Każda funkcja ma dwa ważne zbiory: dziedzinę, czyli to, co można do niej „wrzucić”, i zbiór wartości, czyli wszystko, co może z niej „wyjść”. Te dwa pojęcia pojawiają się w każdym dziale o funkcjach i w wielu zadaniach maturalnych, zarówno przy odczytywaniu z wykresu, jak i przy wyznaczaniu ze wzoru. W tym wpisie wyjaśniam oba pojęcia krok po kroku, pokazuję, jak je odczytać z wykresu, jakie warunki trzeba sprawdzić we wzorze i jak wyznaczyć zbiór wartości najważniejszych funkcji.
1Czym są dziedzina i zbiór wartości
Funkcję można sobie wyobrazić jak automat. Wrzucasz liczbę x, a automat wydaje liczbę f(x). Dziedzina to zbiór wszystkich liczb, które wolno wrzucić, czyli wszystkich argumentów. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb, które automat może wydać.
| Dziedzina | Zbiór wartości | |
|---|---|---|
| czego dotyczy | argumentów, czyli x | wartości, czyli y |
| oznaczenie | D lub Df | ZW lub f(D) |
| na wykresie | oś pozioma (x) | oś pionowa (y) |
| pytanie | jakie x można wstawić? | jakie y mogą wyjść? |
2Odczytywanie z wykresu
Wyobraź sobie, że wykres oświetlasz z góry i z dołu. Jego cień na osi x to dziedzina. Teraz oświetlasz go z boku: cień na osi y to zbiór wartości. Na rysunku cień na osi x jest pomarańczowy, a na osi y miętowy.
Dziedzina
Wykres zaczyna się w x = −3 pełnym kółkiem, czyli ten punkt należy do wykresu, i kończy w x = 4 pustym kółkiem, czyli ten punkt nie należy. Dziedzina to ⟨−3; 4).
Zbiór wartości
Najniżej wykres schodzi do y = −2, a najwyżej wchodzi do y = 4. Oba te punkty należą do wykresu, bo leżą w środku, a nie na końcu z pustym kółkiem. Zbiór wartości to ⟨−2; 4⟩.
3Dziedzina ze wzoru
Gdy funkcja jest podana wzorem i nic nie powiedziano o dziedzinie, przyjmujemy, że jest nią zbiór wszystkich liczb, dla których wzór ma sens. Szukamy więc „zakazanych” liczb. Są cztery sytuacje, w których coś może być zakazane:
| We wzorze jest… | Warunek | Dlaczego |
|---|---|---|
| ułamek | mianownik ≠ 0 | nie dzieli się przez zero |
| pierwiastek kwadratowy (stopnia parzystego) | wyrażenie pod pierwiastkiem ≥ 0 | nie ma pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej |
| pierwiastek w mianowniku | wyrażenie pod pierwiastkiem > 0 | musi być ≥ 0 i jednocześnie ≠ 0 |
| logarytm | liczba logarytmowana > 0 | z definicji logarytmu |
Jeśli we wzorze nie ma żadnej z tych rzeczy, na przykład w funkcji liniowej, kwadratowej czy wielomianie, dziedziną jest ℝ.
Mianownik ≠ 0: x − 2 ≠ 0, czyli x ≠ 2.
x² − 9 ≠ 0, czyli (x − 3)(x + 3) ≠ 0. Iloczyn jest różny od zera, gdy oba czynniki są różne od zera: x ≠ 3 i x ≠ −3.
6 − 2x ≥ 0, czyli −2x ≥ −6, a po podzieleniu przez −2 (znak się odwraca) x ≤ 3.
Pierwiastek jest w mianowniku, więc wyrażenie pod nim musi być ściśle dodatnie: x + 1 > 0, czyli x > −1.
Liczba logarytmowana musi być dodatnia: x − 5 > 0, czyli x > 5.
Kilka warunków naraz
Są dwa warunki i oba muszą być spełnione jednocześnie: x + 2 ≥ 0, czyli x ≥ −2, oraz x − 3 ≠ 0, czyli x ≠ 3. Bierzemy część wspólną: wszystkie liczby od −2 w górę oprócz 3.
Dziedzina i zbiór wartości to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje, zaraz na początku działu o funkcjach, razem z odczytywaniem własności funkcji z wykresu. Potem te umiejętności wracają przy każdej kolejnej funkcji: liniowej, kwadratowej, wymiernej i wykładniczej.
