Prosta w układzie współrzędnych to wykres funkcji liniowej, a jej równanie pozwala odpowiedzieć na wiele pytań: czy punkt leży na prostej, gdzie dwie proste się przecinają, czy są równoległe albo prostopadłe. W tym wpisie zbieram wszystko, co o równaniu prostej trzeba wiedzieć na maturze: postać kierunkową i ogólną, wyznaczanie równania z punktów, warunki równoległości i prostopadłości oraz typowe zastosowania, takie jak symetralna odcinka.
Jeśli chcesz najpierw przypomnieć sobie, co oznaczają współczynniki a i b i jak rysuje się prostą, zajrzyj do wpisów o funkcji liniowej.
1Dwie postaci równania prostej
| Postać | Wzór | Co widać |
|---|---|---|
| kierunkowa | y = ax + b | a: nachylenie, b: przecięcie z osią y w (0, b) |
| ogólna | Ax + By + C = 0 | opisuje każdą prostą, także pionową |
Z postaci ogólnej przechodzimy do kierunkowej, wyznaczając y. Na przykład 2x − 3y + 6 = 0, czyli 3y = 2x + 6, czyli y = ⅔x + 2. Z kierunkowej do ogólnej przenosimy wszystko na jedną stronę: y = −4x + 1 to 4x + y − 1 = 0.
Prosta pionowa
Prosta pionowa, na przykład x = 3, nie ma postaci kierunkowej, bo nie jest wykresem funkcji: jednemu x odpowiada nieskończenie wiele y. W postaci ogólnej to x − 3 = 0. Prosta pozioma y = 5 ma a = 0.
2Równanie prostej przez punkt o danym nachyleniu
3Równanie prostej przez dwa punkty
To przyrost y podzielony przez przyrost x, czyli o ile prosta wznosi się na jednostkę w prawo.
Sprawdzenie dla B: −2 · 3 + 2 = −4. Zgadza się.
Równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe oraz punkt przecięcia prostych to w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” część działu geometrii analitycznej, która opiera się na funkcji liniowej. Wszystko rozpisane krok po kroku, z rysunkami w układzie współrzędnych.
Zobacz kurs na Udemy4Proste równoległe i prostopadłe
Proste równoległe mają to samo nachylenie. Współczynnik prostej prostopadłej to liczba odwrotna i przeciwna: dla a = 2 jest to −½, dla a = −⅔ jest to 3/2.
Na rysunku czerwone proste są równoległe (obie mają a = 2), a miętowa jest prostopadła do nich (2 · (−½) = −1).
Równoległa ma a = 3: y = 3x + b. Wstawiamy P: 5 = 3 + b, b = 2.
Prostopadła ma a = −½: y = −½x + b. Wstawiamy P: 1 = −2 + b, b = 3.
Prosta pionowa x = c jest prostopadła do każdej prostej poziomej y = d, choć wzór z iloczynem tu nie działa, bo prosta pionowa nie ma współczynnika a.
5Punkt przecięcia dwóch prostych
Punkt przecięcia leży na obu prostych naraz, więc jego współrzędne spełniają oba równania. Rozwiązujemy układ równań. Gdy obie proste są w postaci kierunkowej, wystarczy przyrównać prawe strony.
Więcej o metodach rozwiązywania układów piszę we wpisie o układach równań liniowych. Proste równoległe (to samo a, różne b) nie mają punktów wspólnych, a pokrywające się mają ich nieskończenie wiele.
6Zastosowania
Symetralna odcinka
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez jego środek. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.
Wysokość trójkąta
Prosta zawierająca wysokość trójkąta jest prostopadła do boku i przechodzi przez przeciwległy wierzchołek. Wyznacza się ją dokładnie tak jak prostą prostopadłą przez punkt.
Równanie prostej, warunki równoległości i prostopadłości oraz punkt przecięcia prostych to najczęstsze tematy z geometrii analitycznej na maturze podstawowej. W zadaniach zamkniętych trzeba wskazać prostą równoległą albo prostopadłą, a w otwartych wyznaczyć równanie symetralnej, wysokości albo prostej przez dwa punkty. Warunki na proste równoległe i prostopadłe są w zestawie wzorów CKE.
A. y = −½x + 3
B. y = 2x − 7
C. y = ½x − 1
D. y = −2x + 9
Rozwiązanie: prostopadła ma a = −½, a 1 = −½ · 4 + b daje b = 3. Odpowiedź A. B to prosta równoległa przez ten punkt, C ma odwrócony współczynnik bez zmiany znaku, a D tylko zmieniony znak.
Odpowiedź: y = −2x, przecina oś x w punkcie (0, 0). Gdy prosta jest podana w postaci ogólnej, zacznij od wyznaczenia z niej y, żeby odczytać współczynnik kierunkowy.
7Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to przy prostopadłości zmiana tylko znaku albo tylko odwrócenie liczby. Drugi to odczyt współczynnika kierunkowego wprost z postaci ogólnej, bez wyznaczenia y: w 2x + y − 5 = 0 a wynosi −2, a nie 2. Trzeci to zamiana kolejności przy liczeniu a z dwóch punktów: licznik i mianownik trzeba odjąć w tej samej kolejności. Czwarty to pomylenie prostej x = 3 z prostą y = 3. Piąty to brak sprawdzenia, czy drugi punkt leży na wyznaczonej prostej, co zajmuje kilka sekund i wyłapuje większość pomyłek.
8Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Prosta przez (0, 4) i (2, 0)
a = −2, y = −2x + 4
2. Prosta przez (1, 1) i (4, 7)
a = 2, y = 2x − 1
3. Zapisz w postaci kierunkowej 3x − y + 2 = 0
y = 3x + 2
4. Równoległa do y = −x + 4 przez (2, 3)
y = −x + 5
5. Prostopadła do y = ⅓x przez (0, 0)
y = −3x
6. Czy proste y = 4x + 1 i y = −¼x + 2 są prostopadłe?
tak, 4 · (−¼) = −1
7. Punkt przecięcia y = x + 1 i y = −2x + 7
(2, 3)
8. Symetralna odcinka A(0, 0), B(4, 0)
x = 2
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” geometria analityczna ma osobny dział: odległość i środek odcinka, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe, równanie okręgu i zadania maturalne. Wcześniej jest funkcja liniowa i układy równań, na których ten dział się opiera. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- WcześniejOdległość punktów i środek odcinka w układzie współrzędnych
- DalejRównanie okręgu zadania krok po kroku i tipy
- Przyda się teżFunkcja liniowa
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
