Potęgi, pierwiastki i logarytmy

Logarytmy – zadania maturalne krok po kroku

Logarytmy pojawiają się na maturze podstawowej regularnie, zwykle w jednym lub dwóch zadaniach zamkniętych, czasem w krótkim zadaniu otwartym. Dobra wiadomość: zadania powtarzają się w kilku schematach. W tym wpisie zebrałam 13 zadań w stylu maturalnym, pogrupowanych według typu, i rozwiązałam każde krok po kroku. Przy każdym jest krótka wskazówka, na co uważać. Jeśli definicja i wzory nie są jeszcze dla ciebie oczywiste, zacznij od wpisów „Co to jest logarytm?” i „Wzory na logarytmy”.

1Ściągawka

Co	Wzór	Przykład
definicja	log_a b = c ⟺ a^c = b	log₂ 8 = 3, bo 2³ = 8
założenia	a > 0, a ≠ 1, b > 0	log₂ (−4) nie istnieje
logarytm iloczynu	log_a (xy) = log_a x + log_a y	log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2
logarytm ilorazu	log_a (x/y) = log_a x − log_a y	log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ 8 = 3
logarytm potęgi	log_a x^r = r · log_a x	log₂ 4³ = 3 · 2 = 6
zamiana podstawy	log_a b = log_c blog_c a	log₄ 32 = 52
przydatne	log_a 1 = 0, log_a a = 1, a^{log_a b} = b	5^{log₅ 7} = 7

Na maturze podstawowej

Definicja logarytmu i wszystkie wzory z ściągawki są w zestawie wzorów maturalnych CKE. Zadania z logarytmów prawie zawsze rozwiązuje się jedną z trzech dróg: z definicji („do jakiej potęgi?”), łącząc logarytmy wzorami w jeden albo zapisując liczby jako potęgi tej samej podstawy. Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź, czy wszystkie logarytmy mają tę samą podstawę. Jeśli tak, połącz je. Jeśli nie, pomyśl o zamianie podstawy.

2Typ 1: z definicji

Zadanie 1definicja

Liczba log₃ 81 jest równa:

A. 3
B. 4
C. 27
D. 14

Rozwiązanie

log₃ 81 = cszukamy wykładnika

=3^c = 81zapis z definicji

=3^c = 3⁴81 = 3 · 3 · 3 · 3

=c = 4

OdpowiedźB, czyli 4

Na co uważać: odpowiedź 27 to 81 : 3, czyli dzielenie zamiast szukania wykładnika.

Zadanie 2definicja z ułamkiem

Liczba log₁₂ 8 jest równa:

A. 3
B. −3
C. 13
D. 16

Rozwiązanie

(12)^c = 8z definicji

=2^−c = 2³½ = 2⁻¹, więc (½)ᶜ = 2⁻ᶜ

=−c = 3porównujemy wykładniki

=c = −3

OdpowiedźB, czyli −3

Na co uważać: przy podstawie mniejszej od 1 logarytm liczby większej od 1 jest ujemny.

3Typ 2: suma, różnica, potęga

Zadanie 3suma logarytmów

Wartość wyrażenia log₆ 9 + log₆ 4 jest równa:

A. 2
B. log₆ 13
C. 13
D. 36

Rozwiązanie

log₆ 9 + log₆ 4ta sama podstawa: suma to logarytm iloczynu

=log₆ (9 · 4)

=log₆ 366² = 36

OdpowiedźA, czyli 2

Na co uważać: odpowiedź log₆ 13 to dodanie liczb pod logarytmami zamiast ich pomnożenia.

Zadanie 4różnica logarytmów

Wartość wyrażenia log₂ 48 − log₂ 3 jest równa:

A. 4
B. log₂ 45
C. 16
D. 45

Rozwiązanie

log₂ 48 − log₂ 3różnica to logarytm ilorazu

=log₂ (48 : 3)

=log₂ 162⁴ = 16

OdpowiedźA, czyli 4

Na co uważać: log₂ 48 i log₂ 3 osobno nie są „ładne”, dopiero razem dają liczbę całkowitą. To typowy znak, że trzeba połączyć logarytmy.

Zadanie 5liczba przed logarytmem

Oblicz wartość wyrażenia 2 log₅ 10 − log₅ 4.

