Kombinatoryka, reguła mnożenia, kombinacje, wariacje i inne cuda wianki. Tak to wszystko wchodzi w skład kombinatoryki.
Jak rozwiązywać zadania z kombinatoryki?
To pytanie często zadają mi moi uczniowie, jak mam to policzyć bez pani. Jak mam na to wpaść? Dlaczego te zadania z kombinatoryki są takie dziwne.
Ja zalecam po prostu sobie wszystko krok po kroku rozpisać. Jeśli zadanie dotyczy ile liczb dwu/trzy/czetro-cyfrowych mamy, które spełniają jakieś tam założenie, to zacznij je robić od zastanowienia się ile cyfr występuje w tej liczbie. Ja wiem, brzmi to zabawnie, aleeee w stresie popełniamy różne błędy, a na maturze jest stresu kuuupa!
Nim przejdziemy do konkretów szybkie podsumowanie.
Skocz szybko w miejsce, które Ciebie interesuje
Permutacje | Kombinacje | Wariacje z powtórzeniami | Wariacje bez powtórzeń | Liczby w kombinatoryce | Zadania maturalne
Permutacja – zastosowanie silni w kombinatoryce
Silnie, która nosi też przydomek permutacje stosujemy m.in. gdy z treści zadania wynika, że
- przestawiamy litery w pewny wyrazie różnoliterowym,
- ustawiamy osoby w szeregu lub sadzamy je w koło ,
- przestawiamy cyfry w liczbie, uwzględniając pewne warunki.
Przykładowe zadanie z permutacją:
- Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 6 osób?
- Ile połączeń ośmioliterowych, będących wyrazami lub nie, można utworzyć z liter wyrazu klapa?
- Na ile sposobów można posadzić 8 osób na ośmiu numerowanych miejscach?
- Ile różnych liczb pięciocyfrowych takich, aby żadna cyfra w liczbie nie powtarzała się można utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4?
Kombinacje, jak ich używać w kombinatoryce?
Kombinacje stosujemy wtedy, gdy z treści zadania wynika, że
- losowanie odbywa się bez zwracania
- kolejność wylosowanych elementów jest nieistotna
Przykładowe zadania z kombinacjami
- Na egzaminie maturalnym uczeń wybiera 3 zadania spośród 10. Na ile sposobów może to zrobić?
- Trener siatkarzy ma do dyspozycji dwunastoosobową grupę treningową. Na ile sposobów może wybrać sześcioosobową drużynę?
- Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 8 kart. Ile jest możliwych wyników losowania, w których są dokładnie 3 walety i 3 damy.
Wariacje bez powtórzeń, kiedy je używamy? Wariacje w kombinatoryce.
Wariacje bez powtórzeń stosujemy wtedy, gdy z treści zadania wynika, że:
- losowanie odbywa się bez zwracania
- kolejność wylosowanych elementów jest istotna.
Przykładowe zadania:
1. Oblicz ile jest liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach.
2. Ile jest możliwości posadzenia 6 osób na 10 krzesłach ustawionych w rzędzie.
Wariacje z powtórzeniami o co z nimi chodzi i kiedy stosujemy je w zadaniach z kombinatoryki?
Wariacje z powtórzeniami stosujemy wtedy gdy z treści zadania wynika, że
- losowanie odbywa się ze zwracaniem
- kolejność wylosowanych elementów jest istotna.
Przykładowe zadania:
- Na ile sposobów można umieścić w 9 szufladach 4 bluzki?
- Na ile sposobów można umieścić w 4 szufladach 9 bluzek?
Liczba dwucyfrowa, czyli jaka?
Liczba dwucyfrowa składa się z dwóch cyfr:
- cyfry dziesiątek
- cyfry jedności.
Na przykład:
- Liczba 12 – 1 to cyfra dziesiątek, 2 to cyfra jedności.
- Liczba 53 – 5 to cyfra dziesiątek, 3 to cyfra jedności.
