7 maja 2019 roku odbyły się dwie matury z matematyki na poziomie podstawowym: w nowej formule, dla absolwentów liceów i techników z tego roku, oraz w starej formule, dla osób, które zdawały według dawnych zasad. Ten wpis dotyczy arkusza w nowej formule. Znajdziesz tu pełne treści wszystkich 34 zadań, rozwiązania krok po kroku i filmy z moimi rozwiązaniami.
To dobry arkusz do ćwiczeń przed maturą: jest w nim wszystko, co zwykle pojawia się na egzaminie, od logarytmów i procentów, przez funkcje i ciągi, po geometrię, stereometrię i prawdopodobieństwo. Rozwiązania są schowane pod przyciskiem, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie.
1Jak korzystać z tego wpisu
Najlepiej rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminu: 170 minut, kalkulator prosty i zestaw wzorów maturalnych. Dopiero potem sprawdź odpowiedzi w kluczu i rozwiązania przy zadaniach, w których się pomyliłeś. Jeśli wolisz pracować po kawałku, przechodź zadanie po zadaniu i otwieraj rozwiązanie dopiero po własnej próbie.
2Zadania zamknięte (1–25)
Liczba log2 2 jest równa
Pokaż rozwiązanie
Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść 2, żeby otrzymać 2. Ponieważ (2)2 = 2, logarytm jest równy 2.
Odpowiedź: A
Liczba naturalna n = 214 · 515 w zapisie dziesiętnym ma
Pokaż rozwiązanie
Grupujemy dwójki z piątkami: 214 · 515 = (2 · 5)14 · 5 = 5 · 1014.
To cyfra 5 i za nią 14 zer, czyli 15 cyfr.
Odpowiedź: B
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
Pokaż rozwiązanie
Prowizja spadła z 4% do 3%, czyli o 1 punkt procentowy. W procentach liczymy, jaką częścią starej prowizji jest ta zmiana: 1 : 4 = 0,25 = 25%.
Odpowiedź: B
Równość 14 + 15 + 1a = 1 jest prawdziwa dla
Pokaż rozwiązanie
14 + 15 = 920, więc 1a = 1 − 920 = 1120, a stąd a = 2011.
Odpowiedź: D
Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań
ax + y = 4−2x + 3y = 2a
dla
Pokaż rozwiązanie
Wstawiamy x = 2, y = 2 do pierwszego równania: 2a + 2 = 4, czyli a = 1.
Sprawdzamy drugie równanie: −4 + 6 = 2 = 2 · 1. Zgadza się.
Odpowiedź: B
Równanie (x − 1)(x + 2)x − 3 = 0
Pokaż rozwiązanie
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie. Licznik zeruje się dla x = 1 i x = −2. Liczba 3 zeruje mianownik, więc nie jest rozwiązaniem.
Odpowiedź: C
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 3(x + 1) − 63 jest liczba
Pokaż rozwiązanie
3(x + 1) − 63 = 0, więc x + 1 = 23 i x = 23 − 1.
Odpowiedź: C
Informacja do zadań 8.–10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, −4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
Pokaż rozwiązanie
Ramiona paraboli idą w górę, a najniższy punkt to wierzchołek o drugiej współrzędnej −4. Funkcja przyjmuje więc wszystkie wartości od −4 w górę.
Odpowiedź: C
Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1, 4⟩ jest równa
Pokaż rozwiązanie
Wierzchołek x = 2 leży w przedziale i daje wartość najmniejszą. Największa jest na końcu dalszym od wierzchołka. Z postaci iloczynowej f(x) = x(x − 4) mamy f(1) = −3 i f(4) = 0, więc największa wartość to 0.
Odpowiedź: D
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
Pokaż rozwiązanie
Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek W = (2, −4), czyli x = 2.
Odpowiedź: D
W ciągu arytmetycznym (aₙ), określonym dla n ≥ 1, dane są dwa wyrazy: a₁ = 7 i a₈ = −49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Pokaż rozwiązanie
S8 = a1 + a82 · 8 = 7 − 492 · 8 = −21 · 8 = −168.
Odpowiedź: A
Dany jest ciąg geometryczny (aₙ), określony dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5a3 = 19. Iloraz tego ciągu jest równy
Pokaż rozwiązanie
a5a3 = q2 = 19. Wyrazy są dodatnie, więc q > 0 i q = ⅓.
Odpowiedź: A
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Jeśli przy którymś zadaniu czujesz, że brakuje Ci podstaw, w kursie przejdziesz przez dany dział krok po kroku.
Zobacz kurs na UdemySinus kąta ostrego α jest równy 45. Wtedy
Pokaż rozwiązanie
Z jedynki trygonometrycznej cos2α = 1 − 1625 = 925. Kąt jest ostry, więc cos α = 3/5.
