Walec i kula to bryły obrotowe: powstają przez obrót płaskiej figury wokół prostej. Puszka, rura czy słoik to walce, a piłka i kulka to kule. W tym wpisie wyjaśniam, z czego składają się te bryły, skąd biorą się wzory na ich pola i objętości, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania maturalne, także z przekrojami.
1Walec
Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Ma dwie podstawy, które są jednakowymi kołami o promieniu r, oraz powierzchnię boczną. Odległość między podstawami to wysokość H. Przekrój walca płaszczyzną przechodzącą przez oś obrotu to przekrój osiowy: prostokąt o bokach 2r i H.
Skąd wzór na pole boczne
Gdy rozetniemy powierzchnię boczną walca wzdłuż wysokości i rozwiniemy ją, dostaniemy prostokąt. Jeden jego bok to wysokość H, a drugi to obwód podstawy, czyli 2πr. Pole tego prostokąta to pole boczne walca.
Objętość walca liczymy tak samo jak objętość graniastosłupa: pole podstawy razy wysokość.
Walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem, to walec równoboczny. Ma on H = 2r.
Przykłady
2Kula
Kula powstaje przez obrót półkola wokół jego średnicy. Wszystkie punkty powierzchni kuli, czyli sfery, są oddalone od środka o promień r.
Pole powierzchni kuli to cztery pola koła o tym samym promieniu.
Przykłady
P = 4π · 9 = 36π, V = 43π · 27 = 36π. Dla r = 3 obie liczby wychodzą takie same, ale to przypadek: pole jest w jednostkach kwadratowych, a objętość w sześciennych.
Co się dzieje przy zmianie promienia
| Promień | Pole powierzchni | Objętość |
|---|---|---|
| 2 razy większy | 4 razy większe | 8 razy większa |
| 3 razy większy | 9 razy większe | 27 razy większa |
| k razy większy | k2 razy | k3 razy |
Pole zależy od kwadratu promienia, a objętość od sześcianu. Ta sama zasada działa dla wszystkich brył podobnych.
Przekrój kuli płaszczyzną
Każda płaszczyzna przecinająca kulę daje w przekroju koło. Jeśli płaszczyzna jest w odległości d od środka kuli o promieniu R, to promień przekroju ρ spełnia twierdzenie Pitagorasa: ρ² + d² = R². Na przykład dla R = 10 i d = 6 promień przekroju to √(100 − 36) = 8.
Bryły obrotowe, czyli walec, stożek i kula, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” swoją część działu stereometrii, razem z przekrojami i zadaniami maturalnymi. Wszystkie wzory są rozpisane krok po kroku, z rysunkami.
Zobacz kurs na Udemy3Ciekawostka: kula w walcu
Wpiszmy kulę o promieniu r w walec, który ją ciasno otacza: promień podstawy r i wysokość 2r. Objętość walca to πr² · 2r = 2πr³, a objętość kuli 4/3 πr³. Kula zajmuje więc dokładnie ⅔ walca. Co więcej, pole powierzchni kuli, 4πr², jest równe polu bocznemu tego walca, 2πr · 2r = 4πr². Ten wynik przypisuje się Archimedesowi, który według przekazów uważał go za jedno ze swoich największych odkryć.
Walec i kula pojawiają się na maturze podstawowej w zadaniach zamkniętych z objętością i polem powierzchni, a walec także w zadaniach z przekrojem osiowym, w których potrzebne jest twierdzenie Pitagorasa. Wzory są w zestawie wzorów CKE. Najczęstsze pułapki to pomylenie średnicy z promieniem i zgubienie π albo ułamka 4/3.
A. 36π
B. 288π
C. 12π
D. 144π
Rozwiązanie: średnica 6, więc r = 3, a V = 4/3 π · 27 = 36π. Odpowiedź A. Odpowiedź B wychodzi, gdy wstawi się do wzoru średnicę zamiast promienia, a D to pole powierzchni kuli o promieniu 6.
Odpowiedź: V = 128π, Pc = 96π. Zapisz, że bok kwadratu jest jednocześnie średnicą podstawy i wysokością walca.
4Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru. Drugi to pomylenie obwodu koła 2πr z polem πr². Trzeci to w polu powierzchni całkowitej walca zapomnienie o jednej z podstaw albo o obu. Czwarty to zgubienie 4/3 we wzorze na objętość kuli. Piąty to przekonanie, że dwa razy większy promień daje dwa razy większą objętość, choć daje ośmiokrotnie większą. Szósty to podawanie wyniku w przybliżeniu dziesiętnym, gdy zadanie oczekuje odpowiedzi z π.
5Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Objętość walca r = 2, H = 5?
20π
2. Pole boczne walca r = 3, H = 4?
24π
3. Pole całkowite walca równobocznego o r = 5?
H = 10, Pc = 2π · 5 · 15 = 150π
4. Pole powierzchni kuli o r = 5?
100π
5. Objętość kuli o r = 6?
288π
6. Pole kuli wynosi 64π. Promień?
r² = 16, r = 4
7. Promień kuli wzrósł 3 razy. Ile razy wzrosła objętość?
27 razy
8. Kula R = 13 przecięta płaszczyzną w odległości 5 od środka. Promień przekroju?
√(169 − 25) = 12
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” stereometria ma osobny dział: graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stożek i kula, przekroje i kąty w bryłach, a do tego zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku, z rysunkami. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejOstrosłupy – objętość, pole, wysokości i kąty
- DalejStożek – wszystko o stożku!
- Przyda się teżKoła i okręgi. Koło i okrąg.
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
