Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Wartość bezwzględna, zapisywana |x|, wygląda niewinnie, ale równania i nierówności z nią potrafią zaskoczyć. Klucz do nich jest jeden: wartość bezwzględna to odległość na osi liczbowej. Jeśli to zrozumiesz, większość zadań rozwiążesz w pamięci, a resztę według prostego przepisu. W tym wpisie pokazuję oba sposoby, rachunkowy i „odległościowy”, na wielu przykładach krok po kroku.
1Co to jest wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna zostawia liczbę nieujemną bez zmian, a liczbie ujemnej zmienia znak. Dlatego wynik nigdy nie jest ujemny: |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.
Zapis „−x” w definicji często myli. Gdy x jest ujemne, na przykład x = −5, to −x = −(−5) = 5, czyli liczba dodatnia. Minus przed ujemną liczbą daje dodatnią.
Najważniejsze: wartość bezwzględna to odległość
|x| to odległość liczby x od zera na osi liczbowej. Liczby 5 i −5 leżą tak samo daleko od zera, dlatego obie mają wartość bezwzględną 5. Ogólniej: |x − a| to odległość liczby x od liczby a. Na przykład |x − 2| mówi, jak daleko x leży od 2.
Ten obrazek to cały sekret. Pytanie „|x| = 5” znaczy: które liczby leżą w odległości 5 od zera? Na rysunku widać, że są dwie: 5 i −5.
2Równania z wartością bezwzględną
To, co stoi w środku wartości bezwzględnej, jest równe a albo −a. Rozwiązujemy dwa zwykłe równania. Gdy a = 0, jest jedno rozwiązanie, a gdy a < 0, nie ma żadnego.
Liczby w odległości 3 od zera: x = 3 lub x = −3.
Sposób 1: rachunek
To, co jest w środku, czyli x − 2, równa się 5 albo −5:
Sposób 2: odległość
Szukamy liczb, które leżą w odległości 5 od liczby 2. Od 2 idziemy 5 w prawo i 5 w lewo:
Sprawdzenie: |2 · 3 + 1| = |7| = 7 oraz |2 · (−4) + 1| = |−7| = 7. Oba się zgadzają.
|x + 4| = 0 tylko wtedy, gdy x + 4 = 0, czyli x = −4. Jedno rozwiązanie, bo odległość 0 oznacza ten sam punkt. Równanie |x − 1| = −2 nie ma rozwiązań, bo wartość bezwzględna, czyli odległość, nigdy nie jest ujemna.
Uwaga na zapis |x + 4|. To |x − (−4)|, czyli odległość od −4, a nie od 4. Plus w środku oznacza punkt po ujemnej stronie osi.
3Nierówności z wartością bezwzględną
Tu odległość pomaga jeszcze bardziej. |x| < 3 znaczy: liczby, które leżą bliżej zera niż 3. To wszystkie liczby między −3 a 3. Z kolei |x| > 3 znaczy: liczby, które leżą dalej niż 3 od zera, czyli na zewnątrz, po obu stronach.
Tak samo działa to dla ≤ i ≥, tylko końce przedziałów należą wtedy do rozwiązania. Reguły dotyczą sytuacji, gdy a jest dodatnie.
Krok 1. Znak „mniejsze”, więc w środku
Krok 2. Dodajemy 1 do wszystkich trzech części
Interpretacja: liczby, które leżą od 1 nie dalej niż 4, czyli od 1 − 4 = −3 do 1 + 4 = 5.
Krok 1. Znak „większe”, więc na zewnątrz: dwie nierówności
Interpretacja: liczby, które leżą dalej niż 3 od liczby −2. Od −2 idziemy 3 w lewo do −5 i 3 w prawo do 1. Rozwiązania są na zewnątrz tych punktów.
W środku: −5 < 2x − 3 < 5. Dodajemy 3 do wszystkich części: −2 < 2x < 8. Dzielimy wszystko przez 2: −1 < x < 4.
