To zadanie za 6 punktów robi wrażenie trudnego, bo w podstawie jest trapez, o którym nie znamy ani jednej podstawy. Sztuka polega na zauważeniu jednej rzeczy: zdanie „każda ściana boczna tworzy z podstawą ten sam kąt” zdradza bardzo dużo o położeniu wierzchołka ostrosłupa. Kiedy to zrozumiesz, reszta to kilka krótkich rachunków. Przechodzę przez wszystko powoli i przy każdym kroku tłumaczę, skąd się bierze.

1Najpierw zrozummy, o czym jest zadanie

2Plan rozwiązania

Objętość liczymy ze wzoru V = ⅓ · Pₚ · H. Potrzebujemy więc pola trapezu i wysokości ostrosłupa. Pole trapezu to (|AB| + |CD|)/2 · h, czyli potrzebujemy wysokości trapezu h i sumy jego podstaw. Wysokość ostrosłupa wyznaczymy z kąta α.

3Krok 1. Wysokość trapezu

Poprowadźmy z wierzchołka C wysokość trapezu na podstawę AB. Powstaje trójkąt prostokątny: przeciwprostokątną jest ramię BC = 16, kąt przy B ma 30°, a wysokość h leży naprzeciw tego kąta.

4Krok 2. Najważniejsza obserwacja: gdzie jest spodek wysokości

Niech O będzie spodkiem wysokości ostrosłupa, czyli punktem podstawy leżącym dokładnie pod wierzchołkiem S. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy w trójkącie prostokątnym SOE, gdzie E to punkt na krawędzi podstawy, do którego prowadzimy odcinek z O prostopadle do tej krawędzi.

W tym trójkącie wysokość ostrosłupa H leży naprzeciw kąta α, a odcinek OE leży przy kącie. Zatem tg α = H : |OE|, czyli |OE| = H : tg α.

To bardzo przydatna zasada, która wraca w wielu zadaniach: jeśli wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod tym samym kątem, to w podstawę można wpisać okrąg, a spodek wysokości jest jego środkiem.

5Krok 3. Suma podstaw trapezu

Zwróć uwagę, że nie musimy znać każdej podstawy osobno. Do pola trapezu potrzebna jest tylko ich suma, a tę mamy od razu.

6Krok 4. Promień okręgu wpisanego

Okrąg wpisany w trapez jest styczny do obu podstaw, a podstawy są równoległe. Odległość między nimi to wysokość trapezu, a jednocześnie średnica okręgu.

7Krok 5. Wysokość ostrosłupa

Wracamy do trójkąta SOE. Teraz wiemy, że |OE| = r = 4, a tg α = 9/2:

8Krok 6. Pole podstawy i objętość

9Sprawdzenie: czy taki trapez w ogóle istnieje?

Warto upewnić się, że dane do siebie pasują. Z ramienia AD = 10 i wysokości 8 wychodzi, że ramię AD odchyla się w poziomie o √(100 − 64) = 6. Ramię BC przy kącie 30° odchyla się w poziomie o 16 · cos 30° = 8√3 ≈ 13,86. Różnica podstaw to więc |AB| − |CD| = 6 + 8√3 ≈ 19,86, a ich suma 26. Stąd |AB| ≈ 22,93 i |CD| ≈ 3,07. Obie podstawy są dodatnie, więc taki trapez istnieje, a okrąg da się w niego wpisać. Do rozwiązania te liczby nie były jednak potrzebne.

10Najczęstsze błędy w tym zadaniu

Pierwszy błąd to próba wyznaczenia każdej podstawy osobno, przez co zadanie robi się długie i łatwo pomylić się w rachunkach, choć wystarcza suma podstaw. Drugi to przyjęcie, że spodek wysokości leży w środku przekątnych albo w środku trapezu, zamiast w środku okręgu wpisanego. Trzeci to pomylenie promienia z wysokością trapezu, czyli H = 8 · 9/2 zamiast H = 4 · 9/2. Czwarty to odwrócenie tangensa: tg α = r : H zamiast H : r. Piąty to zapomnienie o ⅓ we wzorze na objętość ostrosłupa.

11Jak zapisać to rozwiązanie na maturze

Za to zadanie można było dostać 6 punktów. Najważniejszy jest punkt 2: uzasadnienie, dlaczego spodek wysokości to środek okręgu wpisanego. Zapisz to zdanie wprost, bo bez niego dalsze rachunki tracą podstawę.