Skracanie i rozszerzanie ułamków, wspólny mianownik
Skracanie i rozszerzanie ułamków to dwie strony tej samej rzeczy: zmieniasz wygląd ułamka, ale nie jego wartość. Pół pizzy to to samo co dwie ćwiartki albo cztery ósemki. Te dwie umiejętności są potrzebne prawie wszędzie: przy dodawaniu i porównywaniu ułamków, w wyrażeniach algebraicznych, w procentach i na maturze. W tym wpisie pokazuję krok po kroku, jak skracać, jak rozszerzać i jak szybko znaleźć wspólny mianownik.
1Jeden ułamek, wiele zapisów
Ułamek składa się z licznika (na górze) i mianownika (na dole). Mianownik mówi, na ile równych części dzielimy całość, a licznik, ile takich części bierzemy. Na rysunku każdy pasek to ta sama całość, podzielona na inną liczbę części:
½, 2/4, 4/8 i 3/6 to cztery zapisy tej samej liczby. Przechodzenie od ½ do 4/8 to rozszerzanie, a od 4/8 do ½ to skracanie.
2Rozszerzanie ułamka
Rozszerzyć ułamek to pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę k, różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożysz go tak naprawdę przez k/k, czyli przez 1.
| Ułamek | Rozszerzamy przez | Wynik |
|---|---|---|
| 23 | 4 | 2 · 43 · 4 = 812 |
| 35 | 20 | 3 · 205 · 20 = 60100 |
| 14 | 25 | 25100 |
| 57 | 3 | 1521 |
Rozszerzanie do mianownika 100 przydaje się przy procentach: 3/5 = 60/100 = 60%.
Przez ile trzeba pomnożyć 8, żeby dostać 24? 24 : 8 = 3. Mnożymy więc przez 3 i licznik, i mianownik: 38 = 3 · 38 · 3 = 924.
3Skracanie ułamka
Skrócić ułamek to podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę k różną od zera, czyli przez ich wspólny dzielnik. Ułamek, którego nie da się już skrócić, nazywamy nieskracalnym.
Sposób 1: po kawałku
Licznik i mianownik są parzyste, więc dzielimy przez 2: 12/18 = 6/9. Teraz oba dzielą się przez 3: 6/9 = 2/3. 2 i 3 nie mają już wspólnego dzielnika większego niż 1, więc skończyliśmy.
Sposób 2: od razu przez największy wspólny dzielnik
Największa liczba, przez którą dzielą się i 12, i 18, to 6. Dzieląc przez nią, skracamy w jednym kroku: 12/18 = 2/3. Ta liczba to największy wspólny dzielnik, w skrócie NWD.
Oba sposoby dają ten sam wynik. Sposób po kawałku jest bezpieczniejszy, gdy nie widzisz od razu NWD, tylko trzeba pamiętać, żeby skracać aż do końca.
Jak szybko sprawdzić, przez co dzieli się liczba
| Liczba dzieli się przez | gdy | Przykład |
|---|---|---|
| 2 | ostatnia cyfra jest parzysta | 348 |
| 3 | suma cyfr dzieli się przez 3 | 126: 1 + 2 + 6 = 9 |
| 5 | ostatnia cyfra to 0 albo 5 | 235 |
| 9 | suma cyfr dzieli się przez 9 | 486: 4 + 8 + 6 = 18 |
| 10 | ostatnia cyfra to 0 | 370 |
| 4 | liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4 | 316: 16 dzieli się przez 4 |
Duże liczby: rozkład na czynniki pierwsze
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki pierwsze, czyli zapisujemy je jako iloczyn liczb pierwszych:
Skreślamy czynniki, które występują i w liczniku, i w mianowniku: jedną dwójkę, jedną trójkę i siódemkę.
Skreślone czynniki to 2 · 3 · 7 = 42, czyli NWD liczb 84 i 126.
| Ułamek | Dzielimy przez | Ułamek nieskracalny |
|---|---|---|
| 2436 | 12 | 23 |
| 4560 | 15 | 34 |
| 3549 | 7 | 57 |
| 1881 | 9 | 29 |
| 100250 | 50 | 25 |
Skracanie, rozszerzanie i wspólny mianownik to osobna lekcja w pierwszym dziale mojego kursu „Matematyka od podstaw do matury”. Zaraz po niej są działania na ułamkach zwykłych, a później te same umiejętności wracają w wyrażeniach algebraicznych, procentach i zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy4Wspólny mianownik
Ułamki można dodawać, odejmować i porównywać bezpośrednio tylko wtedy, gdy mają ten sam mianownik, bo wtedy mówią o częściach tej samej wielkości. Ćwiartki i szóstki to różne kawałki, więc najpierw trzeba je zamienić na kawałki wspólne. Robimy to przez rozszerzanie.
