Jak narysować wykres funkcji liniowej
Wykres funkcji liniowej to zawsze linia prosta. To dobra wiadomość, bo prostą wyznaczają już dwa punkty. W tym wpisie pokażę dwa sposoby rysowania: z tabelki i „po schodkach”, a potem rozwiążę krok po kroku dużo przykładów, także z ułamkami i liczbami ujemnymi.
0Co to jest funkcja liniowa
a to współczynnik kierunkowy: mówi, jak bardzo i w którą stronę prosta jest nachylona. b to wyraz wolny: mówi, w którym miejscu prosta przecina oś y, czyli w punkcie (0, b).
Na przykład w funkcji y = 3x − 5 mamy a = 3 oraz b = −5. W funkcji y = −x + 2 mamy a = −1, bo samo −x to −1 · x. W funkcji y = 4x mamy b = 0, a w funkcji y = 7 mamy a = 0.
1Sposób 1: tabelka
To sposób, który działa zawsze. Wybierasz kilka dowolnych wartości x, liczysz dla nich y, zaznaczasz punkty w układzie współrzędnych i prowadzisz przez nie prostą linijką.
1. Wybierz trzy wartości x, najlepiej małe i wygodne, na przykład 0, 1 i 2.
2. Dla każdej policz y, wstawiając x do wzoru.
3. Zapisz wyniki w tabelce i zaznacz punkty (x, y) w układzie.
4. Połącz punkty prostą i przedłuż ją przez cały układ.
Dlaczego trzy punkty, skoro wystarczą dwa? Trzeci punkt to sprawdzenie. Jeśli wszystkie trzy leżą na jednej prostej, rachunki są dobre. Jeśli trzeci odstaje, gdzieś jest błąd.
2Sposób 2: po schodkach, czyli z b i a
Ten sposób jest szybszy, gdy już rozumiesz, co znaczą a i b. Zaczynasz od punktu (0, b) na osi y. Potem robisz „schodek”: krok o 1 w prawo i o a w górę (gdy a jest dodatnie) albo o a w dół (gdy a jest ujemne). Powtarzasz schodek jeszcze raz i masz trzy punkty.
Gdy a jest ułamkiem, na przykład a = 23, schodek wygląda tak: o 3 w prawo (mianownik) i o 2 w górę (licznik). Dzięki temu omijasz ułamki na rysunku.
3Przykład: y = 2x + 1
Najprostszy przypadek: a i b są liczbami całkowitymi, więc tabelka z x = 0, 1, 2 daje od razu wygodne punkty.
Krok 1. Odczytujemy a i b
a = 2, b = 1. To od razu mówi, że prosta przetnie oś y w punkcie (0, 1) i że funkcja rośnie.
Krok 2. Tabelka
Wybieramy argumenty: 0, 1, 2. Wstawiamy każdy do wzoru:
x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1
x = 1: y = 2 · 1 + 1 = 2 + 1 = 3
x = 2: y = 2 · 2 + 1 = 4 + 1 = 5
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 1 | 3 | 5 |
Krok 3. Zaznaczamy punkty i rysujemy prostą
Punkty do zaznaczenia: (0, 1), (1, 3), (2, 5). Pamiętaj: pierwsza liczba to x (w prawo lub w lewo), druga to y (w górę lub w dół).
4Przykład: y = −x + 3
Tu a = −1, bo −x to −1 · x. Uważaj na znak przy liczeniu: dla x = 2 mamy −1 · 2 = −2.
Krok 1. Odczytujemy a i b
a = −1, b = 3. To od razu mówi, że prosta przetnie oś y w punkcie (0, 3) i że funkcja maleje.
Krok 2. Tabelka
Wybieramy argumenty: 0, 1, 2. Wstawiamy każdy do wzoru:
x = 0: y = −1 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3
x = 1: y = −1 · 1 + 3 = −1 + 3 = 2
x = 2: y = −1 · 2 + 3 = −2 + 3 = 1
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | 2 | 1 |
Krok 3. Zaznaczamy punkty i rysujemy prostą
Punkty do zaznaczenia: (0, 3), (1, 2), (2, 1). Pamiętaj: pierwsza liczba to x (w prawo lub w lewo), druga to y (w górę lub w dół).
5Przykład: y = 12x − 2
W tym wzorze jest ułamek. Żeby y wyszły całkowite, wybieramy x podzielne przez mianownik, czyli parzyste: 0, 2 i 4. Dla x = 1 wyszłoby y = 12 − 2 = −112, a takiego punktu nie zaznaczysz dokładnie.
Krok 1. Odczytujemy a i b
a = 12, b = −2. To od razu mówi, że prosta przetnie oś y w punkcie (0, −2) i że funkcja rośnie.
Krok 2. Tabelka
Wybieramy argumenty: 0, 2, 4. Wstawiamy każdy do wzoru:
x = 0: y = 12 · 0 − 2 = 0 − 2 = −2
x = 2: y = 12 · 2 − 2 = 1 − 2 = −1
x = 4: y = 12 · 4 − 2 = 2 − 2 = 0
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | −2 | −1 | 0 |
Krok 3. Zaznaczamy punkty i rysujemy prostą
Punkty do zaznaczenia: (0, −2), (2, −1), (4, 0). Pamiętaj: pierwsza liczba to x (w prawo lub w lewo), druga to y (w górę lub w dół).