Rozwiązanie

2 log₅ 10 − log₅ 4liczbę przed logarytmem wciągamy jako wykładnik

=log₅ 100 − log₅ 4różnica logarytmów

=log₅ 25100 : 4 = 25

=25² = 25

Odpowiedź2

Na co uważać: najpierw zamień 2 log₅ 10 na log₅ 100, dopiero potem łącz. Odwrotna kolejność prowadzi do błędu.

Logarytmy mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” lekcję wprowadzającą, lekcję o wzorach i dwa zestawy zadań maturalnych, rozwiązywanych krok po kroku, tak jak tutaj. Przed nimi są potęgi i pierwiastki, na których logarytmy się opierają.

Zobacz kurs na Udemy

4Typ 3: pierwiastki i wykładniki

Zadanie 6logarytm z pierwiastkiem

Liczba log₃ (93) jest równa:

A. 52
B. 3
C. 32
D. 2

Rozwiązanie

log₃ (93)zapisujemy liczbę jako potęgę 3

=log₃ (3² · 3¹²)9 = 3², √3 = 3^½

=log₃ 3⁵²dodajemy wykładniki: 2 + ½

=52logarytm potęgi podstawy

OdpowiedźA, czyli 52

Na co uważać: pierwiastek kwadratowy to wykładnik ½. Wtedy log₃ √3 = ½.

Zadanie 7wykładnik z logarytmem

Oblicz wartość wyrażenia 3^{2 log₃ 5}.

Rozwiązanie

3^{2 log₃ 5}dwójkę wciągamy pod logarytm

=3^{log₃ 25}

=25a^{logₐ b} = b

Odpowiedź25

Na co uważać: odpowiedź 10 wychodzi, gdy najpierw zastosuje się 3^{log₃ 5} = 5, a potem pomnoży przez 2. Dwójka jest w wykładniku, więc najpierw trzeba ją przenieść pod logarytm.

5Typ 4: różne podstawy

Zadanie 8zamiana podstawy

Oblicz wartość wyrażenia log₄ 2 + log₉ 27.

Rozwiązanie

log₄ 2 + log₉ 274ᶜ = 2, czyli 2²ᶜ = 2¹, więc c = ½

=12 + log₉ 279ᶜ = 27, czyli 3²ᶜ = 3³, więc c = 3/2

=12 + 32

Odpowiedź2

Na co uważać: logarytmów o różnych podstawach nie wolno łączyć wzorem na sumę. Trzeba policzyć każdy osobno albo zamienić podstawy.

6Typ 5: wyrażanie przez a

Zadanie 9wyrażanie przez dane

Wiadomo, że log 2 = a. Liczba log 40 jest równa:

A. 2a + 1
B. 4a
C. 20a
D. a + 1

Rozwiązanie

log 40rozkładamy 40 tak, żeby pojawiły się 2 i 10

=log (4 · 10)40 = 2² · 10

=log 4 + log 10log 10 = 1, bo podstawa to 10

=2 log 2 + 1

=2a + 1

OdpowiedźA, czyli 2a + 1

Na co uważać: pamiętaj, że log bez podstawy to logarytm dziesiętny, więc log 10 = 1. Przydaje się też log 5 = log(10 : 2) = 1 − a.

7Typ 6: niewiadoma i zagnieżdżenie

Zadanie 10niewiadoma w podstawie

Rozwiąż równanie log_x 49 = 2.

Rozwiązanie

x² = 49z definicji

=x = 7 lub x = −7

=x = 7podstawa musi być dodatnia i różna od 1

Odpowiedźx = 7

Na co uważać: odrzuć x = −7. Ujemna podstawa logarytmu nie spełnia założeń.

Zadanie 11logarytm z logarytmu

Oblicz log₂ (log₃ 81).

Rozwiązanie

log₂ (log₃ 81)najpierw wewnętrzny logarytm: 3⁴ = 81

=log₂ 4

=22² = 4

Odpowiedź2

Na co uważać: liczymy od środka, tak jak przy nawiasach. Zewnętrznego logarytmu nie da się policzyć, dopóki nie znasz liczby w środku.

8Typ 7: dziedzina i porównywanie

Zadanie 12dziedzina

Wyznacz zbiór wszystkich x, dla których wyrażenie log_{(x − 1)} (5 − x) ma sens.

Rozwiązanie

Sprawdzamy trzy założenia: podstawa dodatnia, podstawa różna od 1 i liczba logarytmowana dodatnia.

x − 1 > 0czyli x > 1

=x − 1 ≠ 1czyli x ≠ 2

=5 − x > 0czyli x < 5

Bierzemy część wspólną: x między 1 a 5, bez 2.

