Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najbardziej znanych twierdzeń w całej matematyce i jedno z najczęściej używanych na maturze. Pozwala obliczyć trzeci bok trójkąta prostokątnego, gdy znasz dwa pozostałe. Bez niego nie da się policzyć przekątnej kwadratu, wysokości trójkąta, odległości punktów w układzie współrzędnych ani przekątnej bryły. W tym wpisie wyjaśniam twierdzenie, pokazuję, dlaczego jest prawdziwe, i rozwiązuję krok po kroku wszystkie typowe zadania.
1Treść twierdzenia
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych a i b jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej c. Przeciwprostokątna to najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.
Słowo „kwadrat” można tu rozumieć dosłownie. Zbudujmy na każdym boku trójkąta o bokach 3, 4 i 5 kwadrat podzielony na kratki. Na boku 3 jest 9 kratek, na boku 4 jest 16, a na boku 5 jest 25. Pola dwóch mniejszych kwadratów dają razem pole największego.
2Dlaczego to jest prawda
Najprostszy dowód jest obrazkowy. Weźmy kwadrat o boku a + b i ułóżmy w nim cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a i b. Można to zrobić na dwa sposoby. W pierwszym trójkąty zostawiają w środku kwadrat o boku c, czyli pole c². W drugim zostawiają dwa kwadraty o bokach a i b, czyli pole a² + b². Duży kwadrat i cztery trójkąty są w obu przypadkach te same, więc pozostałe pola też muszą być równe: c² = a² + b².
3Obliczanie przeciwprostokątnej
c2 = 4 + 25 = 29, więc c = 29. Wynik nie musi być liczbą całkowitą. √29 nie da się uprościć, bo 29 jest liczbą pierwszą.
4Obliczanie przyprostokątnej
5Twierdzenie odwrotne i trójki pitagorejskie
Jeśli w trójkącie o bokach a, b, c (c najdłuższy) zachodzi a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku c.
Najdłuższy bok to 17. 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny.
Trójki liczb naturalnych spełniające a² + b² = c² nazywamy trójkami pitagorejskimi. Warto znać kilka najpopularniejszych, bo w zadaniach pojawiają się bardzo często:
| Trójka | Sprawdzenie | Wielokrotności |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 | 6, 8, 10; 9, 12, 15 |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 | 10, 24, 26 |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 | 16, 30, 34 |
| 7, 24, 25 | 49 + 576 = 625 | 14, 48, 50 |
Pomnożenie wszystkich boków przez tę samą liczbę daje znowu trójkę pitagorejską, bo trójkąty są podobne.
Twierdzenie Pitagorasa wraca w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” w wielu działach: w planimetrii, geometrii analitycznej, trygonometrii i stereometrii. Każdy z nich ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku, z rysunkami.
Zobacz kurs na Udemy6Zastosowania w geometrii
| Figura | Wzór | Skąd |
|---|---|---|
| przekątna kwadratu o boku a | d = a2 | d² = a² + a² = 2a² |
| przekątna prostokąta a × b | d = a2 + b2 | przekątna to przeciwprostokątna |
| wysokość trójkąta równobocznego o boku a | h = a32 | h² = a² − (a/2)² = 3a²/4 |
| przekątna prostopadłościanu a × b × c | d = a2 + b2 + c2 | Pitagoras dwa razy |
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. To najczęstsze miejsce, w którym w zadaniu „ukrywa się” twierdzenie Pitagorasa.
7Odległość punktów w układzie współrzędnych
Odległość między punktami A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) to przeciwprostokątna trójkąta, którego przyprostokątne to różnice współrzędnych:
|AB| = 62 + 82 = 100 = 10. Różnice 6 i 8 to znowu trójka 3, 4, 5 pomnożona przez 2.
8Przykłady z życia
d² = 80² + 45² = 6400 + 2025 = 8425, więc d ≈ 91,8 cm. W calach: 91,8 : 2,54 ≈ 36. Rozmiar telewizora podaje się właśnie jako długość przekątnej ekranu.
h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, więc h = 4,8 m.
Twierdzenie Pitagorasa pojawia się na maturze podstawowej w prawie każdym zadaniu geometrycznym: w planimetrii przy wysokościach i przekątnych, w geometrii analitycznej przy długości odcinka i równaniu okręgu, w trygonometrii i stereometrii. Twierdzenie odwrotne pomaga sprawdzić, czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny.
A. 4, 5, 6
B. 5, 12, 13
C. 6, 7, 9
D. 2, 3, 4
Rozwiązanie: sprawdzamy, czy suma kwadratów dwóch krótszych boków równa się kwadratowi najdłuższego. A: 16 + 25 = 41 ≠ 36. B: 25 + 144 = 169 = 13². C: 36 + 49 = 85 ≠ 81. D: 4 + 9 = 13 ≠ 16. Odpowiedź B.
Boki mają długości 6 i 8, więc pole to 48. Odpowiedź: P = 48. Takie zadanie łączy twierdzenie Pitagorasa z równaniem kwadratowym, a za odrzucenie ujemnego rozwiązania też jest punkt.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to dodawanie kwadratów przy szukaniu przyprostokątnej zamiast odejmowania. Drugi to stosowanie twierdzenia w trójkącie, który nie jest prostokątny. Trzeci to wpisanie przeciwprostokątnej po złej stronie wzoru: przeciwprostokątna zawsze stoi sama, c² = a² + b². Czwarty to zapis √(a² + b²) = a + b. Na przykład √(9 + 16) = 5, a nie 7. Piąty to zapomnienie o pierwiastku na końcu, czyli podanie c² = 100 jako wyniku zamiast c = 10. Szósty to niedokończone uproszczenie pierwiastka, na przykład √50 zamiast 5√2.
10Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Przyprostokątne 9 i 12. Przeciwprostokątna?
√(81 + 144) = √225 = 15
2. Przeciwprostokątna 25, przyprostokątna 7. Druga przyprostokątna?
√(625 − 49) = √576 = 24
3. Przyprostokątne 1 i 2. Przeciwprostokątna?
√5
4. Przekątna kwadratu o boku 6?
6√2
5. Czy trójkąt 9, 40, 41 jest prostokątny?
81 + 1600 = 1681 = 41², tak
6. Odległość punktów (−2, 1) i (2, 4)?
√(16 + 9) = 5
7. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 8?
4√3
8. Przekątna sześcianu o krawędzi 2?
√(4 + 4 + 4) = 2√3
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” twierdzenie Pitagorasa pojawia się w planimetrii, geometrii analitycznej, trygonometrii i stereometrii, a każdy z tych działów ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku, z rysunkami. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejTrójkąty – rodzaje, własności i wzory na pole
- DalejCzworokąty – własności i wzory na pole
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