6Przykład: y = −23x + 1
Ułamek ma mianownik 3, więc bierzemy x podzielne przez 3. Wybieramy też jedną liczbę ujemną, żeby punkty były rozłożone po obu stronach osi y.
Krok 1. Odczytujemy a i b
a = −23, b = 1. To od razu mówi, że prosta przetnie oś y w punkcie (0, 1) i że funkcja maleje.
Krok 2. Tabelka
Wybieramy argumenty: −3, 0, 3. Wstawiamy każdy do wzoru:
x = −3: y = −23 · (−3) + 1 = 2 + 1 = 3
x = 0: y = −23 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1
x = 3: y = −23 · 3 + 1 = −2 + 1 = −1
| x | −3 | 0 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | 1 | −1 |
Krok 3. Zaznaczamy punkty i rysujemy prostą
Punkty do zaznaczenia: (−3, 3), (0, 1), (3, −1). Pamiętaj: pierwsza liczba to x (w prawo lub w lewo), druga to y (w górę lub w dół).
7Przykład: y = −2x − 1
Dużo minusów, więc liczymy bardzo uważnie. Dla x = −2: −2 · (−2) = 4, bo minus razy minus daje plus. Potem 4 − 1 = 3.
Krok 1. Odczytujemy a i b
a = −2, b = −1. To od razu mówi, że prosta przetnie oś y w punkcie (0, −1) i że funkcja maleje.
Krok 2. Tabelka
Wybieramy argumenty: −2, 0, 1. Wstawiamy każdy do wzoru:
x = −2: y = −2 · (−2) − 1 = 4 − 1 = 3
x = 0: y = −2 · 0 − 1 = 0 − 1 = −1
x = 1: y = −2 · 1 − 1 = −2 − 1 = −3
| x | −2 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | −1 | −3 |
Krok 3. Zaznaczamy punkty i rysujemy prostą
Punkty do zaznaczenia: (−2, 3), (0, −1), (1, −3). Pamiętaj: pierwsza liczba to x (w prawo lub w lewo), druga to y (w górę lub w dół).
8Przykład po schodkach: y = 3x − 2
Krok 1. Punkt startowy (0, b)
b = −2, więc zaczynamy w punkcie (0, −2) na osi y.
Krok 2. Schodki
a = 3, więc każdy schodek to 1 w prawo i 3 w górę. Z (0, −2) idziemy do (1, 1), potem do (2, 4). Możemy też zrobić schodek w drugą stronę: 1 w lewo i 3 w dół, co daje (−1, −5).
Pomarańczowe strzałki to krok w prawo, miętowe to krok w górę. Sprawdzenie tabelką: dla x = 2 mamy y = 3 · 2 − 2 = 4. Zgadza się.
9Przykład po schodkach z ułamkiem: y = −34x + 2
Startujemy w (0, 2). a = −3/4, więc schodek to 4 w prawo (mianownik) i 3 w dół (licznik, w dół, bo a jest ujemne). Z (0, 2) dochodzimy do (4, −1). Jeszcze jeden schodek w drugą stronę: 4 w lewo i 3 w górę, czyli (−4, 5).
Sprawdzenie: dla x = 4 mamy y = −34 · 4 + 2 = −3 + 2 = −1. Zgadza się.
10Przykład po schodkach: y = −2x + 3
Współczynnik a jest ujemny i całkowity, więc schodki prowadzą w dół. Ten przykład dobrze pokazuje, że funkcja maleje.
Krok 1. Punkt startowy (0, b)
b = 3, więc zaczynamy w punkcie (0, 3) na osi y.
Krok 2. Ustalamy, jak wygląda jeden schodek
a = −2, więc schodek to 1 w prawo i 2 w dół (w dół, bo a jest ujemne).
Krok 3. Robimy schodki i zaznaczamy punkty
Z (0, 3) idziemy 1 w prawo i 2 w dół: dochodzimy do (1, 1). Drugi schodek w tę samą stronę daje (2, −1).
Pomarańczowe strzałki to krok w prawo, miętowe to krok w dół. Sprawdzenie wzorem dla x = 1: y = −2 · 1 + 3 = −2 + 3 = 1. Zgadza się.
11Przykład po schodkach: y = 25x − 2
Mianownik 5 oznacza długi krok w prawo. Dzięki schodkom nie trzeba liczyć ułamków, a punkty wychodzą w kratkach.
Krok 1. Punkt startowy (0, b)
b = −2, więc zaczynamy w punkcie (0, −2) na osi y.
Krok 2. Ustalamy, jak wygląda jeden schodek
a = 25, więc schodek to 5 w prawo (mianownik) i 2 w górę (licznik).
Krok 3. Robimy schodki i zaznaczamy punkty
Z (0, −2) idziemy 5 w prawo i 2 w górę: dochodzimy do (5, 0). Schodek w drugą stronę, czyli 5 w lewo i 2 w dół, daje (−5, −4).
