Miejsca zerowe funkcji kwadratowej: delta krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to jedno z najczęstszych zadań w liceum i na maturze. Prawie zawsze rozwiązuje się je tym samym przepisem: liczysz deltę, sprawdzasz jej znak i podstawiasz do wzorów. W tym wpisie pokazuję ten przepis krok po kroku, wyjaśniam, skąd wiadomo, ile będzie rozwiązań, i rozwiązuję przykłady z liczbami całkowitymi, ułamkami, pierwiastkami i ujemnym a. Na koniec pokazuję szybsze sposoby, przy których delta nie jest potrzebna.
1Co to jest miejsce zerowe
Miejsce zerowe funkcji to taki argument x, dla którego wartość funkcji wynosi zero: f(x) = 0. Na wykresie to punkt, w którym parabola przecina oś x albo jej dotyka. Szukanie miejsc zerowych funkcji f(x) = ax² + bx + c to więc rozwiązywanie równania kwadratowego ax² + bx + c = 0.
2Delta, czyli ile będzie rozwiązań
Δ to grecka litera delta. Liczymy ją ze współczynników a, b i c, a jej znak od razu mówi, ile miejsc zerowych ma funkcja.
| Delta | Liczba miejsc zerowych | Wykres |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dwa | parabola przecina oś x w dwóch punktach |
| Δ = 0 | jedno | parabola dotyka osi x wierzchołkiem |
| Δ < 0 | brak | parabola nie ma punktów wspólnych z osią x |
3Wzory na miejsca zerowe
To ta sama liczba co pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, bo przy Δ = 0 wierzchołek leży na osi x.
Gdy Δ < 0, z liczby ujemnej nie da się wyciągnąć pierwiastka, więc wzory nie działają i miejsc zerowych nie ma.
1. Uporządkuj równanie do postaci ax² + bx + c = 0 (wszystko na lewą stronę).
2. Wypisz współczynniki a, b, c razem ze znakami.
3. Policz Δ = b² − 4ac.
4. Sprawdź znak Δ: ile będzie rozwiązań.
5. Policz √Δ i podstaw do wzorów, a potem sprawdź jedno rozwiązanie w równaniu.
4Przykłady krok po kroku
Krok 1. Współczynniki
a = 1, b = −5, c = 6. Znak należy do współczynnika: przed 5x stoi minus, więc b = −5.
Krok 2. Delta
(−5)² = 25, bo kwadrat liczby ujemnej jest dodatni. Δ = 1 > 0, więc są dwa miejsca zerowe, a √Δ = 1.
Krok 3. Wzory
W liczniku −b = −(−5) = 5. Sprawdzenie dla x = 2: 4 − 10 + 6 = 0. Zgadza się.
a = 2, b = 3, c = −2. Δ = 32 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25. Minus razy minus daje plus, dlatego dodajemy 16. √Δ = 5.
W mianowniku jest 2a = 4, a nie 2. To częsty błąd, gdy a ≠ 1.
a = 1, b = −6, c = 9. Δ = 36 − 36 = 0. Jedno miejsce zerowe: x0 = 62 = 3.
Tę funkcję można też rozpoznać jako wzór skróconego mnożenia: x² − 6x + 9 = (x − 3)², a kwadrat jest zerem tylko dla x = 3.
a = 1, b = 2, c = 5. Δ = 4 − 20 = −16. Delta jest ujemna, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Parabola ma ramiona w górę i cała leży nad osią x.
Funkcja kwadratowa to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” jeden z najważniejszych działów: osobne lekcje o wzorach z tablic, współczynnikach, miejscach zerowych i postaci kanonicznej, a potem siedem zestawów zadań maturalnych z funkcji kwadratowej. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak w tym wpisie.
Zobacz kurs na UdemyKrok 1. Współczynniki i delta
a = −1, b = 4, c = 1. Δ = 16 − 4 · (−1) · 1 = 16 + 4 = 20.
Krok 2. Upraszczamy pierwiastek
20 = 4 · 5 = 25.
Krok 3. Wzory, uważając na ujemne a
Dzieląc przez −2, zmieniamy znak każdego wyrazu licznika: −4 : (−2) = 2, a −2√5 : (−2) = √5. Wynik zapisujemy zwykle w kolejności od mniejszego: x = 2 − √5 lub x = 2 + √5.
Ułamki można zostawić, ale łatwiej się ich pozbyć. Miejsca zerowe się nie zmienią, jeśli obie strony równania pomnożymy przez 2:
Δ = 4 + 32 = 36, √Δ = 6. x1 = 2 − 62 = −2, x2 = 2 + 62 = 4.
