Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym to dopiero początek. Co zrobić, gdy trójkąt nie ma kąta prostego, a trzeba obliczyć jego bok albo kąt? Do tego służą dwa twierdzenia: twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów. W tym wpisie wyjaśniam oba, pokazuję, kiedy którego użyć, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania, także praktyczne.
1Oznaczenia
W obu twierdzeniach obowiązuje ta sama umowa: bok a leży naprzeciw kąta α, bok b naprzeciw kąta β, a bok c naprzeciw kąta γ. Na rysunku każdy bok ma ten sam kolor co kąt, który leży naprzeciw niego.
2Twierdzenie sinusów
W każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest taki sam. Ta wspólna wartość to średnica okręgu opisanego na trójkącie, czyli 2R.
Obliczanie boku, gdy znamy dwa kąty i bok
Promień okręgu opisanego
10sin 30° = 2R, czyli 1012 = 20 = 2R, więc R = 10.
3Twierdzenie cosinusów
Kwadrat boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta między nimi. Tak samo dla pozostałych boków: a² = b² + c² − 2bc · cos α oraz b² = a² + c² − 2ac · cos β.
Jeśli γ = 90°, to cos γ = 0 i wzór zamienia się w twierdzenie Pitagorasa: c² = a² + b². Twierdzenie cosinusów to więc „Pitagoras dla każdego trójkąta”, z poprawką na kąt.
Obliczanie boku, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi
Obliczanie kąta, gdy znamy trzy boki
Jaki to trójkąt: ostro-, prosto- czy rozwartokątny?
Z twierdzenia cosinusów wynika prosty test. Bierzemy najdłuższy bok c i porównujemy c² z a² + b²:
| Porównanie | cos γ | Kąt γ i trójkąt | Przykład |
|---|---|---|---|
| c2 < a2 + b2 | dodatni | ostry, trójkąt ostrokątny | boki 4, 5, 6: 36 < 41 |
| c2 = a2 + b2 | 0 | prosty, trójkąt prostokątny | boki 3, 4, 5: 25 = 25 |
| c2 > a2 + b2 | ujemny | rozwarty, trójkąt rozwartokątny | boki 5, 6, 9: 81 > 61 |
Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” swoje miejsce w dziale planimetrii, razem ze wzorami na pola figur i okręgami. Wszystko rozpisane krok po kroku, z rysunkami, a potem przećwiczone w zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy4Które twierdzenie wybrać
| Co znasz | Czego szukasz | Twierdzenie |
|---|---|---|
| dwa kąty i dowolny bok | pozostałe boki | sinusów |
| bok i kąt naprzeciw niego | promień okręgu opisanego | sinusów |
| dwa boki i kąt między nimi | trzeci bok | cosinusów |
| trzy boki | dowolny kąt | cosinusów |
| trzy boki | czy trójkąt jest ostro-, prosto- czy rozwartokątny | cosinusów |
Proste kryterium: twierdzenie sinusów wymaga pary „bok i kąt naprzeciw niego”. Jeśli takiej pary nie masz, sięgnij po twierdzenie cosinusów.
5Bonus: pole trójkąta z sinusem
Pole to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Ten wzór często łączy się z twierdzeniem cosinusów w jednym zadaniu.
Dla trójkąta z przykładu (a = 5, b = 8, γ = 60°): P = 12 · 5 · 8 · 32 = 103.
6Zastosowanie: odległość nad jeziorem
Właśnie tak przez wieki mierzono odległości w terenie: geodeci mierzyli kąty i dostępne odcinki, a resztę liczyli z trygonometrii.
Oba twierdzenia są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Według podstawy programowej obowiązującej od matury 2023 twierdzenie cosinusów należy do zakresu podstawowego, a twierdzenie sinusów pojawia się w zakresie rozszerzonym. Na maturze podstawowej twierdzenie cosinusów przydaje się do obliczania boku albo kąta trójkąta i do rozpoznawania, czy trójkąt jest ostro-, prosto- czy rozwartokątny, często razem ze wzorem na pole z sinusem.
A. 120°
B. 60°
C. 150°
D. 135°
Rozwiązanie: z twierdzenia cosinusów cos γ = (9 + 25 − 49)/(2 · 3 · 5) = −15/30 = −½, więc γ = 120°. Odpowiedź A. B wychodzi przy zgubieniu minusa, czyli cos γ = ½.
Odpowiedź: BC = 7, P = 10√3. Zaznacz na rysunku, który kąt leży między którymi bokami, bo od tego zależy, który wzór zapisać.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie, który kąt leży naprzeciw którego boku. Drugi to w twierdzeniu cosinusów użycie kąta, który nie leży między dwoma znanymi bokami. Trzeci to zapomnienie o minusie we wzorze albo o podwojeniu: −2ab cos γ, a nie −ab cos γ. Czwarty to przy kącie rozwartym zgubienie znaku cosinusa: cos 120° = −½. Piąty to przy szukaniu kąta twierdzeniem sinusów pominięcie drugiego rozwiązania (kąta rozwartego). Szósty to stosowanie twierdzenia sinusów bez pary „bok i kąt naprzeciw”.
8Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. a = 4, b = 6, γ = 60°. Oblicz c.
c² = 16 + 36 − 24 = 28, c = 2√7
2. Boki 5, 7, 8. Czy trójkąt jest rozwartokątny?
64 < 25 + 49 = 74, więc ostrokątny
3. Boki 2, 3, 4. Jaki to trójkąt?
16 > 4 + 9 = 13, rozwartokątny
4. c = 12, γ = 60°. Promień okręgu opisanego?
12 : (√3/2) = 8√3 = 2R, R = 4√3
5. α = 30°, β = 45°, b = 4√2. Oblicz a.
a = 4√2 · sin 30° / sin 45° = 4
6. a = 6, b = 10, γ = 120°. Oblicz c.
c² = 36 + 100 + 60 = 196, c = 14
7. Pole trójkąta o bokach 6 i 10 i kącie 30° między nimi?
½ · 6 · 10 · ½ = 15
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” trygonometria ma trzy lekcje i dwa zestawy zadań maturalnych, a planimetria cały dział: trójkąty, czworokąty, pola, okręgi i twierdzenia o trójkątach. Każdy temat ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: TrygonometriaTrygonometria od podstaw
- WcześniejCzym różni się |sin(x)| i sin(|x|)?
- DalejWykresy i przekształcenia wykresu funkcji trygonometrycznych
- Przyda się teżTwierdzenie Pitagorasa – wzór, dowód i zastosowania
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
