7 maja 2019 roku odbyły się dwie matury z matematyki na poziomie podstawowym: w nowej formule oraz w starej formule, dla osób, które zdawały według dawnych zasad. Ten wpis dotyczy arkusza w starej formule. Znajdziesz tu pełne treści wszystkich 34 zadań, rozwiązania krok po kroku i filmy z moimi rozwiązaniami.
Arkusz starej formuły był prawie taki sam jak arkusz nowej formuły. Różniły się trzy zadania: 21 (walec), 22 (ostrosłup) i 26 (równanie wielomianowe). Jeśli rozwiązujesz oba arkusze, przy pozostałych zadaniach odpowiedzi będą te same.
To dobry arkusz do ćwiczeń przed maturą: jest w nim wszystko, co zwykle pojawia się na egzaminie, od logarytmów i procentów, przez funkcje i ciągi, po geometrię, stereometrię i prawdopodobieństwo. Rozwiązania są schowane pod przyciskiem, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie.
1Jak korzystać z tego wpisu
Najlepiej rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminu: 170 minut, kalkulator prosty i zestaw wzorów maturalnych. Dopiero potem sprawdź odpowiedzi w kluczu i rozwiązania przy zadaniach, w których się pomyliłeś. Jeśli wolisz pracować po kawałku, przechodź zadanie po zadaniu i otwieraj rozwiązanie dopiero po własnej próbie.
2Zadania zamknięte (1–25)
Liczba log2 2 jest równa
Pokaż rozwiązanie
Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść 2, żeby otrzymać 2. Ponieważ (2)2 = 2, logarytm jest równy 2.
Odpowiedź: A
Liczba naturalna n = 214 · 515 w zapisie dziesiętnym ma
Pokaż rozwiązanie
Grupujemy dwójki z piątkami: 214 · 515 = (2 · 5)14 · 5 = 5 · 1014.
To cyfra 5 i za nią 14 zer, czyli 15 cyfr.
Odpowiedź: B
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
Pokaż rozwiązanie
Prowizja spadła z 4% do 3%, czyli o 1 punkt procentowy. W procentach liczymy, jaką częścią starej prowizji jest ta zmiana: 1 : 4 = 0,25 = 25%.
Odpowiedź: B
Równość 14 + 15 + 1a = 1 jest prawdziwa dla
Pokaż rozwiązanie
14 + 15 = 920, więc 1a = 1 − 920 = 1120, a stąd a = 2011.
Odpowiedź: D
Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań
ax + y = 4−2x + 3y = 2a
dla
Pokaż rozwiązanie
Wstawiamy x = 2, y = 2 do pierwszego równania: 2a + 2 = 4, czyli a = 1.
Sprawdzamy drugie równanie: −4 + 6 = 2 = 2 · 1. Zgadza się.
Odpowiedź: B
Równanie (x − 1)(x + 2)x − 3 = 0
Pokaż rozwiązanie
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie. Licznik zeruje się dla x = 1 i x = −2. Liczba 3 zeruje mianownik, więc nie jest rozwiązaniem.
Odpowiedź: C
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 3(x + 1) − 63 jest liczba
Pokaż rozwiązanie
3(x + 1) − 63 = 0, więc x + 1 = 23 i x = 23 − 1.
Odpowiedź: C
Informacja do zadań 8.–10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, −4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
Pokaż rozwiązanie
Ramiona paraboli idą w górę, a najniższy punkt to wierzchołek o drugiej współrzędnej −4. Funkcja przyjmuje więc wszystkie wartości od −4 w górę.
Odpowiedź: C
Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨1, 4⟩ jest równa
Pokaż rozwiązanie
Wierzchołek x = 2 leży w przedziale i daje wartość najmniejszą. Największa jest na końcu dalszym od wierzchołka. Z postaci iloczynowej f(x) = x(x − 4) mamy f(1) = −3 i f(4) = 0, więc największa wartość to 0.
