Funkcję kwadratową można zapisać na trzy sposoby, a każdy z nich od razu pokazuje coś innego. Postać iloczynowa pokazuje miejsca zerowe: wystarczy spojrzeć na nawiasy. Dlatego bardzo przydaje się przy nierównościach kwadratowych, szkicowaniu wykresu, skracaniu wyrażeń wymiernych i wyznaczaniu wzoru funkcji, gdy znamy jej miejsca zerowe. W tym wpisie pokazuję, jak przechodzić do postaci iloczynowej i z powrotem, jak z niej odczytać wierzchołek i jak wyznaczyć wzór funkcji z wykresu.
1Trzy postaci funkcji kwadratowej
| Postać | Wzór | Co od razu widać |
|---|---|---|
| ogólna | f(x) = ax2 + bx + c | przecięcie z osią y: (0, c) |
| kanoniczna | f(x) = a(x − p)2 + q | wierzchołek (p, q) |
| iloczynowa | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) | miejsca zerowe x₁ i x₂ |
We wszystkich trzech postaciach a jest tą samą liczbą. Postać kanoniczną opisałam w osobnym wpisie, a tutaj zajmujemy się iloczynową.
2Postać iloczynowa i co z niej odczytać
x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji. Iloczyn jest zerem, gdy któryś nawias jest zerem, a to się dzieje dokładnie dla x = x₁ i x = x₂.
| Funkcja | a | Miejsca zerowe |
|---|---|---|
| (x − 2)(x − 3) | 1 | 2 i 3 |
| 2(x − 1)(x + 4) | 2 | 1 i −4 |
| −(x + 3)(x + 5) | −1 | −3 i −5 |
| 3x(x − 7) | 3 | 0 i 7 |
| 12(x − 6)2 | 12 | 6, dwukrotne |
3x(x − 7) to 3(x − 0)(x − 7), więc jednym z miejsc zerowych jest 0.
Na wykresie funkcji f(x) = −½(x − 1)(x − 5) widać miejsca zerowe 1 i 5 prosto ze wzoru, a ujemne a = −½ mówi, że ramiona idą w dół.
3Kiedy postać iloczynowa istnieje
| Delta | Postać iloczynowa | Przykład |
|---|---|---|
| Δ > 0 | a(x − x₁)(x − x₂) | x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) |
| Δ = 0 | a(x − x₀)2 | x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 |
| Δ < 0 | nie istnieje | x2 + x + 1, brak miejsc zerowych |
Gdy funkcja nie ma miejsc zerowych, nie da się jej zapisać jako iloczynu czynników pierwszego stopnia. To oczywiste: gdyby się dało, nawiasy wskazywałyby miejsca zerowe.
4Z postaci ogólnej do iloczynowej
Przepis: obliczamy deltę i miejsca zerowe, a potem wpisujemy je do wzoru razem z a.
a = −1. Δ = 16 + 20 = 36, √Δ = 6. x₁ = −4 − 6−2 = 5, x₂ = −4 + 6−2 = −1.
Δ = 16 − 16 = 0, jedno miejsce zerowe x₀ = 48 = 12. Zatem f(x) = 4(x − ½)². To samo można zapisać jako (2x − 1)², bo 4(x − ½)² = [2(x − ½)]² = (2x − 1)².
Szybciej, bez delty
| Funkcja | Sposób | Postać iloczynowa |
|---|---|---|
| x2 − 9 | różnica kwadratów | (x − 3)(x + 3) |
| 3x2 − 6x | wyłączenie 3x | 3x(x − 2) |
| x2 + 10x + 25 | kwadrat sumy | (x + 5)2 |
| 2x2 − 8 | wyłączenie 2, różnica kwadratów | 2(x − 2)(x + 2) |
5Z postaci iloczynowej do ogólnej
Wymnażamy nawiasy, a potem mnożymy wynik przez a.
Funkcja kwadratowa to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” jeden z największych działów: postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, miejsca zerowe, wierzchołek, nierówności i siedem zestawów zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, z wykresami.
