Na arkuszu matury z matematyki na poziomie podstawowym w 2020 roku wydrukowano datę 5 maja, ale z powodu pandemii egzamin przesunięto i odbył się w czerwcu. W tym wpisie znajdziesz pełne treści wszystkich 34 zadań, rozwiązania krok po kroku i do każdego zadania film z moim rozwiązaniem.
To dobry arkusz do ćwiczeń: są w nim potęgi i logarytmy, procenty, funkcja liniowa i kwadratowa, ciągi, planimetria, geometria analityczna, stereometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Rozwiązania są schowane pod przyciskiem, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie.
1Jak korzystać z tego wpisu
Najlepiej rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminu: 170 minut, kalkulator prosty i zestaw wzorów maturalnych. Potem sprawdź odpowiedzi w kluczu, a przy zadaniach, w których się pomyliłeś, przeczytaj rozwiązanie i obejrzyj film.
2Zadania zamknięte (1–25)
Wartość wyrażenia x2 − 6x + 9 dla x = 3 + 3 jest równa
Pokaż rozwiązanie
To wzór skróconego mnożenia: x2 − 6x + 9 = (x − 3)2. Dla x = √3 + 3 mamy (3)2 = 3.
Odpowiedź: B
Liczba 250 · 3403610 jest równa
Pokaż rozwiązanie
3610 = (22 · 32)10 = 220 · 320, więc dzieląc, odejmujemy wykładniki: 230 · 320.
Odpowiedź: C
Liczba log5 125 jest równa
Pokaż rozwiązanie
125 = (53)12 = 532, więc logarytm jest równy 3/2.
Odpowiedź: D
Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową cenę y należy podnieść o
Pokaż rozwiązanie
y = 0,8x, więc x = y : 0,8 = 1,25y. Cenę y trzeba podnieść o 25%. Podwyżka liczy się od mniejszej kwoty, dlatego jest większa niż 20%.
Odpowiedź: A
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3(1 − x) > 2(3x − 1) − 12x jest przedział
Pokaż rozwiązanie
3 − 3x > 6x − 2 − 12x, czyli 3 − 3x > −6x − 2. Stąd 3x > −5 i x > −5/3.
Odpowiedź: A
Suma wszystkich rozwiązań równania x(x − 3)(x + 2) = 0 jest równa
Pokaż rozwiązanie
Rozwiązania to 0, 3 i −2, ich suma to 1.
Odpowiedź: B
Informacja do zadań 7.–9. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a(x − 1)(x − 3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, 1).
Współczynnik a we wzorze funkcji f jest równy
Pokaż rozwiązanie
Wierzchołek W = (2, 1) leży na wykresie, więc f(2) = 1: a · (2 − 1)(2 − 3) = −a = 1, czyli a = −1.
Odpowiedź: D
Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1, 4⟩ jest równa
Pokaż rozwiązanie
Ramiona paraboli idą w dół, a wierzchołek x = 2 leży w przedziale ⟨1, 4⟩. Największą wartością jest więc druga współrzędna wierzchołka, czyli 1.
Odpowiedź: C
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu
Pokaż rozwiązanie
Oś symetrii to pionowa prosta przez wierzchołek W = (2, 1): x = 2.
Odpowiedź: B
Równanie x(x − 2) = (x − 2)² w zbiorze liczb rzeczywistych
Pokaż rozwiązanie
x² − 2x = x² − 4x + 4, więc 2x = 4 i x = 2. Uwaga: nie wolno dzielić obu stron przez (x − 2), bo dla x = 2 to dzielenie przez zero i zgubilibyśmy rozwiązanie.
Odpowiedź: B
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b.
Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność
Pokaż rozwiązanie
Funkcja jest malejąca, więc a < 0. Wykres przecina oś Oy powyżej zera (w punkcie 1), więc b > 0. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny.
Odpowiedź: D
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 4−x + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba f(12) jest równa
Pokaż rozwiązanie
4−12 = 14 = 12, więc f(½) = ½ + 1 = 3/2.
Odpowiedź: B
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Zaczynamy od narzędzi, czyli ułamków, potęg, pierwiastków i procentów, bez których trudno iść dalej.
Zobacz kurs na UdemyProste o równaniach y = (m − 2)x oraz y = 34x + 7 są równoległe. Wtedy
Pokaż rozwiązanie
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: m − 2 = 3/4, więc m = 11/4.
Odpowiedź: C
Ciąg (aₙ) jest określony wzorem aₙ = 2n² dla n ≥ 1. Różnica a₅ − a₄ jest równa
Pokaż rozwiązanie
a₅ = 2 · 25 = 50, a₄ = 2 · 16 = 32, różnica 18.