Odpowiedź: D
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
Pokaż rozwiązanie
Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek W = (2, −4), czyli x = 2.
Odpowiedź: D
W ciągu arytmetycznym (aₙ), określonym dla n ≥ 1, dane są dwa wyrazy: a₁ = 7 i a₈ = −49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Pokaż rozwiązanie
S8 = a1 + a82 · 8 = 7 − 492 · 8 = −21 · 8 = −168.
Odpowiedź: A
Dany jest ciąg geometryczny (aₙ), określony dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5a3 = 19. Iloraz tego ciągu jest równy
Pokaż rozwiązanie
a5a3 = q2 = 19. Wyrazy są dodatnie, więc q > 0 i q = ⅓.
Odpowiedź: A
Te same tematy, które są w tym arkuszu, mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje z teorią i zestawy zadań maturalnych. Jeśli przy którymś zadaniu czujesz, że brakuje Ci podstaw, w kursie przejdziesz przez dany dział krok po kroku.
Zobacz kurs na UdemySinus kąta ostrego α jest równy 45. Wtedy
Pokaż rozwiązanie
Z jedynki trygonometrycznej cos2α = 1 − 1625 = 925. Kąt jest ostry, więc cos α = 3/5.
Odpowiedź: D
Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek w arkuszu). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α. Zatem
Pokaż rozwiązanie
Środek okręgu O leży na średnicy CD. W trójkącie równobocznym kąt środkowy COB oparty na boku CB ma 120°. Kąt DOB jest jego dopełnieniem do kąta półpełnego: 180° − 120° = 60°.
Kąt wpisany DEB jest oparty na tym samym łuku DB co kąt środkowy DOB, więc ma połowę jego miary: α = 30°.
Odpowiedź: A
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek w arkuszu). Wtedy
Pokaż rozwiązanie
Promienie OA i PB są prostopadłe do stycznej, więc trójkąty OAK i PBK są prostokątne. Mają też równe kąty wierzchołkowe przy K, więc są podobne w skali 5 : 3.
Zatem |OK| : |KP| = 5 : 3, a |OK| + |KP| = 16. Stąd |OK| = 16 · 5/8 = 10.
Odpowiedź: C
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
Pokaż rozwiązanie
P = a² · sin α = 16 · sin 150° = 16 · ½ = 8, bo sin 150° = sin 30°.
Odpowiedź: A
Proste o równaniach y = (2m + 2)x − 2019 oraz y = (3m − 3)x + 2019 są równoległe, gdy
Pokaż rozwiązanie
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: 2m + 2 = 3m − 3, czyli m = 5.
Odpowiedź: D
Prosta o równaniu y = ax + b jest prostopadła do prostej o równaniu y = −4x + 1 i przechodzi przez punkt P = (12, 0), gdy
Pokaż rozwiązanie
Prostopadła ma a = ¼, bo −4 · ¼ = −1. Wstawiamy P: 0 = 14 · 12 + b, więc b = −18.
Odpowiedź: B
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0, 4) i B = (2, 2).
Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem
Pokaż rozwiązanie
Prosta AB ma wzór f(x) = −x + 4. W symetrii względem początku układu punkt (x, y) przechodzi na (−x, −y), więc punkty A i B przechodzą na (0, −4) i (−2, −2). Prosta przez te punkty to g(x) = −x − 4.
Odpowiedź: C
Dane są punkty o współrzędnych A = (−2, 5) oraz B = (4, −1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa
Pokaż rozwiązanie
|AB| = 62 + 62 = 62. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości boku kwadratu.
Odpowiedź: C
Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek w arkuszu; O to środek górnej podstawy, S środek dolnej, A punkt na okręgu dolnej podstawy) jest równy
Pokaż rozwiązanie
Oznaczmy |AS| = r. Wtedy |OS| = 2r, a trójkąt OSA jest prostokątny z kątem prostym przy S.