Zobacz kurs na Udemy6Wierzchołek z postaci iloczynowej
Parabola jest symetryczna, a jej oś symetrii przechodzi dokładnie w połowie między miejscami zerowymi. Dlatego pierwsza współrzędna wierzchołka to średnia miejsc zerowych:
p = (1 + 5)/2 = 3. q = f(3) = 2 · (3 − 1) · (3 − 5) = 2 · 2 · (−2) = −8. Wstawiamy do postaci iloczynowej, bo tak jest najszybciej.
7Wzór funkcji z miejsc zerowych i punktu
To jeden z najważniejszych zastosowań postaci iloczynowej. Gdy znamy miejsca zerowe, wzór ma postać a(x − x₁)(x − x₂), a do wyznaczenia zostaje tylko a. Wystarczy do tego jeden dodatkowy punkt wykresu.
Sprawdzenie: średnia miejsc zerowych to (−2 + 4)/2 = 1, czyli zgadza się z pierwszą współrzędną wierzchołka.
8Gdzie postać iloczynowa się przydaje
Przy nierównościach kwadratowych od razu widać miejsca zerowe i znak a, więc szkic paraboli rysuje się w kilka sekund. Przy wyrażeniach wymiernych, na przykład (x² − 5x + 6)/(x − 2), rozkład licznika na (x − 2)(x − 3) pozwala skrócić ułamek do x − 3 (dla x ≠ 2). Przy równaniach wielomianowych trójmian w postaci iloczynowej kończy rozkład na czynniki. Te tematy opisuję w osobnych wpisach.
Postać iloczynowa jest w zestawie wzorów maturalnych CKE razem z pozostałymi postaciami funkcji kwadratowej. Na maturze pojawia się w zadaniach zamkniętych, w których trzeba odczytać miejsca zerowe albo oś symetrii z gotowego wzoru, oraz w zadaniach otwartych, w których z wykresu lub z miejsc zerowych i jednego punktu trzeba wyznaczyć wzór funkcji.
A. x = 1
B. x = −1
C. x = 2
D. x = 3
Rozwiązanie: miejsca zerowe to −2 i 4, więc oś symetrii przechodzi przez ich średnią: (−2 + 4)/2 = 1. Odpowiedź A. Odpowiedź B wychodzi, gdy odczyta się miejsca zerowe ze złymi znakami, czyli 2 i −4.
Odpowiedź: f(x) = 2x² − 4x − 6. Polecenie wymaga postaci ogólnej, więc trzeba wymnożyć nawiasy.
9Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zły znak przy odczycie miejsc zerowych: z (x + 4) ktoś odczytuje 4. Drugi to zapomnienie o a przy zapisie postaci iloczynowej. Trzeci to szukanie postaci iloczynowej przy Δ < 0. Czwarty to przy wymnażaniu nawiasów pomnożenie przez a tylko pierwszego wyrazu. Piąty to przy wyznaczaniu wzoru z miejsc zerowych przyjęcie a = 1 bez wykorzystania dodatkowego punktu. Szósty to pomylenie wzoru p = (x₁ + x₂)/2 z p = x₁ + x₂.
10Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Podaj miejsca zerowe f(x) = −3(x − 7)(x + 2).
7 i −2
2. Zapisz w postaci iloczynowej x² − 7x + 10.
(x − 2)(x − 5)
3. Zapisz w postaci iloczynowej 3x² + 3x − 6.
Δ = 81, x = 1 lub −2: 3(x − 1)(x + 2)
4. Zapisz w postaci iloczynowej x² − 16.
(x − 4)(x + 4)
5. Zapisz w postaci ogólnej (x + 3)(x − 2).
x² + x − 6
6. Wierzchołek paraboli y = (x − 2)(x − 8)?
p = 5, q = 3 · (−3) = −9, W = (5, −9)
7. Miejsca zerowe 0 i 4, punkt (2, 8). Wzór?
a · 2 · (−2) = 8, a = −2: f(x) = −2x(x − 4)
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” funkcja kwadratowa jest rozpisana na kolejne lekcje: wzory z tablic maturalnych, współczynniki, wszystkie trzy postaci, miejsca zerowe, wierzchołek, nierówności i siedem zestawów zadań maturalnych. Przed nią jest funkcja liniowa, a dalej wielomiany, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejMiejsca zerowe funkcji kwadratowej: delta krok po kroku
- DalejNajwiększa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej
- Przyda się teżNierówności kwadratowe krok po kroku
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
