NWD i NWW to dwa skróty, które pojawiają się przy ułamkach, w zadaniach tekstowych i na sprawdzianach od szkoły podstawowej aż do matury. NWD to największy wspólny dzielnik, a NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność. W tym wpisie pokazuję, czym się różnią, trzy sposoby na policzenie każdego z nich i jak w zadaniu tekstowym rozpoznać, czy chodzi o NWD, czy o NWW.
1Definicje
Największa liczba, przez którą dzielą się obie liczby. NWD jest zawsze mniejszy lub równy mniejszej z liczb.
NWW: najmniejsza wspólna wielokrotnośćNajmniejsza liczba dodatnia, która dzieli się przez obie liczby. NWW jest zawsze większa lub równa większej z liczb.
Zobaczmy to na liczbach 12 i 18, wypisując dzielniki i wielokrotności:
| Liczba 12 | Liczba 18 | Wspólne | |
|---|---|---|---|
| dzielniki | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | 1, 2, 3, 6 |
| wielokrotności | 12, 24, 36, 48, 60, 72 | 18, 36, 54, 72 | 36, 72, … |
Największy wspólny dzielnik to 6, a najmniejsza wspólna wielokrotność to 36. Zapisujemy: NWD(12, 18) = 6 i NWW(12, 18) = 36.
2NWD: trzy sposoby
Sposób 1: wypisywanie dzielników
Dobry przy małych liczbach. Wypisujemy wszystkie dzielniki obu liczb i wybieramy największy wspólny, tak jak w tabeli powyżej.
Sposób 2: rozkład na czynniki pierwsze
Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze (sposób jest opisany we wpisie o liczbach pierwszych). NWD to iloczyn czynników, które występują w obu rozkładach. Najlepiej widać to na diagramie: w części wspólnej kół stoją czynniki wspólne.
84 = 2 · 2 · 3 · 7
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5
Wspólne są dwie dwójki i trójka.
W zapisie potęgowym: 84 = 2² · 3 · 7 i 120 = 2³ · 3 · 5. Bierzemy każdy wspólny czynnik w mniejszej z potęg: 2² · 3 = 12.
Sposób 3: algorytm Euklidesa
Najszybszy przy dużych liczbach, bo nie trzeba ich rozkładać. Dzielimy większą liczbę przez mniejszą z resztą. Potem dzielnik dzielimy przez resztę i tak dalej, aż reszta wyjdzie 0. Ostatnia reszta różna od zera to NWD.
| Dzielenie | Iloraz | Reszta |
|---|---|---|
| 252 : 198 | 1 | 54 |
| 198 : 54 | 3 | 36 |
| 54 : 36 | 1 | 18 |
| 36 : 18 | 2 | 0 |
Reszta 0 pojawiła się w ostatnim wierszu, więc NWD to ostatnia reszta różna od zera, czyli 18. Sprawdzenie: 252 = 18 · 14 i 198 = 18 · 11, a 14 i 11 nie mają wspólnych dzielników.
Dlaczego to działa? Każdy wspólny dzielnik liczb 252 i 198 dzieli też ich różnicę i resztę z dzielenia. Zastępując większą liczbę resztą, nie zmieniamy NWD, a liczby szybko się zmniejszają.
3NWW: trzy sposoby
Sposób 1: wypisywanie wielokrotności
Wypisujemy kolejne wielokrotności większej liczby i sprawdzamy, która pierwsza dzieli się przez mniejszą. Dla 6 i 8: 8, 16, 24. Liczba 24 dzieli się przez 6, więc NWW(6, 8) = 24.
Sposób 2: rozkład na czynniki pierwsze
NWW to iloczyn wszystkich czynników z obu kół diagramu, przy czym część wspólną liczymy tylko raz. W zapisie potęgowym bierzemy każdy czynnik w większej potędze.
Albo potęgowo: 2³ · 3 · 5 · 7 = 8 · 3 · 5 · 7 = 840.
Sposób 3: wzór z NWD
Jeśli znasz NWD, NWW liczysz jednym działaniem. Dla 84 i 120: NWW = 84 · 12012 = 1008012 = 840. Wygodniej najpierw podzielić jedną z liczb przez NWD: 84 : 12 = 7, a 7 · 120 = 840.
Działania na liczbach naturalnych, dzielniki, wielokrotności, NWD i NWW pojawiają się w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” już w pierwszym dziale, a potem wracają przy ułamkach i wyrażeniach wymiernych. Wszystko rozpisane krok po kroku, tak jak tutaj.
Zobacz kurs na Udemy4Liczby względnie pierwsze i trzy liczby naraz
Liczby, których NWD wynosi 1, nazywamy względnie pierwszymi. Same nie muszą być pierwsze: 8 i 15 są złożone, ale nie mają wspólnych dzielników poza 1. Dla takich liczb NWW to po prostu ich iloczyn: NWW(8, 15) = 120.
