Trygonometria od podstaw: funkcje trygonometryczne z filmami krok po kroku
Trygonometria to dział, który na początku wygląda jak zbiór dziwnych nazw: sinus, cosinus, tangens, cotangens. W rzeczywistości opiera się na bardzo prostej idei: w trójkącie prostokątnym stosunki długości boków zależą tylko od kątów. W tym wpisie przechodzimy przez trygonometrię od podstaw: definicje w trójkącie, ważne wartości, funkcje dowolnego kąta, wykresy i proste równania. Do każdej części są dopasowane filmy z mojej playlisty na YouTube, gdzie rozwiązuję zadania krok po kroku.
Otwórz całą playlistę na YouTube
1Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Zacznijmy od trójkąta prostokątnego. Najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego, to przeciwprostokątna. Dwa krótsze boki to przyprostokątne. Gdy patrzymy na kąt ostry α, jedna przyprostokątna leży przy nim, a druga naprzeciw niego.
Słownie: sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną, cosinus to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną, tangens to przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie, a cotangens odwrotnie.
Dlaczego te stosunki są ważne? Bo nie zależą od wielkości trójkąta. Każdy trójkąt prostokątny z kątem 30° ma ten sam stosunek a/c, równy ½, czy jest narysowany w zeszycie, czy na boisku. Dlatego znając jeden bok i jeden kąt, można obliczyć pozostałe boki.
| kąt α (naprzeciw boku 3) | kąt β (naprzeciw boku 4) | |
|---|---|---|
| sin | 35 | 45 |
| cos | 45 | 35 |
| tg | 34 | 43 |
| ctg | 43 | 34 |
Widać dwie ważne zależności. Sinus jednego kąta ostrego to cosinus drugiego: sin α = cos β, bo α + β = 90°. Tangens i cotangens tego samego kąta są swoimi odwrotnościami: tg α · ctg α = 1.
- Sinus kąta alfa, bety, co to jest?3:24
- Cosinus alfa, czyli co?1:22
- Tangens kąta ostrego: definicja1:22
- Cotangens kąta ostrego: definicja1:12
- Oblicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta alfa i beta12:36
- Oblicz długości boków oznaczonych literami, wykorzystując podaną funkcję trygonometryczną4:04
- Wyznacz sinus beta. Szybka seria0:48
- Wyznacz sin alfa w trójkącie prostokątnym0:49
- Wyznacz cos alfa w trójkącie prostokątnym1:04
- Wyznacz cos beta w trójkącie prostokątnym1:07
- Wyznacz tg alfa w trójkącie prostokątnym1:06
- Wyznacz tg beta w trójkącie prostokątnym0:57
- Oblicz długość boków: cos α = 4/5, tg α = 2/33:49
- Oblicz miary kątów ostrych trójkąta ABC9:32
2Wartości dla 30°, 45° i 60°
Te trzy kąty pojawiają się w zadaniach najczęściej, bo ich funkcje mają dokładne wartości. Biorą się z dwóch trójkątów: połówki kwadratu (kąty 45°, 45°, 90°) i połówki trójkąta równobocznego (kąty 30°, 60°, 90°).
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| sin | 12 | 22 | 32 |
| cos | 32 | 22 | 12 |
| tg | 33 | 1 | 3 |
| ctg | 3 | 1 | 33 |
Sposób na zapamiętanie: sinusy kolejnych kątów to √1/2, √2/2, √3/2, a cosinusy to te same liczby w odwrotnej kolejności. Te wartości są też w zestawie wzorów maturalnych CKE.
3Funkcje dowolnego kąta i znaki
W trójkącie prostokątnym kąty są ostre, ale funkcje trygonometryczne można określić dla dowolnego kąta, na przykład 120° czy 300°. Używa się do tego układu współrzędnych: punkt P = (x, y) na ramieniu kąta, odległość r od początku układu, a wtedy sin α = y/r, cos α = x/r, tg α = y/x. Znak wyniku zależy od ćwiartki, w której leży ramię kąta.