Pomarańczowe strzałki to krok w prawo, miętowe to krok w górę. Sprawdzenie wzorem dla x = 5: y = 25 · 5 − 2 = 2 − 2 = 0. Zgadza się.
12Szczególne przypadki: b = 0 i a = 0
Gdy b = 0, na przykład y = 3x, prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, bo dla x = 0 wychodzi y = 0. Tabelka: (0, 0), (1, 3), (−1, −3).
Gdy a = 0, na przykład y = 4, y nie zależy od x i zawsze wynosi 4. Wykres to pozioma prosta przechodząca przez (0, 4). Taka funkcja nazywa się stała.
A co z pionową prostą, na przykład x = 2? To nie jest wykres funkcji, bo dla jednego argumentu x = 2 byłoby nieskończenie wiele wartości y. Pionowe proste pojawiają się w geometrii analitycznej, ale nie jako funkcje liniowe.
13Wzór w innej postaci: 2x + y − 4 = 0
Krok 1. Wyznaczamy y
Zostawiamy y po lewej stronie, a resztę przenosimy na prawą ze zmianą znaku: y = −2x + 4. Teraz widać a = −2 i b = 4.
Krok 2. Punkty przecięcia z osiami
Tym razem pokażę jeszcze inny wygodny sposób: dwa punkty to miejsca, w których prosta przecina osie. Z osią y: x = 0, więc y = 4, punkt (0, 4). Z osią x: y = 0, więc 0 = −2x + 4, czyli 2x = 4 i x = 2. Punkt (2, 0) to miejsce zerowe funkcji.
Trzeci punkt jako sprawdzenie: dla x = 1 mamy y = −2 + 4 = 2. Leży na prostej.
14Przykład: y = 1,5x − 3
Współczynnik 1,5 zamieniamy na ułamek: 1,5 = 32. Mianownik to 2, więc bierzemy parzyste x.
Krok 1. Odczytujemy a i b
a = 32, b = −3. To od razu mówi, że prosta przetnie oś y w punkcie (0, −3) i że funkcja rośnie.
Krok 2. Tabelka
Wybieramy argumenty: 0, 2, 4. Wstawiamy każdy do wzoru:
x = 0: y = 32 · 0 − 3 = 0 − 3 = −3
x = 2: y = 32 · 2 − 3 = 3 − 3 = 0
x = 4: y = 32 · 4 − 3 = 6 − 3 = 3
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | −3 | 0 | 3 |
Krok 3. Zaznaczamy punkty i rysujemy prostą
Punkty do zaznaczenia: (0, −3), (2, 0), (4, 3). Pamiętaj: pierwsza liczba to x (w prawo lub w lewo), druga to y (w górę lub w dół).
15Co widać na wykresie
Z samego wzoru możesz przewidzieć, jak będzie wyglądał wykres, zanim cokolwiek narysujesz. Jeśli a > 0, funkcja rośnie: idąc w prawo, prosta wznosi się. Jeśli a < 0, funkcja maleje. Jeśli a = 0, prosta jest pozioma. Im większa wartość bezwzględna a, tym bardziej stroma prosta.
Miejsce zerowe, czyli punkt przecięcia z osią x, liczymy z warunku y = 0: ax + b = 0, więc x = −ba. Punkt przecięcia z osią y to zawsze (0, b).
16Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zamiana współrzędnych miejscami: punkt (2, 5) to 2 w prawo i 5 w górę, a nie odwrotnie. Drugi to błędy znaków przy ujemnych x, na przykład −3 · (−2) = 6, a nie −6. Trzeci to pomylenie a z b, gdy wzór jest zapisany w innej kolejności, jak y = 4 − x. Czwarty to łączenie punktów odcinkiem zamiast prostej: wykres funkcji liniowej przedłużamy przez cały układ, bo funkcja jest określona dla wszystkich liczb. Piąty to wybieranie x, dla których wychodzą ułamki, gdy w wzorze jest ułamek. Wybieraj x podzielne przez mianownik.
17Sprawdź się
Narysuj wykres samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć punkty, przez które powinna przechodzić prosta, i gotowy wykres do porównania.
1. y = x + 2
(0, 2), (1, 3), (2, 4); funkcja rośnie
2. y = −2x + 1
(0, 1), (1, −1), (2, −3); funkcja maleje
3. y = 13x
(0, 0), (3, 1), (−3, −1); przechodzi przez początek układu
4. y = −3
pozioma prosta przez (0, −3)
5. y = 4 − x
a = −1, b = 4: (0, 4), (1, 3), (4, 0)
6. 3x − y + 2 = 0
y = 3x + 2: (0, 2), (1, 5), (−1, −1)
7. y = −12x + 3
(0, 3), (2, 2), (6, 0)
8. Gdzie y = 2x − 6 przecina oś x?
2x − 6 = 0, więc x = 3, punkt (3, 0)
Powiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejFunkcja liniowa
- DalejKiedy funkcja liniowa przyjmuje wartości ujemne?
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