Z twierdzenia Pitagorasa |OA| = r2 + 4r2 = r5.
sin∡OAS = |OS||OA| = 2rr5 = 25 = 255.
Odpowiedź: B
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta SAC jest równa
Pokaż rozwiązanie
Ściany boczne są równoboczne, więc wszystkie krawędzie ostrosłupa mają tę samą długość a. Przekątna podstawy |AC| = a√2.
W trójkącie SAC mamy |SA| = |SC| = a oraz |AC| = a√2. Ponieważ a² + a² = 2a² = |AC|², z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt przy S jest prosty.
Trójkąt SAC jest więc prostokątny równoramienny, a jego kąty ostre mają po 45°.
Odpowiedź: D
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem
Pokaż rozwiązanie
Bez a liczby uporządkowane to 4, 8, 16, 21, 25. Mediana sześciu liczb to średnia trzeciej i czwartej. Żeby wyszło 14, a musi stanąć między 8 a 16: (a + 16) : 2 = 14, więc a = 12.
Odpowiedź: B
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc ma 2 możliwości. Każda z pozostałych czterech ma 3 możliwości: 2 · 3⁴ = 162.
Odpowiedź: C
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
Pokaż rozwiązanie
Kul czerwonych jest 5, więc P = 5/40 = 1/8.
Odpowiedź: A
3Zadania otwarte (26–34)
W zadaniach otwartych liczy się cały tok rozumowania, a nie tylko wynik. Przy każdym zadaniu zapisz obliczenia i zakończ odpowiedzią, tak jak w rozwiązaniach poniżej.
Rozwiąż równanie
x3 − 5x2 − 9x + 45 = 0
Pokaż rozwiązanie
Grupujemy wyrazy: x²(x − 5) − 9(x − 5) = 0, czyli (x − 5)(x² − 9) = 0.
Ze wzoru na różnicę kwadratów: (x − 5)(x − 3)(x + 3) = 0.
Odpowiedź: x ∈ {−3, 3, 5}
Rozwiąż nierówność
3x2 − 16x + 16 > 0
Pokaż rozwiązanie
Δ = 256 − 192 = 64, √Δ = 8.
x1 = 16 − 86 = 43, x2 = 16 + 86 = 4.
Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę i wartości dodatnie są poza przedziałem między miejscami zerowymi.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, 43) ∪ (4, +∞)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
3a2 − 2ab + 3b2 ≥ 0
Pokaż rozwiązanie
Rozbijamy wyrażenie tak, żeby pojawił się kwadrat różnicy: 3a2 − 2ab + 3b2 = (a2 − 2ab + b2) + 2a2 + 2b2 = (a − b)2 + 2a2 + 2b2.
Każdy ze składników jest nieujemny, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Suma nieujemnych liczb jest nieujemna, co kończy dowód.
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek w arkuszu). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Pokaż rozwiązanie
Trójkąt BCS jest równoramienny, bo |BC| = |BS| = r. Kąty przy podstawie CS są równe: ∡BSC = ∡BCS = α.
Kąt SBA jest kątem zewnętrznym trójkąta BCS, więc ∡SBA = α + α = 2α.
Trójkąt ABS też jest równoramienny (|SA| = |SB| = r), więc ∡SAB = ∡SBA = 2α.
Kąt ASD jest kątem zewnętrznym trójkąta ACS przy wierzchołku S, więc jest równy sumie kątów przy A i C: ∡ASD = 2α + α = 3α. To kończy dowód.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Pokaż rozwiązanie
|Ω| = 5 · 5 = 25.
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Liczb nieparzystych jest 3 (1, 3, 5), więc |A| = 3 · 3 = 9.
Odpowiedź: P(A) = 9/25
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30°. Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
Pokaż rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym ADC (kąt prosty przy D) przekątna AC jest przeciwprostokątną. Bok AD leży naprzeciw kąta 30°, więc |AD| = 4 · sin 30° = 2.