Odpowiedź: D
Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek w arkuszu). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α. Zatem
Pokaż rozwiązanie
Środek okręgu O leży na średnicy CD. W trójkącie równobocznym kąt środkowy COB oparty na boku CB ma 120°. Kąt DOB jest jego dopełnieniem do kąta półpełnego: 180° − 120° = 60°.
Kąt wpisany DEB jest oparty na tym samym łuku DB co kąt środkowy DOB, więc ma połowę jego miary: α = 30°.
Odpowiedź: A
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek w arkuszu). Wtedy
Pokaż rozwiązanie
Promienie OA i PB są prostopadłe do stycznej, więc trójkąty OAK i PBK są prostokątne. Mają też równe kąty wierzchołkowe przy K, więc są podobne w skali 5 : 3.
Zatem |OK| : |KP| = 5 : 3, a |OK| + |KP| = 16. Stąd |OK| = 16 · 5/8 = 10.
Odpowiedź: C
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
Pokaż rozwiązanie
P = a² · sin α = 16 · sin 150° = 16 · ½ = 8, bo sin 150° = sin 30°.
Odpowiedź: A
Proste o równaniach y = (2m + 2)x − 2019 oraz y = (3m − 3)x + 2019 są równoległe, gdy
Pokaż rozwiązanie
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: 2m + 2 = 3m − 3, czyli m = 5.
Odpowiedź: D
Prosta o równaniu y = ax + b jest prostopadła do prostej o równaniu y = −4x + 1 i przechodzi przez punkt P = (12, 0), gdy
Pokaż rozwiązanie
Prostopadła ma a = ¼, bo −4 · ¼ = −1. Wstawiamy P: 0 = 14 · 12 + b, więc b = −18.
Odpowiedź: B
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0, 4) i B = (2, 2).
Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem
Pokaż rozwiązanie
Prosta AB ma wzór f(x) = −x + 4. W symetrii względem początku układu punkt (x, y) przechodzi na (−x, −y), więc punkty A i B przechodzą na (0, −4) i (−2, −2). Prosta przez te punkty to g(x) = −x − 4.
Odpowiedź: C
Dane są punkty o współrzędnych A = (−2, 5) oraz B = (4, −1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa
Pokaż rozwiązanie
|AB| = 62 + 62 = 62. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości boku kwadratu.
Odpowiedź: C
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm. Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa
Pokaż rozwiązanie
|KL| = 25 + 9 + 4 = 38 ≈ 6,16 dm.
Odpowiedź: B
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
Pokaż rozwiązanie
Pole kuli: 4π · 16 = 64π. Pole całkowite stożka: πr² + πrl = 16π + 4πl. Z równości 16π + 4πl = 64π mamy l = 12.
Odpowiedź: D
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem
Pokaż rozwiązanie
Bez a liczby uporządkowane to 4, 8, 16, 21, 25. Mediana sześciu liczb to średnia trzeciej i czwartej. Żeby wyszło 14, a musi stanąć między 8 a 16: (a + 16) : 2 = 14, więc a = 12.
Odpowiedź: B
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc ma 2 możliwości. Każda z pozostałych czterech ma 3 możliwości: 2 · 3⁴ = 162.
Odpowiedź: C
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
Pokaż rozwiązanie
Kul czerwonych jest 5, więc P = 5/40 = 1/8.
Odpowiedź: A
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania, a nie tylko wynik. Przy każdym zadaniu zapisz obliczenia i zakończ odpowiedzią, tak jak w rozwiązaniach poniżej.
Rozwiąż równanie
(x3 − 8)(x2 − 4x − 5) = 0
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem.
x3 − 8 = 0, czyli x3 = 8 i x = 2.
x2 − 4x − 5 = 0: Δ = 16 + 20 = 36, √Δ = 6, więc x = (4 − 6)/2 = −1 albo x = (4 + 6)/2 = 5.
Odpowiedź: x ∈ {−1, 2, 5}
Rozwiąż nierówność
3x2 − 16x + 16 > 0
Pokaż rozwiązanie
Δ = 256 − 192 = 64, √Δ = 8.
x1 = 16 − 86 = 43, x2 = 16 + 86 = 4.
Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę i wartości dodatnie są poza przedziałem między miejscami zerowymi.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, 43) ∪ (4, +∞)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
3a2 − 2ab + 3b2 ≥ 0
Pokaż rozwiązanie
Rozbijamy wyrażenie tak, żeby pojawił się kwadrat różnicy: 3a2 − 2ab + 3b2 = (a2 − 2ab + b2) + 2a2 + 2b2 = (a − b)2 + 2a2 + 2b2.
