Po prostu blog

Potężna dawka matematycznej wiedzy

Kombinatoryka na maturze z matematyki podstawowej

kw. 30, 2021 | kombinatoryka, Matura

Kombinatoryka, reguła mnożenia, kombinacje, wariacje i inne cuda wianki. Tak to wszystko wchodzi w skład kombinatoryki.

Jak rozwiązywać zadania z kombinatoryki?

To pytanie często zadają mi moi uczniowie, jak mam to policzyć bez pani. Jak mam na to wpaść? Dlaczego te zadania z kombinatoryki są takie dziwne.

Ja zalecam po prostu sobie wszystko krok po kroku rozpisać. Jeśli zadanie dotyczy ile liczb dwu/trzy/czetro-cyfrowych mamy, które spełniają jakieś tam założenie, to zacznij je robić od zastanowienia się ile cyfr występuje w tej liczbie. Ja wiem, brzmi to zabawnie, aleeee w stresie popełniamy różne błędy, a na maturze jest stresu kuuupa!

Nim przejdziemy do konkretów szybkie podsumowanie.

Skocz szybko w miejsce, które Ciebie interesuje

Permutacje | Kombinacje | Wariacje z powtórzeniami | Wariacje bez powtórzeń | Liczby w kombinatoryce | Zadania maturalne

Permutacja – zastosowanie silni w kombinatoryce

Silnie, która nosi też przydomek permutacje stosujemy m.in. gdy z treści zadania wynika, że

  • przestawiamy litery w pewny wyrazie różnoliterowym,
  • ustawiamy osoby w szeregu lub sadzamy je w koło ,
  • przestawiamy cyfry w liczbie, uwzględniając pewne warunki.

Przykładowe zadanie z permutacją:

  1. Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 6 osób?
  2. Ile połączeń ośmioliterowych, będących wyrazami lub nie, można utworzyć z liter wyrazu klapa?
  3. Na ile sposobów można posadzić 8 osób na ośmiu numerowanych miejscach?
  4. Ile różnych liczb pięciocyfrowych takich, aby żadna cyfra w liczbie nie powtarzała się można utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4?

Kombinacje, jak ich używać w kombinatoryce?

Kombinacje stosujemy wtedy, gdy z treści zadania wynika, że

  • losowanie odbywa się bez zwracania
  • kolejność wylosowanych elementów jest nieistotna

Przykładowe zadania z kombinacjami

  1. Na egzaminie maturalnym uczeń wybiera 3 zadania spośród 10. Na ile sposobów może to zrobić?
  2. Trener siatkarzy ma do dyspozycji dwunastoosobową grupę treningową. Na ile sposobów może wybrać sześcioosobową drużynę?
  3. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 8 kart. Ile jest możliwych wyników losowania, w których są dokładnie 3 walety i 3 damy.

Wariacje bez powtórzeń, kiedy je używamy? Wariacje w kombinatoryce.

Wariacje bez powtórzeń stosujemy wtedy, gdy z treści zadania wynika, że:

  • losowanie odbywa się bez zwracania
  • kolejność wylosowanych elementów jest istotna.

Przykładowe zadania:

1. Oblicz ile jest liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach.

2. Ile jest możliwości posadzenia 6 osób na 10 krzesłach ustawionych w rzędzie.

Wariacje z powtórzeniami o co z nimi chodzi i kiedy stosujemy je w zadaniach z kombinatoryki?

Wariacje z powtórzeniami stosujemy wtedy gdy z treści zadania wynika, że

  • losowanie odbywa się ze zwracaniem
  • kolejność wylosowanych elementów jest istotna.

Przykładowe zadania:

  1. Na ile sposobów można umieścić w 9 szufladach 4 bluzki?
  2. Na ile sposobów można umieścić w 4 szufladach 9 bluzek?

Liczba dwucyfrowa, czyli jaka?

Liczba dwucyfrowa składa się z dwóch cyfr:

  • cyfry dziesiątek
  • cyfry jedności.

Na przykład:

  • Liczba 12 – 1 to cyfra dziesiątek, 2 to cyfra jedności.
  • Liczba 53 – 5 to cyfra dziesiątek, 3 to cyfra jedności.

Liczby dwucyfrowe zaczynają się od 10 a kończą się na 99. Wszystko pomiędzy 10 a 99 należy do liczb dwucyfrowych.

cyfra dziesiątek i jedności w liczbie dwucyfrowej
cyfra dziesiątek i jedności w liczbie dwucyfrowej

Liczba trzycyfrowa, czyli jaka?

Liczby trzycyfrowa składa się z trzech cyfr:

  • cyfry setek,
  • cyfry dziesiątek,
  • cyfry jedności.