Trójkąt ABD jest prostokątny (kąt prosty przy A), więc |BD| = 82 + 22 = 68 = 217.
Odpowiedź: |BD| = 217
Ciąg arytmetyczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = −4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której aₖ = −78.
Pokaż rozwiązanie
a) Średnia 16 oznacza, że suma sześciu wyrazów to S₆ = 96.
S6 = 2a1 + 5r2 · 6 = 3(2a1 − 20) = 96, więc 2a₁ − 20 = 32 i a₁ = 26.
b) aₖ = 26 + (k − 1) · (−4) = −78, czyli 4(k − 1) = 104, k − 1 = 26 i k = 27.
Odpowiedź: a₁ = 26, k = 27
Dany jest punkt A = (−18, 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Pokaż rozwiązanie
Prosta AB jest prostopadła do symetralnej, więc ma współczynnik kierunkowy −⅓ i przechodzi przez A: y − 10 = −⅓(x + 18), czyli y = −⅓x + 4.
Środek S odcinka AB to punkt przecięcia tej prostej z symetralną: 3x = −⅓x + 4, skąd x = 6/5 i y = 18/5.
S jest środkiem AB, więc B = 2S − A: xB = 125 + 18 = 1025, yB = 365 − 10 = −145.
Odpowiedź: B = (1025, −145)
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek w arkuszu). Oblicz cosinus kąta α.
Pokaż rozwiązanie
Pole podstawy: Pₚ = 36, więc pole całkowite to 144, a pole powierzchni bocznej 144 − 36 = 108.
Ściany boczne to cztery jednakowe trójkąty, każdy o polu 27: ½ · 6 · h = 27, więc wysokość ściany bocznej h = 9.
Krawędź boczna z trójkąta w ścianie bocznej: b = 92 + 32 = 90 = 310.
Kąt α leży w trójkącie z krawędzią boczną i połową przekątnej podstawy: d/2 = 3√2.
cos α = 32310 = 15 = 55.
Odpowiedź: cos α = 55
4Czego uczy ten arkusz
Kilka zadań z tego arkusza dobrze pokazuje typowe pułapki maturalne. W zadaniu 3 trzeba odróżnić punkty procentowe od procentów: spadek z 4% do 3% to 1 punkt procentowy, ale aż 25% w stosunku do poprzedniej wartości. W zadaniu 6 liczba zerująca mianownik nie może być rozwiązaniem. W zadaniu 24 pierwsza cyfra liczby nie może być zerem, w zadaniu 23 przed liczeniem mediany trzeba uporządkować dane, a w zadaniu 22 wystarczy zauważyć, że trójkąt SAC jest prostokątny równoramienny.
Zadania otwarte sprawdzają z kolei pełny zapis rozumowania. W dowodzie z zadania 28 kluczowe jest zauważenie kwadratu różnicy, w zadaniu 29 kątów zewnętrznych w trójkątach równoramiennych, a w zadaniu 34 rozpoznanie właściwego trójkąta prostokątnego w ostrosłupie. Każdy z tych tematów omawiam też w osobnych wpisach na blogu.
Rozwiązania zadań z matur z poprzednich lat są za darmo na moim kanale Po prostu Licz. Subskrybuj go i zostań ze mną po więcej. Jeśli chcesz przejść przez cały materiał do matury w uporządkowanej kolejności, od narzędzi takich jak ułamki, potęgi i pierwiastki, po geometrię i prawdopodobieństwo, zajrzyj do kursu wideo „Matematyka od podstaw do matury”.
Powiązane tematy
- Cały dział: Matura i naukaOd czego zacząć naukę do matury z matematyki?
- WcześniejMatura z matematyki maj 2019, poziom podstawowy (nowa formuła): zadania i rozwiązania
- DalejMatura z matematyki 2020, poziom podstawowy: zadania i rozwiązania
- Przyda się teżZbiór zadań CKE z matematyki (poziom podstawowy): treści zadań i rozwiązania krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