Odpowiedźx ∈ (1; 2) ∪ (2; 5)

Na co uważać: łatwo zapomnieć o warunku „podstawa różna od 1”. Bez niego w odpowiedzi zostałaby liczba 2.

Zadanie 13porównywanie

Która z liczb jest większa: log₂ 10 czy 3?

Rozwiązanie

3zapisujemy 3 jako logarytm o podstawie 2

=log₂ 8bo 2³ = 8

=log₂ 10 > log₂ 8przy podstawie większej od 1 większa liczba ma większy logarytm

Odpowiedźlog₂ 10 > 3

Na co uważać: przy podstawie mniejszej od 1 byłoby odwrotnie: większa liczba miałaby mniejszy logarytm.

9Typowe błędy w zadaniach z logarytmów

Pierwszy błąd to łączenie logarytmów o różnych podstawach wzorem na sumę lub różnicę. Drugi to „rozbijanie” logarytmu sumy: log(x + y) ≠ log x + log y. Trzeci to traktowanie log x : log y jak logarytmu ilorazu. Czwarty to dzielenie liczb zamiast szukania wykładnika, na przykład log₃ 81 = 27. Piąty to przy liczbie przed logarytmem i w wykładniku wykonywanie działań w złej kolejności. Szósty to pomijanie założeń przy podstawie z niewiadomą albo przy wyznaczaniu dziedziny.

10Sprawdź się

Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.

1. log₅ 125 − log₅ 5

3 − 1 = 2, albo log₅ 25 = 2

2. log₃ 12 + log₃ 0,75

log₃ 9 = 2

3. log₂ √2

4. 7^{log₇ 3}

5. log₈ 4

2³ᶜ = 2², c = 2/3

6. Jeśli log 2 = a, to log 0,2 = ?

log 2 − log 10 = a − 1

Zadania z logarytmów i cała matura krok po kroku

W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” logarytmy mają wprowadzenie, lekcję o wzorach i dwa zestawy zadań maturalnych, a podobne zestawy są w każdym dziale: od liczb i procentów, przez funkcje i ciągi, po geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie, zatrzymujesz film, rozwiązujesz sam i porównujesz z moim rozwiązaniem.

Przejdź do kursu na Udemy

po prostu licz

Powiązane tematy

Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
WcześniejWzory na logarytmy: iloczyn, iloraz, potęga

Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury

KURS MATURALNY

Uczysz się do matury z matematyki?

Jeśli ten wpis Ci pomógł, ale masz w głowie:

„okej, ten temat ogarniam… ale co z całą resztą?”

to właśnie po to stworzyłam mój kurs maturalny.

Nie musisz skakać po przypadkowych filmach, wpisach i zadaniach ani zastanawiać się, czego uczyć się najpierw.

W kursie przechodzimy przez wszystko krok po kroku:

Najpierw Narzędziownia – czyli podstawy, na których najczęściej wykładają się zadania: ułamki, potęgi, pierwiastki, procenty, logarytmy i inne rzeczy, które „niby były”, ale jakoś nie chcą zostać w głowie.

Potem zadania maturalne – dział po dziale, dokładnie w takim stylu, jaki spotkasz na maturze.

Na końcu arkusze CKE – żebyś nie tylko znał/a teorię, ale umiał/a faktycznie usiąść do arkusza i liczyć.

Ty liczysz. Ja pilnuję, żeby to miało kolejność. 😎

Schemat jest prosty i brutalnie skuteczny:

zrozumienie → praktyka → powtórka → utrwalenie.

Zaczynasz od zera

3–4 miesiące

Masz już podstawy

4–6 tygodni

KURS MATURALNY

Potęgi, pierwiastki i logarytmy

Logarytmy – zadania maturalne krok po kroku

Tego się dowiesz!

1Ściągawka

2Typ 1: z definicji

3Typ 2: suma, różnica, potęga

4Typ 3: pierwiastki i wykładniki

5Typ 4: różne podstawy

6Typ 5: wyrażanie przez a

7Typ 6: niewiadoma i zagnieżdżenie

8Typ 7: dziedzina i porównywanie

9Typowe błędy w zadaniach z logarytmów

10Sprawdź się

KURS MATURALNY

Uczysz się do matury z matematyki?

Schemat jest prosty i brutalnie skuteczny:

Zaczynasz od zera

Masz już podstawy

Matematyka? Po prostu licz!

Ważne info

Newsletter