Jaka jest szansa, że wypadnie szóstka? Że wylosujesz białą kulę? Że suma oczek na dwóch kostkach wyniesie 7? Na takie pytania odpowiada prawdopodobieństwo klasyczne. Opiera się na jednym wzorze, ale cała sztuka polega na tym, żeby dobrze policzyć możliwe wyniki. W tym wpisie wyjaśniam podstawowe pojęcia, wzór i jego założenia, i rozwiązuję krok po kroku typowe zadania z kostkami, monetami, urnami i losowaniem liczb.
1Podstawowe pojęcia
| Pojęcie | Znaczenie | Przykład: rzut kostką |
|---|---|---|
| doświadczenie losowe | czynność, której wyniku nie da się przewidzieć | rzut kostką |
| zdarzenie elementarne | jeden możliwy wynik | wypadło 4 |
| Ω (omega) | zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych | Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6 |
| zdarzenie A | zbiór wyników, które nas interesują | A: wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6} |
| |A| | liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A | |A| = 3 |
2Wzór na prawdopodobieństwo klasyczne
Liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników. Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Dla rzutu kostką: P(liczba parzysta) = 3/6 = ½. P(liczba większa od 4) = 2/6 = ⅓, bo sprzyjają tylko 5 i 6.
3Własności i zdarzenie przeciwne
| Własność | Znaczenie |
|---|---|
| 0 ≤ P(A) ≤ 1 | prawdopodobieństwo nigdy nie jest ujemne ani większe od 1 |
| P(Ω) = 1 | zdarzenie pewne, na przykład wypadnie liczba od 1 do 6 |
| P(∅) = 0 | zdarzenie niemożliwe, na przykład wypadnie 7 |
| P(A’) = 1 − P(A) | A’ to zdarzenie przeciwne: A nie zaszło |
Zdarzenie przeciwne jest najwygodniejsze, gdy w treści pojawia się słowo „przynajmniej” albo „co najmniej”. Zamiast liczyć wszystkie przypadki, liczy się jeden przypadek przeciwny i odejmuje od 1.
4Dwie kostki
Przy rzucie dwiema kostkami (albo dwukrotnym rzucie jedną) każdy wynik to para (wynik pierwszej, wynik drugiej). Jest ich 6 · 6 = 36. Najwygodniej zapisać je w tabeli, w której w każdej kratce jest suma oczek.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
P = 636 = 16. To najczęstsza suma na dwóch kostkach.
Zdarzenie przeciwne: na żadnej kostce nie wypadło 6. Wtedy na każdej kostce może być 1–5, czyli 5 · 5 = 25 wyników.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobny dział: reguła mnożenia, tabele, drzewka, prawdopodobieństwo klasyczne i zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. To jeden z najpewniejszych tematów na maturze.
Zobacz kurs na Udemy5Monety
Każdy rzut ma 2 wyniki, więc |Ω| = 2 · 2 · 2 = 8. Wypiszmy wszystkie: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR. Dokładnie dwa orły: OOR, ORO, ROO.
Prawdopodobieństwo, że wypadnie przynajmniej jeden orzeł, liczymy przez zdarzenie przeciwne: tylko RRR nie ma orła, więc P = 1 − ⅛ = ⅞.
6Kule w urnie
|Ω| = 8, |A| = 5, więc P = 5/8.
„Bez zwracania” oznacza, że po wylosowaniu kula nie wraca do urny, więc przy drugim losowaniu jest o jedną mniej. Przy losowaniu „ze zwracaniem” byłoby |Ω| = 64 i |A| = 25.
7Losowanie liczby
Przy słowie „lub” trzeba odjąć elementy wspólne, bo inaczej liczy się je dwa razy. Ogólnie: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Prawdopodobieństwo klasyczne to pewniak maturalny: prawie co roku pojawia się w zadaniu zamkniętym, a często także w zadaniu otwartym za 2 punkty. Najczęstsze tematy to dwie kostki, losowanie liczby z warunkami podzielności i losowanie kul. W zadaniu otwartym trzeba zapisać, czym jest Ω i ile ma elementów oraz które wyniki sprzyjają zdarzeniu.
A. 112
B. 19
C. 16
D. 111
Rozwiązanie: |Ω| = 36. Sumę 4 dają (1, 3), (2, 2) i (3, 1), czyli 3 wyniki. P = 3/36 = 1/12. Odpowiedź A. Odpowiedź D wychodzi przy błędnym przyjęciu, że wszystkich sum jest 11 i są jednakowo prawdopodobne.
Odpowiedź: P = 7/20. Wypisanie sprzyjających liczb to najprostszy sposób, żeby nie pomylić się w liczeniu.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to przyjęcie za Ω wyników, które nie są jednakowo prawdopodobne, na przykład sum oczek. Drugi to podwójne liczenie elementów wspólnych przy „lub”. Trzeci to wynik większy od 1 albo ujemny, który od razu wskazuje na pomyłkę. Czwarty to przy losowaniu bez zwracania liczenie tak, jakby kula wracała do urny. Piąty to przy „przynajmniej” liczenie wszystkich przypadków zamiast skorzystania ze zdarzenia przeciwnego. Szósty to brak skrócenia ułamka, gdy odpowiedzi są podane w postaci nieskracalnej.
9Sprawdź się
Policz samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Rzut kostką. P(liczba pierwsza)?
2, 3, 5: 3/6 = ½
2. Dwie kostki. P(suma 10)?
(4,6), (5,5), (6,4): 3/36 = 1/12
3. Dwie kostki. P(iloczyn parzysty)?
przeciwne: obie nieparzyste 9/36, więc 27/36 = ¾
4. Dwie monety. P(dwa różne wyniki)?
OR, RO: 2/4 = ½
5. Urna: 4 czerwone, 6 zielonych. P(czerwona)?
4/10 = 2/5
6. Ta sama urna, dwie kule bez zwracania. P(obie zielone)?
6 · 5 / (10 · 9) = 30/90 = ⅓
7. Z {1, …, 50} losujemy liczbę. P(podzielna przez 7)?
7 liczb: 7/50
8. Trzy rzuty monetą. P(co najmniej jedna reszka)?
1 − ⅛ = ⅞
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” kombinatoryka i prawdopodobieństwo mają osobny dział: reguła mnożenia, wypisywanie wyników, tabele i drzewka, prawdopodobieństwo klasyczne i zdarzenie przeciwne, a do tego zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: Statystyka, kombinatoryka i prawdopodobieństwoJak obliczyć średnią arytmetyczną?
- WcześniejPermutacje, silnia na maturze
- DalejDrzewko prawdopodobieństwa: jak rysować i jak liczyć
- Przyda się teżKombinatoryka na maturze z matematyki podstawowej
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