W pierwszej ćwiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.
Szczegółowo, z rysunkami i wszystkimi wzorami redukcyjnymi, opisałam to we wpisie „Wzory redukcyjne”. Tutaj jeden przykład, który był też tematem jednego z moich filmów.
120° leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni. sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = 32. Podnosimy do kwadratu: (32)2 = 34.
4Wykresy funkcji trygonometrycznych
Gdy kąt mierzymy w radianach (pełny kąt 360° to 2π), funkcje trygonometryczne stają się zwykłymi funkcjami liczby x i można narysować ich wykresy. Sinus i cosinus to „fale”, które powtarzają się co 2π, a ich wartości zawsze leżą między −1 a 1.
| sin x | cos x | tg x | |
|---|---|---|---|
| okres | 2π | 2π | π |
| zbiór wartości | ⟨−1; 1⟩ | ⟨−1; 1⟩ | ℝ |
| miejsca zerowe | x = kπ | x = π/2 + kπ | x = kπ |
| dziedzina | ℝ | ℝ | x ≠ π/2 + kπ |
k oznacza dowolną liczbę całkowitą. Tangens ma inny kształt: rośnie od −∞ do +∞ w każdym przedziale długości π, a w punktach π/2 + kπ nie istnieje, bo cos x = 0, a przez zero nie dzielimy.
Przekształcenia wykresów
Na mojej playliście jest cała seria filmów o tym, jak zmienia się wykres po dopisaniu liczb do wzoru. W skrócie:
| Wzór | Co się dzieje z wykresem sin x | Przykład |
|---|---|---|
| a · sin x | rozciąga się w pionie a razy; zbiór wartości to ⟨−a; a⟩ | 2 sin x ma wartości od −2 do 2 |
| sin(bx) | ściska się w poziomie; okres to 2π/b | sin 2x ma okres π |
| −sin x | odbija się względem osi x | fala „do góry nogami” |
| sin(−x) | odbija się względem osi y; dla sinusa to to samo co −sin x | cos(−x) = cos x, wykres się nie zmienia |
| |sin x| | części pod osią x odbijają się nad oś | same „górki”, okres π |
| sin |x| | prawa część zostaje, lewa jest jej lustrzanym odbiciem | wykres symetryczny względem osi y |
- Jak rysować wykresy funkcji trygonometrycznych?13:38
- Wykres funkcji sin 2x, sin 3x, sin ½x, sin ¾x: kiedy spłaszczamy, a kiedy rozciągamy7:03
- Wykres funkcji 2 sin ⅔x4:21
- Wykres funkcji 2 sin x, ½ sin x, 3/2 sin x, ¾ sin x4:39
- Wykres funkcji 2 cos x, ¾ cos x, ⅔ cos x, 3 cos x (cz. 1)6:04
- Wykres funkcji 2 cos x, ¾ cos x, ⅔ cos x, 3 cos x (cz. 2)5:13
- Wykres funkcji typu 2 tg ½x, przesunięcia wykresów (cz. 1)7:37
- Wykres funkcji typu 2 tg ½x, przesunięcia wykresów (cz. 2)12:42
- Wykres funkcji typu a tg x, a ctg x2:13
- Analiza wykresów a tg x, a ctg x i ich przesunięcia2:16
- Wykres funkcji −tg x, tg(−x), −ctg x, ctg(−x)5:36
- Wykres funkcji −sin x, sin(−x), −cos x, cos(−x)7:25
- Wykres funkcji |sin x|, sin|x|, |cos x|, cos|x|4:58
- Wykres funkcji |tg x|, tg|x|, |ctg x|, ctg|x|7:08
5Miejsca zerowe i proste równania trygonometryczne
Miejsca zerowe odczytasz z wykresu: sinus przecina oś x w punktach 0, π, 2π, …, czyli x = kπ. Cosinus w punktach π/2, 3π/2, …, czyli x = π/2 + kπ. Ponieważ funkcje się powtarzają, równanie trygonometryczne ma zwykle nieskończenie wiele rozwiązań.