Na przykład

  • Liczba 123 – 1 to cyfra setek 2 to cyfra dziesiątek, 3 to cyfra jedności.
  • Liczba 679 – 6 to cyfra setek 7 to cyfra dziesiątek, 9 to cyfra jedności.
cyfra setek, dziesiątek, jedności w liczbie trzycyfrowej
cyfra setek, dziesiątek, jedności w liczbie trzycyfrowej

Liczby trzycyfrowe zaczynają się od 100 a kończą się na 999. Wszystko pomiędzy 100 a 999 należy do liczb dwucyfrowych.

Liczba czterocyfrowa, czyli jaka?

Liczby trzycyfrowa składa się z trzech cyfr:

  • cyfry tysięcy
  • cyfry setek,
  • cyfry dziesiątek,
  • cyfry jedności.

Na przykład

  • Liczba 4123 – 4 to cyfra tysięcy, 1 to cyfra setek 2 to cyfra dziesiątek, 3 to cyfra jedności.
  • Liczba 2679 – 2 to cyfra tysięcy, 6 to cyfra setek 7 to cyfra dziesiątek, 9 to cyfra jedności.

Przygotowałam dla Ciebie serię filmików powtórzeniowych. Tutaj wrzucę listę z zadaniami. Najpierw zmierz się z nimi sam/a a potem zobacz jak ja to robię.

Kolejną ważna sprawą są cechy podzielności liczb.

Cechy podzielności liczb:

cechy podzielności liczb przez 2 3 4 5 6 8 9

ZADANIE 1. to zadanie numer 13 z matury SIERPIEŃ 2011 poziom podstawowy
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

ZADANIE 2. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2012 poziom podstawowy
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa
A) 100 B) 99 C) 90 D) 19

ZADANIE 3. to zadanie numer 15 z matury SIERPIEŃ 2013 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
A) 90 B) 100 C) 180 D) 200

ZADANIE 4. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2014 poziom podstawowy
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A) 100 B) 90 C) 45 D) 20

ZADANIE 5. to zadanie numer 24 z matury CZERWIEC 2014 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?
A) 6 B) 10 C) 12 D) 15

ZADANIE 6. to zadanie numer 24 z matury CZERWIEC 2014 poziom podstawowy technikum
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8

ZADANIA MATURALNE KOMBINATORYKA
Kliknij na zdjęcie i przeniesiesz się do rozwiązań.

Jeśli szukasz rozwiązań to jeszcze raz wkleję link TUTAJ.

Druga część powtórki

ZADANIE 1. to zadanie numer 25 z matury SIERPIEŃ 2015 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 27

ZADANIE 2. to zadanie numer 25 z matury SIERPIEŃ 2016 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?
A) 12 B) 24 C) 29 D) 30

ZADANIE 3. to zadanie numer 24 z matury SIERPIEŃ 2017 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?
A) 2016 B) 2017 C) 1016 D) 1017

ZADANIE 4. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2018 poziom podstawowy
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
A) 402 B) 403 C) 203 D) 204

ZADANIE 5. to zadanie numer 24 z matury CZERWIEC 2018 poziom podstawowy
Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa
A) 8 ⋅8⋅ 8⋅3 B) 8⋅7 ⋅6 ⋅3 C) 8 ⋅10⋅ 10⋅ 4 D) 9 ⋅8⋅ 7⋅4

ZADANIE 6. to zadanie numer 24 z matury MAJ 2019 poziom podstawowy
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A) 12 B) 36 C) 162 D) 243

ZADANIE 7. to zadanie numer 21 z matury CZERWIEC 2019 poziom podstawowy
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest
A) 60 B) 45 C) 30 D) 15

ZADANIE 8. to zadanie numer 24 z matury SIERPIEŃ 2019 poziom podstawowy
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest
A) 54 B) 81 C) 8 D) 27

Rozwiązanie zadań z kombinatoryki powtórka do matury
Klikając na powyższe zdjęcie przeniesiesz się do rozwiązań zadań.

Jeśli nie wiesz gdzie są rozwiązania – znajdziesz je TUTAJ.

Jak jeszcze Ciebie coś gnębi w tym temacie to pisz!

I jeszcze dorzucę Tobie super temat, czyli permutacje! 🙂

O mnie

Zgodnie z moją teorią, matematyki może się nauczyć każdy, wystarczy trochę praktyki. Podobnie jak z jazdą na rowerze czy graniem w gry 🙂 im częściej to robisz tym jest łatwiej np. przejść kolejny poziom. Matematyka działa tak samo, im więcej masz praktyki w liczeniu, tym mniej może Ciebie zaskoczyć. Po prostu licz!

Więcej o mnie…