Zobacz kurs na Udemy4Zbiór wartości podstawowych funkcji
| Funkcja | Dziedzina | Zbiór wartości |
|---|---|---|
| liniowa f(x) = ax + b, a ≠ 0 | ℝ | ℝ |
| stała f(x) = b | ℝ | {b} |
| kwadratowa, a > 0, wierzchołek (p, q) | ℝ | ⟨q; +∞) |
| kwadratowa, a < 0, wierzchołek (p, q) | ℝ | (−∞; q⟩ |
| wykładnicza aˣ | ℝ | (0; +∞) |
| x | ⟨0; +∞) | ⟨0; +∞) |
| 1x | ℝ \ {0} | ℝ \ {0} |
| |x| | ℝ | ⟨0; +∞) |
To funkcja kwadratowa z a = 1 > 0, więc zbiór wartości zaczyna się od drugiej współrzędnej wierzchołka. p = 6/2 = 3, q = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Szczegóły są we wpisie o postaci kanonicznej.
Zbiór wartości przy ograniczonej dziedzinie
Funkcja liniowa z a = 2 > 0 jest rosnąca, więc najmniejszą wartość przyjmuje na lewym końcu, a największą na prawym: f(0) = 1, f(3) = 7. Oba końce należą do dziedziny.
Przy funkcji kwadratowej na przedziale trzeba dodatkowo sprawdzić, czy wierzchołek leży w tym przedziale. Wtedy najmniejsza albo największa wartość jest w wierzchołku, a nie na końcu.
5Dziedzina w zadaniach tekstowych
W zadaniach z treścią dziedzina wynika z sensu zadania. Gdy prostokąt ma obwód 20 cm, a jeden bok x, to drugi ma 10 − x, a pole to P(x) = x(10 − x). Wzór działa dla każdego x, ale boki muszą być dodatnie: x > 0 i 10 − x > 0. Dziedzina to więc (0; 10), a nie ℝ. Na maturze takie ograniczenie trzeba zapisać, bo jest częścią rozwiązania.
Dziedzina i zbiór wartości pojawiają się na maturze bardzo często: w zadaniach zamkniętych z odczytywaniem z wykresu, z wyznaczaniem dziedziny ze wzoru (najczęściej z ułamkiem albo pierwiastkiem), ze zbiorem wartości funkcji kwadratowej oraz w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie trzeba ustalić dziedzinę z treści. Przy odczycie z wykresu największą pułapką są puste i pełne kółka.
A. ⟨−3; 1) ∪ (1; +∞)
B. (−3; 1) ∪ (1; +∞)
C. ⟨−3; +∞)
D. ℝ \ {1}
Rozwiązanie: x + 3 ≥ 0, czyli x ≥ −3, oraz x − 1 ≠ 0, czyli x ≠ 1. Część wspólna to ⟨−3; 1) ∪ (1; +∞). Odpowiedź A. B wyklucza −3, choć pierwiastek z zera istnieje. C pomija warunek z mianownika, a D pomija warunek z pierwiastka.
Rozwiązanie: a = −1 < 0, więc parabola ma ramiona w dół, a zbiór wartości kończy się na drugiej współrzędnej wierzchołka. p = −42 · (−1) = 2, q = f(2) = −4 + 8 − 1 = 3. Odpowiedź: ZW = (−∞; 3⟩. Nawias przy 3 jest ostry, bo funkcja przyjmuje tę wartość w wierzchołku.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie dziedziny ze zbiorem wartości, czyli odczyt z niewłaściwej osi. Drugi to przy odczycie z wykresu branie wartości na końcach zamiast najniższego i najwyższego punktu. Trzeci to ignorowanie pustych i pełnych kółek. Czwarty to warunek x − 2 ≠ 0 zapisany jako x ≠ −2. Piąty to przy pierwiastku w mianowniku warunek ≥ 0 zamiast > 0. Szósty to przy kilku warunkach branie sumy zamiast części wspólnej. Siódmy to w zadaniach tekstowych pominięcie dziedziny wynikającej z treści.
7Sprawdź się
Wyznacz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Dziedzina f(x) = 5/(x + 4)
ℝ \ {−4}
2. Dziedzina f(x) = √(x − 7)
⟨7; +∞)
3. Dziedzina f(x) = 2/(x² − 1)
ℝ \ {−1, 1}
4. Dziedzina f(x) = log₂(3 − x)
(−∞; 3)
5. Dziedzina f(x) = 1/√(2x − 4)
2x − 4 > 0, czyli (2; +∞)
6. Zbiór wartości f(x) = (x − 1)² + 3
⟨3; +∞)
7. Zbiór wartości f(x) = 2ˣ − 5
(−5; +∞)
8. Zbiór wartości f(x) = −x + 2 dla x ∈ ⟨−1; 4⟩
malejąca: f(4) = −2, f(−1) = 3, czyli ⟨−2; 3⟩
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” dział o funkcjach zaczyna się od pojęcia funkcji, dziedziny, zbioru wartości i odczytywania własności z wykresu, a potem przechodzi przez funkcję liniową, kwadratową, wymierną i wykładniczą. Każdy dział ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejUkład współrzędnych: odcięta, rzędna punktu, osie i funkcja
- DalejArgument i wartość funkcji.
- Przyda się teżSuma, część wspólna i różnica przedziałów
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