Liczby dwucyfrowe zaczynają się od 10 a kończą się na 99. Wszystko pomiędzy 10 a 99 należy do liczb dwucyfrowych.
Liczba trzycyfrowa, czyli jaka?
Liczby trzycyfrowa składa się z trzech cyfr:
- cyfry setek,
- cyfry dziesiątek,
- cyfry jedności.
Na przykład
- Liczba 123 – 1 to cyfra setek 2 to cyfra dziesiątek, 3 to cyfra jedności.
- Liczba 679 – 6 to cyfra setek 7 to cyfra dziesiątek, 9 to cyfra jedności.
Liczby trzycyfrowe zaczynają się od 100 a kończą się na 999. Wszystko pomiędzy 100 a 999 należy do liczb dwucyfrowych.
Liczba czterocyfrowa, czyli jaka?
Liczby trzycyfrowa składa się z trzech cyfr:
- cyfry tysięcy
- cyfry setek,
- cyfry dziesiątek,
- cyfry jedności.
Na przykład
- Liczba 4123 – 4 to cyfra tysięcy, 1 to cyfra setek 2 to cyfra dziesiątek, 3 to cyfra jedności.
- Liczba 2679 – 2 to cyfra tysięcy, 6 to cyfra setek 7 to cyfra dziesiątek, 9 to cyfra jedności.
Przygotowałam dla Ciebie serię filmików powtórzeniowych. Tutaj wrzucę listę z zadaniami. Najpierw zmierz się z nimi sam/a a potem zobacz jak ja to robię.
Kolejną ważna sprawą są cechy podzielności liczb.
Cechy podzielności liczb:
ZADANIE 1. to zadanie numer 13 z matury SIERPIEŃ 2011 poziom podstawowy
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ZADANIE 2. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2012 poziom podstawowy
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa
A) 100 B) 99 C) 90 D) 19
ZADANIE 3. to zadanie numer 15 z matury SIERPIEŃ 2013 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
A) 90 B) 100 C) 180 D) 200
ZADANIE 4. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2014 poziom podstawowy
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A) 100 B) 90 C) 45 D) 20
ZADANIE 5. to zadanie numer 24 z matury CZERWIEC 2014 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?
A) 6 B) 10 C) 12 D) 15
ZADANIE 6. to zadanie numer 24 z matury CZERWIEC 2014 poziom podstawowy technikum
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8
Jeśli szukasz rozwiązań to jeszcze raz wkleję link TUTAJ.
Druga część powtórki
ZADANIE 1. to zadanie numer 25 z matury SIERPIEŃ 2015 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 27
ZADANIE 2. to zadanie numer 25 z matury SIERPIEŃ 2016 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?
A) 12 B) 24 C) 29 D) 30
ZADANIE 3. to zadanie numer 24 z matury SIERPIEŃ 2017 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?
A) 2016 B) 2017 C) 1016 D) 1017
ZADANIE 4. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2018 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
A) 402 B) 403 C) 203 D) 204
ZADANIE 5. to zadanie numer 24 z matury CZERWIEC 2018 poziom podstawowy
Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
A) 8 ⋅8⋅ 8⋅3 B) 8⋅7 ⋅6 ⋅3 C) 8 ⋅10⋅ 10⋅ 4 D) 9 ⋅8⋅ 7⋅4
ZADANIE 6. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2019 poziom podstawowy
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A) 12 B) 36 C) 162 D) 243
ZADANIE 7. to zadanie numer 21 z matury CZERWIEC 2019 poziom podstawowy
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest
A) 60 B) 45 C) 30 D) 15
ZADANIE 8. to zadanie numer 24 z matury SIERPIEŃ 2019 poziom podstawowy
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest
A) 54 B) 81 C) 8 D) 27
Jeśli nie wiesz gdzie są rozwiązania – znajdziesz je TUTAJ.
Jak jeszcze Ciebie coś gnębi w tym temacie to pisz!
I jeszcze dorzucę Tobie super temat, czyli permutacje! 🙂