Odległość Ziemi od Słońca to około 150 000 000 km, a masa elektronu to około 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg. Takie liczby trudno zapisać, przeczytać i policzyć. Dlatego naukowcy i matematycy zapisują je w notacji wykładniczej: 1,5 · 10⁸ km i 9,11 · 10⁻³¹ kg. W tym wpisie wyjaśniam, jak zamieniać liczby na notację wykładniczą i z powrotem, jak wykonywać na nich działania i jak rozwiązywać typowe zadania maturalne.
1Co to jest notacja wykładnicza
gdzie a jest liczbą z przedziału ⟨1; 10), czyli 1 ≤ a < 10, a n jest liczbą całkowitą. Przed przecinkiem w liczbie a stoi więc zawsze dokładnie jedna cyfra różna od zera.
| Zapis | Czy to notacja wykładnicza? | Dlaczego |
|---|---|---|
| 3,2 · 105 | tak | 1 ≤ 3,2 < 10 |
| 7 · 10−3 | tak | 1 ≤ 7 < 10, wykładnik może być ujemny |
| 32 · 104 | nie | 32 jest większe od 10 |
| 0,8 · 106 | nie | 0,8 jest mniejsze od 1 |
| 10 · 103 | nie | a musi być mniejsze od 10; poprawnie 1 · 10⁴ |
Notację wykładniczą nazywa się też notacją naukową albo postacią wykładniczą liczby.
2Zamiana dużej liczby
Przesuwamy przecinek w lewo tak, żeby przed nim została jedna cyfra różna od zera. Liczba miejsc, o które przesunęliśmy przecinek, to wykładnik n, i jest on dodatni.
Przecinek liczby całkowitej stoi na końcu, za ostatnim zerem. Przesuwamy go w lewo, aż przed nim zostanie sama czwórka:
Sprawdzenie: 4,5 · 10⁷ to 4,5 · 10 000 000 = 45 000 000. Zera na końcu po przecinku pomijamy, więc 4,5000000 piszemy jako 4,5.
| Liczba | Ile miejsc w lewo | Notacja wykładnicza |
|---|---|---|
| 3 000 | 3 | 3 · 103 |
| 720 000 | 5 | 7,2 · 105 |
| 602 000 000 | 8 | 6,02 · 108 |
| 150 000 000 | 8 | 1,5 · 108 |
| 83,4 | 1 | 8,34 · 101 |
3Zamiana małej liczby
Dla liczb mniejszych od 1 przesuwamy przecinek w prawo, za pierwszą cyfrę różną od zera. Liczba miejsc to znowu n, ale tym razem wykładnik jest ujemny.
Sprawdzenie: 10⁻⁴ = 1/10 000 = 0,0001, a 3,2 · 0,0001 = 0,00032.
| Liczba | Ile miejsc w prawo | Notacja wykładnicza |
|---|---|---|
| 0,5 | 1 | 5 · 10−1 |
| 0,07 | 2 | 7 · 10−2 |
| 0,000 41 | 4 | 4,1 · 10−4 |
| 0,000 000 9 | 7 | 9 · 10−7 |
Liczba większa lub równa 10: przecinek w lewo, wykładnik dodatni. Liczba mniejsza od 1: przecinek w prawo, wykładnik ujemny. Liczba od 1 do 10: wykładnik 0, bo 10⁰ = 1.
4Zamiana w drugą stronę
Gdy mamy liczbę w notacji wykładniczej i chcemy ją zapisać „normalnie”, przesuwamy przecinek o n miejsc: w prawo, gdy n jest dodatnie, i w lewo, gdy ujemne. Brakujące miejsca uzupełniamy zerami.
| Notacja wykładnicza | Co robimy | Liczba |
|---|---|---|
| 6,02 · 105 | przecinek o 5 w prawo | 602 000 |
| 3 · 109 | przecinek o 9 w prawo | 3 000 000 000 |
| 7 · 10−3 | przecinek o 3 w lewo | 0,007 |
| 1,25 · 10−2 | przecinek o 2 w lewo | 0,0125 |
5Poprawianie zapisu
Po obliczeniach często wychodzi zapis, w którym liczba przed potęgą nie mieści się w przedziale od 1 do 10. Trzeba go wtedy poprawić: zmienić a i jednocześnie wykładnik tak, żeby wartość się nie zmieniła.
Liczba 23 to 2,3 · 10¹. Zatem 23 · 105 = 2,3 · 101 · 105 = 2,3 · 106. Zmniejszyliśmy a dziesięć razy, więc wykładnik rośnie o 1.
Liczba 0,45 to 4,5 · 10⁻¹. Zatem 0,45 · 103 = 4,5 · 10−1 · 103 = 4,5 · 102. Zwiększyliśmy a dziesięć razy, więc wykładnik maleje o 1.
Notacja wykładnicza to część działu o potęgach w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury”. Działania na potęgach, potęgi o wykładniku ujemnym i trzy zestawy zadań maturalnych z potęg i pierwiastków są rozpisane krok po kroku, tak jak w tym wpisie.
Zobacz kurs na Udemy6Działania w notacji wykładniczej
Działania opierają się na wzorach na potęgi: 10ᵐ · 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ i 10ᵐ : 10ⁿ = 10ᵐ⁻ⁿ. Liczby przed potęgami liczymy osobno, a potęgi dziesięciu osobno.
