Dodatkowy termin matury z matematyki na poziomie podstawowym w 2020 roku odbył się w lipcu. Arkusz ma tę samą budowę co główny termin: 34 zadania i 50 punktów do zdobycia. W tym wpisie znajdziesz pełne treści wszystkich zadań, rozwiązania krok po kroku i filmy z moimi rozwiązaniami.
Rozwiązania są schowane pod przyciskiem, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie. Przy kilku zadaniach znajdziesz po dwa filmy z różnymi sposobami rozwiązania.
1Jak korzystać z tego wpisu
Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminu: 170 minut, kalkulator prosty i zestaw wzorów maturalnych. Potem sprawdź odpowiedzi w kluczu, a przy zadaniach, w których się pomyliłeś, przeczytaj rozwiązanie i obejrzyj film.
2Zadania zamknięte (1–25)
Równość 2 + a = 9a2a + 1 jest prawdziwa, gdy
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy przez (2a + 1): (2 + a)(2a + 1) = 9a, czyli 2a² + 5a + 2 = 9a, czyli 2a² − 4a + 2 = 0, czyli 2(a − 1)² = 0. Stąd a = 1.
Odpowiedź: C
Liczba 1 − (27 − 1)2 jest równa
Pokaż rozwiązanie
(27 − 1)2 = 214 − 2 · 27 + 1 = 214 − 28 + 1. Wtedy 1 − 214 + 28 − 1 = 28 − 214.
Odpowiedź: B
Liczba log2 48 jest równa
Pokaż rozwiązanie
48 = 216 = (2)32, więc logarytm jest równy 32.
Odpowiedź: C
Masę Słońca równą 1,989 · 1030 kg przybliżono do 2 · 1030 kg. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy
Pokaż rozwiązanie
Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy: |2 − 1,989| · 10³⁰ = 0,011 · 10³⁰ kg.
Odpowiedź: D
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 16 − x ≥ 23x + 4 jest
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy przez 6: 1 − 6x ≥ 4x + 24, czyli −10x ≥ 23 i x ≤ −2,3. Największa liczba całkowita nie większa od −2,3 to −3.
Odpowiedź: A
Równanie 1 − xx = 2x w zbiorze liczb całkowitych
Pokaż rozwiązanie
Dla x ≠ 0: 1 − x = 2x², czyli 2x² + x − 1 = 0, więc x = 1/2 albo x = −1. Liczbą całkowitą jest tylko −1.
Odpowiedź: B
Boki trójkąta ABC są zawarte w prostych o równaniach y = 23x + 2 i y = −x + 2 oraz osi Ox układu współrzędnych (zobacz rysunek w arkuszu). Pole trójkąta ABC jest równe
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza prosta przecina oś Ox w punkcie A = (−3, 0), druga w B = (2, 0), a obie przecinają się w C = (0, 2). Podstawa |AB| = 5, wysokość 2, więc pole ½ · 5 · 2 = 5.
Odpowiedź: C
Punkt P = (−3, 7) leży na wykresie funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = (2m − 1)x + 5. Zatem
Pokaż rozwiązanie
7 = (2m − 1) · (−3) + 5, czyli 2 = −6m + 3, więc m = 1/6.
Odpowiedź: A
Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = −x2 + 6x + 4 jest parabola o wierzchołku w punkcie (3, q). Liczba q jest równa
Pokaż rozwiązanie
q = f(3) = −9 + 18 + 4 = 13.
Odpowiedź: D
Funkcja f każdej liczbie naturalnej n ≥ 1 przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Zbiorem wartości funkcji f jest
Pokaż rozwiązanie
Reszta z dzielenia przez 4 może być równa 0, 1, 2 albo 3 i każda z tych wartości się pojawia (np. dla 4, 1, 2, 3).
Odpowiedź: A
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = ax² + bx + c.
Stąd wynika, że
Pokaż rozwiązanie
Ramiona idą w dół, więc a < 0. Wierzchołek leży po dodatniej stronie osi Ox, czyli −b/(2a) > 0. Mianownik 2a jest ujemny, więc −b też musi być ujemne, czyli b > 0.
Odpowiedź: B
Proste o równaniach y = (m − 2)x oraz y = 34x + 7 są prostopadłe. Wtedy
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn współczynników kierunkowych to −1: (m − 2) · 3/4 = −1, więc m − 2 = −4/3 i m = 2/3.