W przedziale ⟨0; 2π) są dwa kąty o sinusie ½: π/6 (czyli 30°) oraz π − π/6 = 5π/6 (czyli 150°), bo sinus jest dodatni w I i II ćwiartce. Sinus powtarza się co 2π, więc do każdego rozwiązania dopisujemy 2kπ.
Wszystkie filmy z tego wpisu znajdziesz na moim kanale Po prostu Licz. Jeśli chcesz mieć trygonometrię razem z resztą materiału na maturę w jednym miejscu, w uporządkowanej kolejności, zajrzyj do mojego kursu „Matematyka od podstaw do matury”. Trygonometria ma tam trzy lekcje i dwa zestawy zadań maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy6Trygonometria w geometrii: trapez
Trygonometria najczęściej przydaje się w zadaniach z geometrii, gdy trzeba obliczyć wysokość, bok albo kąt figury. Klasyczny przykład to trapez równoramienny: po poprowadzeniu wysokości powstają trójkąty prostokątne, w których stosujemy sinus, cosinus albo tangens. Na playliście są trzy takie zadania krok po kroku.
Trygonometria pojawia się na maturze podstawowej regularnie: w zadaniach zamkniętych z trójkątem prostokątnym, z wartościami dla 30°, 45° i 60°, z wzorami redukcyjnymi oraz w zadaniach geometrycznych, gdzie trzeba obliczyć bok albo pole figury. W zestawie wzorów CKE są definicje funkcji, tabela wartości i podstawowe tożsamości, ale trzeba umieć je szybko zastosować.
A. cos α
B. sin α
C. 2 cos α
D. 0
Rozwiązanie: w trójkącie prostokątnym α + β = 90°, więc sin β = cos α. Zatem 2 cos α − sin β = 2 cos α − cos α = cos α. Odpowiedź A. To zadanie omawiam też na jednym z filmów z playlisty.
Rozwiązanie: przyprostokątna naprzeciw kąta 30° to 10 · sin 30° = 10 · 12 = 5. Druga przyprostokątna to 10 · cos 30° = 10 · 32 = 53. Pole: 12 · 5 · 53 = 2532. Odpowiedź: przyprostokątne 5 i 5√3, pole 25√3/2.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie przyprostokątnej przy kącie z przyprostokątną naprzeciw kąta, przez co sinus zamienia się z cosinusem. Zawsze zaznacz najpierw kąt, o który chodzi. Drugi to zamiana wartości sin 30° i sin 60°. Trzeci to pomijanie znaku przy kątach większych niż 90°. Czwarty to przy równaniach podanie tylko jednego rozwiązania, bez drugiego kąta i bez okresu. Piąty to mylenie przekształceń wykresu: 2 sin x rozciąga wykres w pionie, a sin 2x ściska go w poziomie.
8Sprawdź się
Odpowiedz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 5 i 12, przeciwprostokątna 13. Ile wynosi sinus kąta naprzeciw boku 5?
5/13
2. Ile wynosi tg 45°?
1
3. Ile wynosi cos 60°?
1/2
4. Jaki znak ma cos 150°?
ujemny, bo 150° leży w II ćwiartce, gdzie dodatni jest tylko sinus
5. Jaki jest okres funkcji y = sin 3x?
2π/3
6. Jaki jest zbiór wartości funkcji y = 4 cos x?
⟨−4; 4⟩
7. Rozwiąż cos x = 0.
x = π/2 + kπ, k całkowite
Filmy z trygonometrii są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj i zostań ze mną po więcej. A jeśli chcesz przejść przez całą maturę krok po kroku, od liczb i procentów, przez funkcje i trygonometrię, aż po geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- DalejFunkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
- PotemWartości funkcji trygonometrycznych dla 30°, 45° i 60°
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