Odpowiedź: D
W ciągu arytmetycznym (aₙ), określonym dla n ≥ 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a₁ + a₂ + a₃ + a₄ jest równa
Pokaż rozwiązanie
a₁ = a₄ − 3r = 3 − 15 = −12. Suma czterech wyrazów: (−12 + 3)/2 · 4 = −18.
Odpowiedź: C
Punkt A = (13, −1) należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 3x + b. Wynika stąd, że
Pokaż rozwiązanie
Wstawiamy współrzędne punktu: −1 = 3 · ⅓ + b = 1 + b, więc b = −2.
Odpowiedź: D
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118° (zobacz rysunek w arkuszu; odcinki AD i BC są średnicami okręgu). Miara kąta ABC jest równa
Pokaż rozwiązanie
Punkty A, O, D leżą na jednej prostej, więc kąt AOC = 180° − 118° = 62°. Kąt wpisany ABC jest oparty na tym samym łuku AC co kąt środkowy AOC, więc ma połowę jego miary: 31°.
Odpowiedź: D
Prosta przechodząca przez punkty A = (3, −2) i B = (−1, 6) jest określona równaniem
Pokaż rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy: (6 − (−2)) : (−1 − 3) = 8 : (−4) = −2. Z punktu A: −2 = −2 · 3 + b, więc b = 4.
Odpowiedź: A
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β (zobacz rysunek w arkuszu). Wyrażenie 2cos α − sin β jest równe
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym cos α i sin β to ten sam stosunek: przyprostokątna przy kącie α do przeciwprostokątnej. Zatem sin β = cos α i 2cos α − cos α = cos α.
Odpowiedź: B
Punkt B jest obrazem punktu A = (−3, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa
Pokaż rozwiązanie
W symetrii względem początku układu zmieniamy znaki obu współrzędnych: B = (3, −5). |AB| = 62 + 102 = 136 = 234.
Odpowiedź: A
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?
Pokaż rozwiązanie
Cyfrę dziesiątek wybieramy na 5 sposobów, a cyfrę jedności na 4 (bez powtórzeń): 5 · 4 = 20.
Odpowiedź: C
Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że |AP||PB| = |CR||RD| = 32 (zobacz rysunek w arkuszu). Pole czworokąta APCR jest równe
Pokaż rozwiązanie
|AP| = 3/5 |AB| i |CR| = 3/5 |CD|. Czworokąt APCR jest równoległobokiem o podstawie 3/5 długości prostokąta i tej samej wysokości, więc jego pole to 3/5 · 90 = 54.
Odpowiedź: C
Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem
Pokaż rozwiązanie
Zestaw 5, 3, 6, 8, 2 po uporządkowaniu to 2, 3, 5, 6, 8, mediana 5. Mediana zestawu 2, 3, a, 8 to (3 + a)/2 = 5, więc a = 7.
Odpowiedź: A
Przekątna sześcianu ma długość 43. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe
Pokaż rozwiązanie
Przekątna sześcianu o krawędzi a to a√3, więc a = 4. Pole powierzchni: 6 · 16 = 96.
Odpowiedź: A
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku w arkuszu. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3 : 2. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm³. Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
Pokaż rozwiązanie
Stożki mają tę samą podstawę, więc ich objętości są w stosunku wysokości 3 : 2. Wyższy stożek ma objętość 12 · 3/2 = 18 cm³, razem 30 cm³.
Odpowiedź: B
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania. Zapisuj obliczenia i kończ każde zadanie odpowiedzią albo zdaniem, że dowód jest zakończony.
Rozwiąż nierówność
2(x − 1)(x + 3) > x − 1
Pokaż rozwiązanie
Przenosimy wszystko na lewą stronę i wyłączamy (x − 1): (x − 1)(2x + 6 − 1) > 0, czyli (x − 1)(2x + 5) > 0.
Miejsca zerowe to 1 i −5/2. Po wymnożeniu współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −52) ∪ (1, +∞)
Rozwiąż równanie
(x2 − 1)(x2 − 2x) = 0
Pokaż rozwiązanie
Rozkładamy na czynniki: (x − 1)(x + 1) · x(x − 2) = 0.
Odpowiedź: x ∈ {−1, 0, 1, 2}
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
a(a − 2b) + 2b2 > 0
Pokaż rozwiązanie
Wymnażamy: a² − 2ab + 2b² = (a² − 2ab + b²) + b² = (a − b)² + b².
