Tożsamości trygonometryczne to równości, które łączą sinus, cosinus i tangens tego samego kąta. Dzięki nim, znając jedną funkcję, można obliczyć pozostałe, a skomplikowane wyrażenia da się uprościć do jednej liczby. Na maturze pojawiają się w zadaniach zamkniętych i w krótkich dowodach. W tym wpisie wyjaśniam podstawowe tożsamości, skąd się biorą, i pokazuję krok po kroku, jak ich używać.
Jeśli definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym nie są jeszcze dla Ciebie oczywiste, zacznij od wpisu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym”.
1Tożsamość a równanie
Równanie jest prawdziwe tylko dla niektórych wartości, na przykład sin α = ½ tylko dla α = 30° wśród kątów ostrych. Tożsamość jest prawdziwa dla każdego kąta, dla którego obie strony mają sens. Dlatego tożsamości można używać jak narzędzi: zawsze wolno zamienić jedną stronę na drugą.
2Podstawowe tożsamości
W trójkącie prostokątnym sin α = a/c i cos α = b/c. Zatem sin²α + cos²α = a²/c² + b²/c² = (a² + b²)/c². Z twierdzenia Pitagorasa a² + b² = c², więc wynik to 1. Zapis sin²α oznacza (sin α)², czyli kwadrat sinusa.
tg α = a/b, a sin α : cos α = (a/c) : (b/c) = a/b. Tożsamość działa dla kątów, dla których cos α ≠ 0.
W trójkącie prostokątnym drugi kąt ostry to 90° − α. Bok, który leży naprzeciw jednego kąta, leży przy drugim, więc sinus jednego jest cosinusem drugiego. Dla tangensa: tg(90° − α) = 1/tg α.
Te wzory przydają się dla kątów rozwartych, na przykład w trójkątach rozwartokątnych. Tangens zmienia znak: tg(180° − α) = −tg α. Więcej o tym jest we wpisie o wzorach redukcyjnych.
3Zastosowanie 1: z jednej funkcji wyznacz pozostałe
4Zastosowanie 2: z tangensa wyznacz sinus i cosinus
Mamy dwa równania z dwiema niewiadomymi: sin α / cos α = 2 oraz sin²α + cos²α = 1.
Sposób z trójkątem też działa: tg α = 2 = 2/1, więc rysujemy trójkąt z przyprostokątnymi 2 (naprzeciw) i 1 (przy). Przeciwprostokątna to √5, więc sin α = 2/√5 i cos α = 1/√5.
Tożsamości trygonometryczne to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” trzecia lekcja z trygonometrii, po funkcjach w trójkącie prostokątnym i funkcjach dowolnego kąta. Potem są dwa zestawy zadań maturalnych z trygonometrii, rozwiązanych krok po kroku.
Zobacz kurs na Udemy5Zastosowanie 3: wyrażenie przez tangens
Gdy znamy tangens, a wyrażenie zawiera sinusy i cosinusy w liczniku i mianowniku w tej samej potędze, wystarczy podzielić licznik i mianownik przez cos α. Wtedy wszystko zamienia się na tangens.
Nie trzeba liczyć osobno sinusa i cosinusa. Ten trik działa nawet wtedy, gdy kąt nie jest ostry.
6Zastosowanie 4: kwadrat sumy sinusa i cosinusa
Ten trik warto zapamiętać. Kwadrat sumy albo różnicy sinusa i cosinusa zawsze zawiera ukrytą jedynkę: (sin α ± cos α)² = 1 ± 2 sin α cos α.