5Kiedy delta nie jest potrzebna
Delta działa zawsze, ale gdy w równaniu brakuje b albo c, szybciej jest rozwiązać je bez niej.
| Równanie | Sposób | Rozwiązanie |
|---|---|---|
| x2 − 9 = 0 | brak b: różnica kwadratów (x − 3)(x + 3) = 0 | x = 3 lub x = −3 |
| 16x2 − 1 = 0 | (4x − 1)(4x + 1) = 0 | x = 14 lub x = −14 |
| 16x2 + 1 = 0 | 16x² = −1, a kwadrat nie może być ujemny | brak rozwiązań |
| x2 + 16 = 0 | x² = −16 | brak rozwiązań |
| 5x2 − 10x = 0 | brak c: wyłączamy 5x przed nawias, 5x(x − 2) = 0 | x = 0 lub x = 2 |
| x(x + 2) = 0 | iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem | x = 0 lub x = −2 |
Gdy znasz miejsca zerowe, możesz zapisać funkcję w postaci iloczynowej f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Na przykład x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). O pozostałych postaciach funkcji kwadratowej piszę we wpisie o postaci kanonicznej i wierzchołku paraboli.
6Filmy na kanale Po prostu Licz
Jeśli wolisz zobaczyć rozwiązywanie na żywo, na moim kanale na YouTube jest wiele krótkich filmów z równaniami kwadratowymi. Kilka z nich pasuje dokładnie do tego wpisu:
- Oblicz wyróżnik równania kwadratowego0:52
- Równania kwadratowe z deltą. Jak rozwiązać równania kwadratowe?23:32
- Rozwiąż równanie kwadratowe z ułamkami dziesiętnymi10:33
- Rozwiąż równanie kwadratowe z ułamkami zwykłymi10:17
- Rozwiąż równanie kwadratowe z pierwiastkami, korzystając z delty7:47
- Rozwiąż równanie 16x² − 1 = 00:41
- Rozwiąż równanie 16x² + 1 = 01:11
- Rozwiąż równanie 5x² − 10x = 01:14
- Rozwiąż równanie, korzystając z rozkładu na czynniki15:34
- Rozwiąż równanie kwadratowe, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia11:46
- Postać iloczynowa funkcji kwadratowej14:00
- Wyznacz współczynniki b i c trójmianu, znając jego miejsca zerowe6:55
Filmy na kanale to pojedyncze zadania. W kursie na Udemy ten sam materiał jest ułożony w kolejności od podstaw do zadań maturalnych, więc nie musisz sam szukać, od czego zacząć.
Wzór na deltę i wzory na miejsca zerowe są w zestawie wzorów maturalnych CKE, razem ze współrzędnymi wierzchołka i postaciami funkcji kwadratowej. Miejsca zerowe pojawiają się na maturze podstawowej bardzo często: w zadaniach zamkniętych, w równaniach i nierównościach kwadratowych oraz jako fragment dłuższych zadań otwartych, na przykład z geometrii.
A. −3 i 5
B. 3 i −5
C. −3 i −5
D. 3 i 5
Rozwiązanie: Δ = 4 + 60 = 64, √Δ = 8. x1 = 2 − 82 = −3, x2 = 2 + 82 = 5. Odpowiedź A. Można też sprawdzić odpowiedzi podstawianiem: f(−3) = 9 + 6 − 15 = 0 i f(5) = 25 − 10 − 15 = 0.
Rozwiązanie: skoro znamy miejsca zerowe, a a = 1, zapisujemy postać iloczynową: f(x) = (x − 2)(x + 3). Wymnażamy: x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Porównujemy z x² + bx + c. Odpowiedź: b = 1, c = −6. W zadaniu otwartym warto na końcu sprawdzić: f(2) = 4 + 2 − 6 = 0. Takie zadanie rozwiązuję też na jednym z filmów na kanale.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zgubienie znaku przy współczynnikach, zwłaszcza gdy b lub c jest ujemne. Drugi to liczenie (−5)² jako −25. Trzeci to mianownik 2 zamiast 2a, gdy a ≠ 1. Czwarty to błędy przy dzieleniu przez ujemne 2a: trzeba zmienić znak każdego wyrazu licznika. Piąty to dzielenie równania przez x, przez co znika rozwiązanie x = 0. Szósty to szukanie pierwiastka z ujemnej delty zamiast od razu napisać, że miejsc zerowych nie ma.
8Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozwiąż x² − 7x + 10 = 0
Δ = 49 − 40 = 9, x = 2 lub x = 5
2. Rozwiąż x² + 4x + 4 = 0
Δ = 0, x = −2
3. Rozwiąż 3x² − x + 2 = 0
Δ = 1 − 24 = −23, brak rozwiązań
4. Rozwiąż 2x² − 5x − 3 = 0
Δ = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4, czyli x = −½ lub x = 3
5. Rozwiąż x² − 2x − 1 = 0
Δ = 8, √8 = 2√2, x = 1 − √2 lub x = 1 + √2
6. Rozwiąż 4x² − 25 = 0
(2x − 5)(2x + 5) = 0, x = 5/2 lub x = −5/2
7. Rozwiąż 3x² + 12x = 0
3x(x + 4) = 0, x = 0 lub x = −4
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” funkcja kwadratowa jest rozpisana na kolejne lekcje: wzory z tablic maturalnych, współczynniki, miejsca zerowe, postać kanoniczna, a potem siedem zestawów zadań maturalnych. Przed nią jest funkcja liniowa, a po niej wielomiany, równania i nierówności, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejPostać kanoniczna funkcji kwadratowej i wierzchołek paraboli
- DalejPostać iloczynowa funkcji kwadratowej
- Przyda się teżNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