Liczby są różne, więc a − b ≠ 0 i (a − b)² > 0. Do tego b² ≥ 0. Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. To kończy dowód.
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE| = 34|CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek w arkuszu). Wykaż, że |CF| = 916|CB|.
Pokaż rozwiązanie
Niech a będzie bokiem trójkąta. Wysokość |CD| = a32, więc |CE| = 34 · a32 = 3a38.
Wysokość w trójkącie równobocznym dzieli kąt przy C na połowy, więc kąt ECF = 30°. Trójkąt CFE jest prostokątny (kąt prosty przy F).
|CF| = |CE| · cos 30° = 3a38 · 32 = 9a16, czyli |CF| = 9/16 |CB|. To kończy dowód.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Pokaż rozwiązanie
|Ω| = 36. Najprościej przez zdarzenie przeciwne: ani razu nie wypadnie piątka, czyli 5 · 5 = 25 wyników.
P(A) = 1 − 25/36 = 11/36.
Odpowiedź: P(A) = 11/36
Kąt α jest ostry i spełnia warunek 2sin α + 3cos αcos α = 4. Oblicz tangens kąta α.
Pokaż rozwiązanie
Rozdzielamy ułamek: 2sin αcos α + 3cos αcos α = 2tg α + 3.
2tg α + 3 = 4, więc tg α = ½.
Odpowiedź: tg α = ½
Dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (5, −53). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y = 43x. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.
Pokaż rozwiązanie
Przekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w punkcie S. Prosta AC jest prostopadła do BD, więc ma współczynnik kierunkowy −3/4 i przechodzi przez A: y = −¾x + 25/12.
Punkt S: ⁴⁄₃x = −¾x + 25/12. Mnożymy przez 12: 16x = −9x + 25, więc x = 1 i y = 4/3.
|AS|² = (5 − 1)² + (−5/3 − 4/3)² = 16 + 9 = 25, więc |AS| = 5, a przekątna ma długość 10. Pole kwadratu: d²/2 = 100/2 = 50.
Odpowiedź: S = (1, 43), P = 50
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (aₙ), określonego dla n ≥ 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a₁ − 5a₂ + a₃ = 0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨22, 32⟩.
Pokaż rozwiązanie
a₂ = a₁q, a₃ = a₁q², więc a₁(6 − 5q + q²) = 0. Wyrazy są dodatnie, więc a₁ ≠ 0 i q² − 5q + 6 = 0.
Δ = 25 − 24 = 1, q = 2 albo q = 3.
2√2 ≈ 2,83 i 3√2 ≈ 4,24, więc do przedziału należy tylko q = 3.
Odpowiedź: q = 3
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek w arkuszu). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie
Niech a będzie krawędzią podstawy, H wysokością ostrosłupa. Kąt nachylenia ściany leży w trójkącie z wysokością H i połową boku podstawy a/2: tg = H : (a/2) = √7, więc H = a√7/2.
Krawędź boczna, wysokość i połowa przekątnej podstawy (a√2/2) tworzą trójkąt prostokątny: 36 = H² + a²/2 = 7a²/4 + 2a²/4 = 9a²/4.
Stąd a² = 16, a = 4 i H = 2√7.
V = 13 · 16 · 27 = 3273.
Odpowiedź: V = 3273
4Czego uczy ten arkusz
W zadaniu 4 widać, że obniżka i podwyżka o ten sam procent się nie znoszą: po obniżce o 20% trzeba podnieść cenę aż o 25%. W zadaniu 10 kuszące jest podzielenie obu stron przez (x − 2), ale wtedy gubi się jedyne rozwiązanie. W zadaniu 19 wystarczy zauważyć, że cosinus jednego kąta ostrego to sinus drugiego, a w zadaniu 30 najszybciej liczy się przez zdarzenie przeciwne.
Zadania otwarte sprawdzają między innymi wyłączanie wspólnego czynnika przed rozwiązaniem nierówności (26), zwijanie wyrażenia do kwadratu różnicy w dowodzie (28), prostopadłość przekątnych kwadratu w układzie współrzędnych (32) i znalezienie właściwych trójkątów prostokątnych w ostrosłupie (34).
Rozwiązania wszystkich zadań z tego arkusza są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejMatura z matematyki maj 2019, poziom podstawowy (stara formuła): zadania i rozwiązania
- DalejMatura z matematyki lipiec 2020 (termin dodatkowy), poziom podstawowy: zadania i rozwiązania
- Przyda się teżDarmowy kurs maturalny z matematyki: zadania, które były na maturze
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