7Zastosowanie 5: upraszczanie wyrażeń
| Wyrażenie | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| 1 − cos2αsin α | sin2αsin α | sin α |
| tg α · cos α | sin αcos α · cos α | sin α |
| sin α · tg α + cos α | sin2αcos α + cos2αcos α = 1cos α | 1cos α |
| (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 | 1 + 2 sin α cos α + 1 − 2 sin α cos α | 2 |
| sin217° + cos217° | jedynka dla α = 17° | 1 |
| sin 40° − cos 50° | sin 40° = cos 50° | 0 |
Strategia upraszczania jest prosta: zamień tangens na sinus przez cosinus, sprowadź do wspólnego mianownika i szukaj miejsca, gdzie pojawia się sin²α + cos²α.
8Dowodzenie tożsamości
W zadaniu „wykaż, że” z trygonometrii przekształcamy jedną stronę, zwykle bardziej skomplikowaną, aż dostaniemy drugą stronę. Nie przenosimy wyrazów przez znak równości jak w równaniu, bo nie wiemy jeszcze, czy równość jest prawdziwa.
Lewa strona jest równa prawej, co kończy dowód.
To kończy dowód. Wzory skróconego mnożenia i jedynka trygonometryczna to najczęstsza para w takich dowodach. Ogólne zasady dowodów opisuję we wpisie o dowodach algebraicznych.
Jedynka trygonometryczna i wzór tg α = sin α / cos α są w zestawie wzorów maturalnych CKE, razem ze wzorami redukcyjnymi. Na maturze podstawowej pojawiają się w zadaniach zamkniętych, w których z jednej funkcji kąta ostrego trzeba obliczyć inną albo uprościć wyrażenie, oraz w krótkich dowodach. Najważniejsze to pamiętać o znaku: dla kąta ostrego wszystkie funkcje są dodatnie.
A. 55
B. 255
C. 12
D. 52
Rozwiązanie: trójkąt z przyprostokątnymi 1 (naprzeciw α) i 2 (przy α) ma przeciwprostokątną √5. sin α = 1/√5 = √5/5. Odpowiedź A. B to cos α, C to tangens, a D to odwrotność sinusa.
To kończy dowód. Zapisz każdy krok i zakończ zdaniem, że lewa strona jest równa prawej.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie sin²α z sin(α²) albo z 2 sin α. Drugi to wybór ujemnego znaku dla funkcji kąta ostrego. Trzeci to „rozdzielanie” funkcji: sin(α + β) ≠ sin α + sin β i sin 2α ≠ 2 sin α. Czwarty to w dowodzie przenoszenie wyrazów przez znak równości jak w równaniu. Piąty to zapomnienie o usunięciu niewymierności z mianownika, gdy odpowiedzi w zadaniu zamkniętym są zapisane bez pierwiastka w mianowniku. Szósty to dzielenie przez cos α bez zastrzeżenia, że cos α ≠ 0.
10Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. α ostry, cos α = 0,6. Oblicz sin α.
sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, sin α = 0,8
2. α ostry, sin α = √3/2. Oblicz tg α.
cos α = ½, tg α = √3
3. α ostry, tg α = 1. Oblicz sin α · cos α.
α = 45°: (√2/2)² = ½
4. tg α = 4. Oblicz (2 sin α − cos α)/(sin α + cos α).
(2 · 4 − 1)/(4 + 1) = 7/5
5. Uprość (1 − sin²α) · tg α.
cos²α · sin α/cos α = sin α cos α
6. Oblicz cos²25° + cos²65°.
cos 65° = sin 25°, więc 1
7. α ostry, sin α + cos α = 1,2. Oblicz sin α cos α.
1,44 = 1 + 2 sin α cos α, więc 0,22
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” trygonometria ma trzy lekcje: funkcje w trójkącie prostokątnym, funkcje dowolnego kąta i tożsamości, a potem dwa zestawy zadań maturalnych. Te umiejętności wracają w planimetrii i stereometrii. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: TrygonometriaTrygonometria od podstaw
- WcześniejWartości funkcji trygonometrycznych dla 30°, 45° i 60°
- DalejCzym różni się |sin(x)| i sin(|x|)?
- Przyda się teżDowody algebraiczne na maturze – zadania „wykaż, że”
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