Mnożenie
Gdy iloczyn liczb przed potęgami jest większy niż 10, poprawiamy zapis: (5 · 104) · (6 · 103) = 30 · 107 = 3 · 108.
Dzielenie
Tu też może być potrzebna poprawka: (3 · 102) : (6 · 105) = 0,5 · 10−3 = 5 · 10−4.
Potęgowanie
Do potęgi podnosimy obie części: (2 · 103)2 = 22 · 106 = 4 · 106.
Dodawanie i odejmowanie
Tu nie ma skrótu. Najpierw trzeba doprowadzić obie liczby do tej samej potęgi dziesięciu, potem dodać liczby przed nią: 3 · 104 + 5 · 103 = 30 · 103 + 5 · 103 = 35 · 103 = 3,5 · 104.
Porównywanie
Gdy obie liczby są poprawnie zapisane w notacji wykładniczej, większa jest ta, która ma większy wykładnik. Dopiero gdy wykładniki są równe, porównujemy liczby przed potęgami. Dlatego 1,1 · 10⁶ > 9,9 · 10⁵, a 2 · 10⁻³ > 9 · 10⁻⁴, bo −3 > −4.
7Kalkulator i przedrostki jednostek
Kalkulatory pokazują bardzo duże i bardzo małe liczby w notacji wykładniczej, zapisując potęgę dziesięciu literą E. Wynik 1.5E8 oznacza 1,5 · 10⁸, a 3.2E-4 oznacza 3,2 · 10⁻⁴.
Notacja wykładnicza kryje się też w przedrostkach jednostek, które znasz z codzienności:
| Przedrostek | Znaczenie | Przykład |
|---|---|---|
| giga (G) | 109 | 1 GB to około miliarda bajtów |
| mega (M) | 106 | 1 MW = 10⁶ W |
| kilo (k) | 103 | 1 km = 10³ m |
| mili (m) | 10−3 | 1 mm = 10⁻³ m |
| mikro (μ) | 10−6 | 1 μm = 10⁻⁶ m |
| nano (n) | 10−9 | 1 nm = 10⁻⁹ m |
Notacja wykładnicza pojawia się na maturze w zadaniach zamkniętych z potęg: trzeba zapisać liczbę w notacji wykładniczej, obliczyć iloczyn lub iloraz takich liczb albo porównać dwie bardzo duże lub bardzo małe liczby. Autorzy zadań chętnie dają w odpowiedziach zapisy z pomylonym znakiem wykładnika albo z liczbą przed potęgą spoza przedziału od 1 do 10.
A. 56 · 10−6
B. 5,6 · 10−5
C. 5,6 · 10−6
D. 5,6 · 105
Rozwiązanie: przesuwamy przecinek w prawo za piątkę, czyli o 5 miejsc. Liczba jest mała, więc wykładnik jest ujemny: 5,6 · 10⁻⁵. Odpowiedź B. Odpowiedź A ma tę samą wartość, ale nie jest notacją wykładniczą, bo 56 > 10. C to błąd w liczeniu miejsc, a D to pomylony znak.
Rozwiązanie: mnożymy osobno liczby i potęgi. 4,2 · 5 = 21, a 10⁵ · 10⁻⁸ = 10⁵⁺⁽⁻⁸⁾ = 10⁻³. Wynik 21 · 10⁻³ trzeba poprawić, bo 21 > 10: 21 · 10−3 = 2,1 · 101 · 10−3 = 2,1 · 10−2. Odpowiedź: 2,1 · 10⁻². W zadaniu otwartym nie zapomnij o tym ostatnim kroku, bo 21 · 10⁻³ nie jest jeszcze notacją wykładniczą.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to pomylony znak wykładnika: liczby mniejsze od 1 mają wykładnik ujemny. Drugi to zostawienie przed potęgą liczby spoza przedziału ⟨1; 10), na przykład 23 · 10⁵ albo 0,45 · 10³. Trzeci to błąd w liczeniu miejsc, o które przesuwa się przecinek. Czwarty to dodawanie wykładników przy dodawaniu liczb. Piąty to przy poprawianiu zapisu zmiana a bez zmiany wykładnika, albo zmiana wykładnika w złą stronę.
9Sprawdź się
Zapisz lub oblicz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Zapisz w notacji wykładniczej 5 600 000.
5,6 · 10⁶
2. Zapisz w notacji wykładniczej 0,0009.
9 · 10⁻⁴
3. Zapisz normalnie 3,4 · 10⁴.
34 000
4. Zapisz normalnie 2,5 · 10⁻³.
0,0025
5. Popraw zapis 47 · 10⁻²
4,7 · 10⁻¹
6. Oblicz (3 · 10⁴) · (3 · 10⁵).
9 · 10⁹
7. Oblicz (9 · 10⁶) : (3 · 10⁻²).
3 · 10⁸
8. Która liczba jest większa: 4 · 10⁻⁵ czy 9 · 10⁻⁶?
4 · 10⁻⁵, bo −5 > −6
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” notacja wykładnicza jest częścią działu o potęgach, razem z działaniami na potęgach, potęgami o wykładniku ujemnym i ułamkowym oraz trzema zestawami zadań maturalnych. Dalej są logarytmy, funkcje, ciągi, geometria, statystyka i prawdopodobieństwo. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Potęgi, pierwiastki i logarytmyPotęgowanie bez tajemnic. FAQ potęgowe.
- WcześniejPotęgi o wykładniku całkowitym czyli ujemne
- DalejPierwiastki – definicja i działania
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