Wartość bezwzględna ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” lekcję z definicją, lekcję o wartości bezwzględnej na osi liczbowej oraz osobne lekcje o równaniach i nierównościach, a potem zestaw zadań maturalnych. Wszystko krok po kroku, z rysunkami na osi, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy4Przypadki szczególne
| Nierówność | Rozwiązanie | Dlaczego |
|---|---|---|
| |x| < −1 | ∅ | odległość nie może być mniejsza od liczby ujemnej |
| |x| > −1 | ℝ | każda odległość jest większa od −1 |
| |x − 3| ≤ 0 | {3} | odległość ≤ 0 tylko wtedy, gdy wynosi 0, czyli x = 3 |
| |x − 3| > 0 | ℝ \ {3} | każda liczba poza 3 jest w dodatniej odległości od 3 |
Zanim zaczniesz liczyć, spójrz na prawą stronę. Jeśli jest ujemna albo równa zero, odpowiedź zwykle widać od razu.
5Ściągawka
| Zadanie | Co robimy | Ile kawałków w wyniku |
|---|---|---|
| |w| = a | w = a lub w = −a | dwa punkty |
| |w| < a lub |w| ≤ a | −a < w < a (podwójna nierówność) | jeden przedział, w środku |
| |w| > a lub |w| ≥ a | w < −a lub w > a | dwa przedziały, na zewnątrz |
Na maturze podstawowej wartość bezwzględna pojawia się najczęściej w zadaniach zamkniętych: trzeba wskazać zbiór rozwiązań nierówności albo rozwiązania równania, często zaznaczone na osi liczbowej. Interpretacja „odległości” pozwala zwykle odrzucić złe odpowiedzi bez liczenia. Zdarzają się też pytania o liczby całkowite spełniające nierówność.
A. ⟨1; 5⟩
B. (−∞; 1⟩ ∪ ⟨5; +∞)
C. ⟨−5; −1⟩
D. ⟨−1; 5⟩
Rozwiązanie: szukamy liczb, które leżą od 3 nie dalej niż 2, czyli od 3 − 2 = 1 do 3 + 2 = 5, razem z końcami. Odpowiedź A. Odpowiedź B to rozwiązanie nierówności ze znakiem ≥, a C to wynik dla |x + 3| ≤ 2, czyli z pomylonym znakiem w środku.
Rozwiązanie: w środku, więc −3 < x + 1 < 3. Odejmujemy 1: −4 < x < 2. Końce nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra. Liczby całkowite z przedziału (−4; 2) to −3, −2, −1, 0 i 1.
Odpowiedź: −3, −2, −1, 0, 1. Uważaj na końce: −4 i 2 nie spełniają nierówności, bo |−4 + 1| = 3 i |2 + 1| = 3, a 3 nie jest mniejsze od 3.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to podawanie tylko jednego rozwiązania równania, na przykład tylko x = 7 dla |x − 2| = 5. Drugi to „opuszczenie” wartości bezwzględnej przy nierówności, czyli zamiana |x| < 3 na x < 3. Wtedy gubi się warunek x > −3. Trzeci to zapis rozwiązania „na zewnątrz” jako podwójnej nierówności, która nie ma sensu. Czwarty to pomylenie znaku w środku: |x + 2| to odległość od −2, a nie od 2. Piąty to szukanie rozwiązań, gdy prawa strona jest ujemna, zamiast od razu zauważyć zbiór pusty albo ℝ.
7Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rozwiąż |x| = 8
x = 8 lub x = −8
2. Rozwiąż |x − 4| = 1
x = 5 lub x = 3
3. Rozwiąż |3x| = 12
x = 4 lub x = −4
4. Rozwiąż |x + 5| = 2
x = −3 lub x = −7
5. Rozwiąż |x| ≤ 6
x ∈ ⟨−6; 6⟩
6. Rozwiąż |x − 2| > 1
x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞)
7. Rozwiąż |2x + 4| < 6
−6 < 2x + 4 < 6, czyli x ∈ (−5; 1)
8. Rozwiąż |x − 7| < −3
brak rozwiązań, ∅
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” wartość bezwzględna jest omówiona od definicji, przez interpretację na osi liczbowej, aż po równania, nierówności i zadania maturalne. Wcześniej są przedziały i działania na nich, a dalej funkcje, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Wyrażenia algebraiczne i równaniaNauka Matematyki: Wzory Skróconego Mnożenia w Szkole Podstawowej i Liceum Dużo Przykładów
- WcześniejUkłady równań liniowych – trzy metody krok po kroku
- DalejNierówności kwadratowe krok po kroku
- Przyda się teżWartość bezwzględna – definicja i oś liczbowa
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