Każdy ze składników jest nieujemny, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Suma nieujemnych liczb jest nieujemna, co kończy dowód.
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek w arkuszu). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Pokaż rozwiązanie
Trójkąt BCS jest równoramienny, bo |BC| = |BS| = r. Kąty przy podstawie CS są równe: ∡BSC = ∡BCS = α.
Kąt SBA jest kątem zewnętrznym trójkąta BCS, więc ∡SBA = α + α = 2α.
Trójkąt ABS też jest równoramienny (|SA| = |SB| = r), więc ∡SAB = ∡SBA = 2α.
Kąt ASD jest kątem zewnętrznym trójkąta ACS przy wierzchołku S, więc jest równy sumie kątów przy A i C: ∡ASD = 2α + α = 3α. To kończy dowód.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Pokaż rozwiązanie
|Ω| = 5 · 5 = 25.
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Liczb nieparzystych jest 3 (1, 3, 5), więc |A| = 3 · 3 = 9.
Odpowiedź: P(A) = 9/25
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30°. Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym ADC (kąt prosty przy D) przekątna AC jest przeciwprostokątną. Bok AD leży naprzeciw kąta 30°, więc |AD| = 4 · sin 30° = 2.
Trójkąt ABD jest prostokątny (kąt prosty przy A), więc |BD| = 82 + 22 = 68 = 217.
Odpowiedź: |BD| = 217
Ciąg arytmetyczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = −4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której aₖ = −78.
Pokaż rozwiązanie
a) Średnia 16 oznacza, że suma sześciu wyrazów to S₆ = 96.
S6 = 2a1 + 5r2 · 6 = 3(2a1 − 20) = 96, więc 2a₁ − 20 = 32 i a₁ = 26.
b) aₖ = 26 + (k − 1) · (−4) = −78, czyli 4(k − 1) = 104, k − 1 = 26 i k = 27.
Odpowiedź: a₁ = 26, k = 27
Dany jest punkt A = (−18, 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Pokaż rozwiązanie
Prosta AB jest prostopadła do symetralnej, więc ma współczynnik kierunkowy −⅓ i przechodzi przez A: y − 10 = −⅓(x + 18), czyli y = −⅓x + 4.
Środek S odcinka AB to punkt przecięcia tej prostej z symetralną: 3x = −⅓x + 4, skąd x = 6/5 i y = 18/5.
S jest środkiem AB, więc B = 2S − A: xB = 125 + 18 = 1025, yB = 365 − 10 = −145.
Odpowiedź: B = (1025, −145)
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek w arkuszu). Oblicz cosinus kąta α.
Pokaż rozwiązanie
Pole podstawy: Pₚ = 36, więc pole całkowite to 144, a pole powierzchni bocznej 144 − 36 = 108.
Ściany boczne to cztery jednakowe trójkąty, każdy o polu 27: ½ · 6 · h = 27, więc wysokość ściany bocznej h = 9.
Krawędź boczna z trójkąta w ścianie bocznej: b = 92 + 32 = 90 = 310.
Kąt α leży w trójkącie z krawędzią boczną i połową przekątnej podstawy: d/2 = 3√2.
cos α = 32310 = 15 = 55.
Odpowiedź: cos α = 55
4Czego uczy ten arkusz
Kilka zadań z tego arkusza dobrze pokazuje typowe pułapki maturalne. W zadaniu 3 trzeba odróżnić punkty procentowe od procentów: spadek z 4% do 3% to 1 punkt procentowy, ale aż 25% w stosunku do poprzedniej wartości. W zadaniu 6 liczba zerująca mianownik nie może być rozwiązaniem. W zadaniu 24 pierwsza cyfra liczby nie może być zerem, a w zadaniu 23 przed liczeniem mediany trzeba uporządkować dane.
Zadania otwarte sprawdzają z kolei pełny zapis rozumowania. W dowodzie z zadania 28 kluczowe jest zauważenie kwadratu różnicy, w zadaniu 29 kątów zewnętrznych w trójkątach równoramiennych, a w zadaniu 34 rozpoznanie właściwego trójkąta prostokątnego w ostrosłupie. Każdy z tych tematów omawiam też w osobnych wpisach na blogu.
Rozwiązania zadań z matur z poprzednich lat są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi takich jak ułamki, potęgi i pierwiastki, po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejMatura z matematyki maj 2018, poziom podstawowy (nowa i stara formuła): zadania i rozwiązania
- DalejMatura z matematyki maj 2019, poziom podstawowy (stara formuła): zadania i rozwiązania
- Przyda się teżZbiór zadań CKE z matematyki (poziom podstawowy): treści zadań i rozwiązania krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