Najlepszy wspólny mianownik to najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) mianowników, czyli najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdy z nich. Najprościej znaleźć ją, wypisując kolejne wielokrotności większego mianownika i sprawdzając, która dzieli się przez mniejszy.
Zawsze działa też iloczyn mianowników, ale często daje niepotrzebnie duże liczby.
Krok 1. Szukamy NWW liczb 4 i 6
Wielokrotności 6: 6, 12, 18… Czy 6 dzieli się przez 4? Nie. Czy 12 dzieli się przez 4? Tak. Wspólny mianownik to 12.
Krok 2. Rozszerzamy każdy ułamek do mianownika 12
Iloczyn mianowników dałby 24. Też by zadziałało (6/24 i 4/24), ale potem trzeba by skracać wynik.
| Ułamki | Wspólny mianownik (NWW) | Po rozszerzeniu |
|---|---|---|
| 38 i 512 | 24 | 924 i 1024 |
| 710 i 415 | 30 | 2130 i 830 |
| 23, 14 i 56 | 12 | 812, 312 i 1012 |
| 15 i 37 | 35, bo 5 i 7 nie mają wspólnych dzielników | 735 i 1535 |
Gdy mianowniki nie mają wspólnych dzielników (jak 5 i 7), NWW to po prostu ich iloczyn.
5Do czego to się przydaje
Porównywanie ułamków
Wspólny mianownik to 24: 58 = 1524, a 712 = 1424. Przy tym samym mianowniku większy jest ten, który ma większy licznik.
Dodawanie i odejmowanie
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika dodajemy albo odejmujemy tylko liczniki, a mianownik zostaje. Na końcu sprawdzamy, czy wynik da się skrócić.
Skracanie, rozszerzanie i wspólny mianownik rzadko są osobnym zadaniem maturalnym, ale są potrzebne w bardzo wielu zadaniach: przy obliczaniu wartości wyrażeń, w procentach, w równaniach z ułamkami, w wyrażeniach wymiernych i w prawdopodobieństwie, gdzie wynik zwykle trzeba podać jako ułamek nieskracalny. Błąd w ułamkach to jeden z najczęstszych powodów utraty punktów w zadaniach, które poza tym są rozwiązane dobrze.
A. 25
B. 712
C. 512
D. 12
Rozwiązanie: wspólny mianownik to 12. 812 − 312 + 212 = 712. Odpowiedź B. Odpowiedź A to wynik działania na licznikach i mianownikach osobno: (2 − 1 + 1)/(3 − 4 + 6) = 2/5, czyli typowy błąd.
Rozwiązanie: NWW liczb 4, 7 i 10 to 140. 34 = 105140, 57 = 100140, 710 = 98140. Przy wspólnym mianowniku porównujemy liczniki: 98 < 100 < 105. Odpowiedź: 710 < 57 < 34. Słowo „uzasadnij” oznacza, że trzeba pokazać rachunek, a nie tylko podać kolejność.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to rozszerzanie albo skracanie tylko licznika lub tylko mianownika. Drugi to skracanie składników zamiast czynników, na przykład skreślanie dwójek w (2 + 3)/(2 + 5). Skracać można tylko to, przez co się mnoży. Trzeci to niedokończone skracanie, gdy wynik da się jeszcze skrócić. Czwarty to dodawanie mianowników przy dodawaniu ułamków. Piąty to rozszerzenie jednego ułamka do wspólnego mianownika i zapomnienie o drugim.
7Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Skróć 16/24.
dzielimy przez 8: 2/3
2. Skróć 75/100.
dzielimy przez 25: 3/4
3. Rozszerz 4/9 do mianownika 36.
36 : 9 = 4, więc 16/36
4. Znajdź wspólny mianownik ułamków 5/6 i 4/9.
NWW(6, 9) = 18: 15/18 i 8/18
5. Który ułamek jest większy: 3/5 czy 4/7?
21/35 i 20/35, więc 3/5 jest większy
6. Oblicz 1/6 + 3/4.
2/12 + 9/12 = 11/12
7. Oblicz 7/10 − 2/15.
21/30 − 4/30 = 17/30
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” ułamki zwykłe i dziesiętne to pierwszy dział, a potem przechodzisz przez procenty, potęgi, pierwiastki, logarytmy, funkcje, ciągi, geometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Każdy dział ma lekcje z teorią i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: UłamkiUłamek Zwykły: Wprowadzenie do Matematyki – YouTube
- WcześniejPorównywanie ułamków
- DalejDodawanie i odejmowanie ułamków
- Przyda się teżNWD i NWW – jak obliczyć i kiedy którego użyć
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