Odpowiedź: B
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyCiąg arytmetyczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy a₄ = 2020. Suma a₂ + a₆ jest równa
Pokaż rozwiązanie
W ciągu arytmetycznym a₂ + a₆ = 2a₄ = 4040.
Odpowiedź: D
Ciąg geometryczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 oraz a₂ = 6 i a₅ = −48. Wynika stąd, że
Pokaż rozwiązanie
q³ = −48/6 = −8, więc q = −2. a₆ = 96, a₇ = −192, a₈ = 384. Prawdziwe jest tylko a₇ < 0.
Odpowiedź: B
Punkty A = (80, −1) i B = (−6, −19) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku C jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych
Pokaż rozwiązanie
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej AB: ((80 − 6)/2, (−1 − 19)/2) = (37, −10).
Odpowiedź: D
W trapezie prostokątnym ABCD są dane długości boków: |AB| = 8, |BC| = 5, |DC| = 5, |AD| = 4 (kąty proste przy A i D, zobacz rysunek w arkuszu). Tangens kąta ostrego ABC w tym trapezie jest równy
Pokaż rozwiązanie
Wysokość z C odcina przy B trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 8 − 5 = 3 (w poziomie) i 4 (wysokość). tg∡ABC = 4/3.
Odpowiedź: A
Punkty A = (1, −2) i C = (0, 5) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Obwód tego kwadratu jest równy
Pokaż rozwiązanie
|AC| = √(1 + 49) = √50 = 5√2, więc bok kwadratu ma długość 5, a obwód 20.
Odpowiedź: B
Pole trójkąta równoramiennego jest równe 252. Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa 45°. Każde z ramion tego trójkąta ma długość
Pokaż rozwiązanie
P = 12a2 sin 45° = a224 = 252, więc a² = 100 i a = 10.
Odpowiedź: D
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna BC ma długość 250 cm, a przyprostokątna AC ma długość 91 cm. Miara β kąta ABC spełnia warunek
Pokaż rozwiązanie
tg β = |AC| : |BC| = 91/250 = 0,364. Z tablic tg 20° ≈ 0,364, więc β ≈ 20°.
Odpowiedź: A
Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o 2π większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy
Pokaż rozwiązanie
πr(r + 2) − πr² = 2π, czyli 2πr = 2π i r = 1.
Odpowiedź: C
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa 144. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
Pokaż rozwiązanie
V = ⅓ · a² · 2a = 2a³/3 = 144, więc a³ = 216 i a = 6.
Odpowiedź: D
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 2. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze 60° (zobacz rysunek w arkuszu). Wysokość tego graniastosłupa jest równa
Pokaż rozwiązanie
Przekątna podstawy ma długość 2√2. Wysokość: H = 2√2 · tg 60° = 2√2 · √3 = 2√6.
Odpowiedź: D
Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od 4, a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od 6, jest
Pokaż rozwiązanie
Cyfry tysięcy i setek: 5, 6, 7, 8, 9 (po 5 możliwości). Cyfry dziesiątek i jedności: 0–5 (po 6 możliwości). Cyfry mogą się powtarzać: 5 · 5 · 6 · 6.
Odpowiedź: C
Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: 1, 3, 5, 3, jest liczba
Pokaż rozwiązanie
Średnia to 3. Kwadraty odchyleń: 4, 0, 4, 0. Wariancja to ich średnia: 8/4 = 2.
Odpowiedź: B
W urnie jest 9 kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe
Pokaż rozwiązanie
„Ani zielonej, ani białej” oznacza czerwoną: 4/9.
Odpowiedź: B
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. Zapisuj obliczenia i kończ każde zadanie odpowiedzią albo zdaniem, że dowód jest zakończony.
Rozwiąż nierówność
(2x + 5)(3x − 1) ≥ 0
Pokaż rozwiązanie
Miejsca zerowe to −5/2 i 1/3. Po wymnożeniu współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −52⟩ ∪ ⟨13, +∞)
Dane są liczby a = 3log2 12 − log2 27 i b = (6 − 7)(36 + 37). Wartością a − b jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Pokaż rozwiązanie
a = log2 12327 = log2 64 = 6.
b = 3(√6 − √7)(√6 + √7) = 3(6 − 7) = −3.
Odpowiedź: a − b = 9
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek a < 4 i b < 4, to ab + 16 > 4a + 4b.
Pokaż rozwiązanie
Przenosimy wszystko na lewą stronę i grupujemy: ab − 4a − 4b + 16 = a(b − 4) − 4(b − 4) = (a − 4)(b − 4).
