawdą z założenia. Przekształcenia były równoważne, więc teza jest prawdziwa.
Funkcja liniowa f przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto f(4) − f(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji f.
f(x) = ax + b i f(0) = b = 2. f(4) − f(2) = 4a − 2a = 2a = 6, więc a = 3.
Odpowiedź: f(x) = 3x + 2
Rozwiąż równanie:
3x + 23x − 2 = 4 − x
Dziedzina: x ≠ 2/3. Mnożymy przez (3x − 2): 3x + 2 = (4 − x)(3x − 2) = −3x² + 14x − 8, czyli 3x² − 11x + 10 = 0.
Δ = 121 − 120 = 1, x = (11 − 1)/6 = 5/3 albo x = (11 + 1)/6 = 2. Obie liczby należą do dziedziny.
Odpowiedź: x = 5/3 lub x = 2
Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 93. Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 32. Oblicz długość boku trójkąta AKL.
a²√3/4 = 9√3, więc a² = 36 i bok trójkąta ABC ma długość 6.
Boki trójkąta ABC są 3/2 razy dłuższe od boków AKL, więc bok AKL to 6 · 2/3 = 4.
Odpowiedź: 4
Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.
|Ω| = 36. Suma 4: 3 wyniki, suma 5: 4 wyniki, suma 6: 5 wyników, razem 12.
Odpowiedź: P(A) = 12/36 = 1/3
Punkty A = (−20, 12) i B = (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.
Niech C = (0, c). Z równości |AC|² = |BC|²: 400 + (c − 12)² = 49 + (c − 3)². Po rozwinięciu 544 − 24c = 58 − 6c, więc 18c = 486 i c = 27.
|AC| = √(400 + 225) = 25, |BC| = √(49 + 576) = 25, |AB| = √(729 + 81) = √810 = 9√10.
Odpowiedź: C = (0, 27), obwód 50 + 9√10
W zadaniu 7 trzeba uważnie czytać wykres, zwłaszcza kółka puste i pełne. Zadanie 10 wygląda na rachunkowe, ale wystarczy zauważyć, że licznik i mianownik są liczbami przeciwnymi. W zadaniu 14 pytanie dotyczy wyrazów niedodatnich, a zadanie 21 łączy własności czworokąta wpisanego w okrąg z trójkątem równoramiennym.
Zadania otwarte sprawdzają między innymi dowód nierówności przez mnożenie przez dodatnią liczbę (30), pilnowanie dziedziny w równaniu wymiernym (32) i warunek równoramienności w układzie współrzędnych (35).
Rozwiązania wszystkich zadań z tego arkusza są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:
„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”
to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.
Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.
W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:
Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.
Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.
Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.
Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎
zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.
3–4 miesiące
4–6 tygodni