Dla trzech i więcej liczb postępujemy tak samo. NWD to czynniki wspólne dla wszystkich liczb, a NWW to wszystkie czynniki w największych potęgach.
| Liczby | Rozkłady | NWD | NWW |
|---|---|---|---|
| 24, 36, 60 | 2³ · 3, 2² · 3², 2² · 3 · 5 | 2² · 3 = 12 | 2³ · 3² · 5 = 360 |
| 4, 6, 10 | 2², 2 · 3, 2 · 5 | 2 | 2² · 3 · 5 = 60 |
| 9, 15, 25 | 3², 3 · 5, 5² | 1 | 3² · 5² = 225 |
5Zadania tekstowe: NWD czy NWW?
W zadaniach z treścią najtrudniejsze jest rozpoznanie, czego szukamy. Pomaga proste pytanie: czy coś dzielimy na równe części, czy czekamy, aż coś się powtórzy jednocześnie?
| Gdy w zadaniu… | Szukamy | Typowe słowa |
|---|---|---|
| dzielimy rzeczy na jednakowe paczki, kawałki, grupy i chcemy ich jak najwięcej lub jak największych | NWD | podziel, rozdziel, największy, jednakowe części |
| coś powtarza się cyklicznie i pytamy, kiedy zdarzy się jednocześnie | NWW | jednocześnie, znowu razem, spotkają się, najmniejszy |
Dzielimy owoce na równe części i chcemy jak najwięcej koszyczków, więc szukamy największej liczby, przez którą dzielą się i 48, i 60: NWD(48, 60). Rozkłady: 48 = 2⁴ · 3, 60 = 2² · 3 · 5, więc NWD = 2² · 3 = 12. W każdym koszyczku będzie 48 : 12 = 4 jabłka i 60 : 12 = 5 gruszek.
Czekamy, aż oba zdarzenia powtórzą się w tej samej chwili, więc szukamy NWW(12, 18). Z tabeli na początku wpisu NWW(12, 18) = 36. Oba autobusy odjadą razem po 36 minutach.
Bok kwadratu musi mieścić się całkowitą liczbę razy w obu wymiarach i ma być jak największy: NWD(60, 84). 60 = 2² · 3 · 5, 84 = 2² · 3 · 7, więc NWD = 12 cm. Wzdłuż boku 60 cm zmieści się 5 kwadratów, a wzdłuż 84 cm 7 kwadratów, razem 35.
NWD i NWW pojawiają się na maturze rzadko jako osobne zadanie, ale są potrzebne przy skracaniu ułamków, szukaniu wspólnego mianownika, w zadaniach z liczbami podanymi w postaci iloczynu potęg oraz w zadaniach tekstowych. Na egzaminie najszybciej działa rozkład na czynniki pierwsze, a przy dużych liczbach algorytm Euklidesa.
A. 6
B. 12
C. 36
D. 23 · 32
Rozwiązanie: wspólne czynniki to 2 i 3. Dwójkę bierzemy w mniejszej potędze, czyli 2², a trójkę w potędze 3¹. NWD = 2² · 3 = 12. Odpowiedź B. Odpowiedź D to wzięcie większych potęg, czyli pomylenie NWD z zasadą dla NWW.
Rozwiązanie: szukamy chwili, w której zdarzenia powtórzą się jednocześnie, więc NWW(4, 6, 10). 4 = 2², 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5, więc NWW = 2² · 3 · 5 = 60. Wszystkie lampki zapalają się razem co 60 sekund. 10 minut to 600 sekund, a 600 : 60 = 10. Odpowiedź: po 60 sekundach; w ciągu 10 minut jeszcze 10 razy. W zadaniu otwartym napisz, dlaczego to NWW, a nie NWD.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylenie NWD z NWW, na przykład podanie NWD większego od jednej z liczb. Drugi to przy rozkładzie branie większych potęg przy NWD albo mniejszych przy NWW. Trzeci to liczenie NWW jako iloczynu liczb, które mają wspólne dzielniki: 12 · 18 = 216, a NWW to 36. Czwarty to w zadaniach tekstowych nierozpoznanie, czy coś dzielimy, czy coś się powtarza. Piąty to w algorytmie Euklidesa podanie zera albo przedostatniego ilorazu zamiast ostatniej niezerowej reszty.
7Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. NWD(18, 24)
6
2. NWW(18, 24)
72
3. NWD(35, 48)
1, liczby są względnie pierwsze
4. NWW(35, 48)
35 · 48 = 1680
5. NWD(150, 210) z rozkładu
150 = 2 · 3 · 5², 210 = 2 · 3 · 5 · 7, NWD = 30
6. NWD(391, 299) algorytmem Euklidesa
391 = 299 + 92, 299 = 3 · 92 + 23, 92 = 4 · 23 + 0, więc 23
7. NWD(a, b) = 6, a · b = 216. Ile wynosi NWW?
216 : 6 = 36
8. Dwa zegary dzwonią co 15 i co 20 minut. Po ilu minutach zadzwonią razem?
NWW(15, 20) = 60
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” zaczynasz od liczb i działań na nich, przechodzisz przez ułamki, potęgi, pierwiastki i procenty, a potem przez funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Każdy dział ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Liczby i działaniaLiczby naturalne w matematyce
- WcześniejLiczby pierwsze i złożone
- DalejSuma, część wspólna i różnica przedziałów
- Przyda się teżSkracanie i rozszerzanie ułamków, wspólny mianownik
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