Oba czynniki są ujemne, bo a < 4 i b < 4, więc ich iloczyn jest dodatni. To kończy dowód.
Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC trójkąta (zobacz rysunek w arkuszu). Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.
Pokaż rozwiązanie
Punkt D leży na symetralnej odcinka BC, więc jest jednakowo odległy od B i C: |BD| = |CD|.
Równe cięciwy BD i CD wyznaczają równe łuki, a kąty wpisane oparte na równych łukach są równe: ∡BAD = ∡CAD. Prosta AD dzieli więc kąt CAB na połowy. To kończy dowód.
Dany jest trzywyrazowy ciąg (x + 2, 4x + 2, x + 11). Oblicz te wszystkie wartości x, dla których ten ciąg jest geometryczny.
Pokaż rozwiązanie
Warunek ciągu geometrycznego: (4x + 2)² = (x + 2)(x + 11), czyli 16x² + 16x + 4 = x² + 13x + 22, czyli 5x² + x − 6 = 0.
Δ = 1 + 120 = 121, x = (−1 + 11)/10 = 1 albo x = (−1 − 11)/10 = −6/5. Dla x = 1 ciąg to (3, 6, 12), a dla x = −6/5 to (0,8; −2,8; 9,8). Oba są geometryczne.
Odpowiedź: x = 1 lub x = −6/5
Prosta k jest nachylona do osi Ox pod kątem ostrym α, takim, że cos α = 33. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej k.
Pokaż rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy to tg α. sin²α = 1 − 3/9 = 6/9, więc sin α = √6/3.
tg α = sin α : cos α = √6 : √3 = √2.
Odpowiedź: a = √2
Punkty A = (1, −1), B = (6, 1), C = (7, 5) i D = (2, 4) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Pokaż rozwiązanie
Przekątna AC: współczynnik (5 + 1)/(7 − 1) = 1, równanie y = x − 2.
Przekątna BD: współczynnik (4 − 1)/(2 − 6) = −3/4, równanie y = −¾x + 11/2.
Punkt przecięcia: x − 2 = −¾x + 11/2, czyli 7x/4 = 15/2, więc x = 30/7 i y = 16/7.
Odpowiedź: P = (307, 167)
Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.
Pokaż rozwiązanie
|Ω| = 2⁴ = 16. Najprościej policzyć zdarzenie przeciwne: tyle samo orłów co reszek, czyli 2 orły i 2 reszki. Takich wyników jest C(4, 2) = 6.
P(A) = 1 − 6/16 = 10/16.
Odpowiedź: P(A) = 5/8
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy a ma długość 8 (zobacz rysunek w arkuszu), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α = 60°. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie
Podstawa to sześć trójkątów równobocznych o boku 8. Odległość środka podstawy od krawędzi to wysokość takiego trójkąta: 4√3, a odległość od wierzchołka to 8.
Kąt nachylenia ściany leży w trójkącie z wysokością H i odcinkiem 4√3: H = 4√3 · tg 60° = 12.
Krawędź boczna: √(12² + 8²) = √208 = 4√13. Kąt między krawędzią a podstawą leży w trójkącie z rzutem krawędzi o długości 8: cos = 8 : 4√13 = 2/√13.
Odpowiedź: cos = 21313
4Czego uczy ten arkusz
W zadaniu 5 trzeba uważać przy wyborze największej liczby całkowitej: nierówność x ≤ −2,3 spełnia −3, a nie −2. W zadaniu 6 pytanie dotyczy tylko liczb całkowitych, więc rozwiązanie 1/2 odpada. Zadanie 11 sprawdza odczytywanie znaków współczynników z wykresu, a zadanie 25 uważne czytanie treści, bo „ani zielonej, ani białej” oznacza po prostu kulę czerwoną.
Zadania otwarte sprawdzają między innymi rozkład na czynniki w dowodzie (28), związek między symetralną cięciwy a łukami okręgu (29), sprawdzanie wszystkich rozwiązań w ciągu geometrycznym (30) i zdarzenie przeciwne w prawdopodobieństwie (33).
Rozwiązania zadań z tego arkusza są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejMatura z matematyki 2020, poziom podstawowy: zadania i rozwiązania
- DalejMatura z matematyki maj 2021, poziom podstawowy: zadania i rozwiązania
- Przyda się teżDarmowy kurs maturalny z matematyki: zadania, które były na maturze
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
