Trójkąt to najprostszy wielokąt, a jednocześnie podstawa prawie całej geometrii: każdy wielokąt da się podzielić na trójkąty, a w trójkątach pracują twierdzenie Pitagorasa, trygonometria i twierdzenie cosinusów. W tym wpisie zbieram w jednym miejscu rodzaje trójkątów, ich najważniejsze własności i wszystkie wzory na pole, z przykładami krok po kroku.
1Rodzaje trójkątów
Według boków
Według kątów
Oba podziały można łączyć. Trójkąt może być na przykład równoramienny i prostokątny jednocześnie: to połowa kwadratu z kątami 45°, 45° i 90°.
W trójkącie równoramiennym dwa równe boki to ramiona, a trzeci to podstawa. Kąty przy podstawie są równe. Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem równoramiennego.
2Suma kątów w trójkącie
Dlaczego? Poprowadźmy przez wierzchołek C prostą równoległą do podstawy. Kąty naprzemianległe przy tej prostej są równe kątom α i β trójkąta. Przy wierzchołku C leżą więc obok siebie α, γ i β, a razem tworzą kąt półpełny, czyli 180°.
Z tego wynika kilka ważnych wniosków. Trójkąt może mieć tylko jeden kąt prosty albo rozwarty. Kąty ostre trójkąta prostokątnego sumują się do 90°. Każdy kąt trójkąta równobocznego ma 60°.
Kąt zewnętrzny
Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt między bokiem a przedłużeniem sąsiedniego boku. Jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają. Na przykład jeśli α = 50° i β = 70°, kąt zewnętrzny przy wierzchołku C ma 120°.
3Nierówność trójkąta i związek boków z kątami
Każdy bok trójkąta jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić najdłuższy bok: trójkąt o bokach a ≤ b ≤ c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy a + b > c.
| Boki | Sprawdzenie | Czy trójkąt istnieje? |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 3 + 4 = 7 > 5 | tak |
| 3, 4, 8 | 3 + 4 = 7 < 8 | nie |
| 2, 3, 5 | 2 + 3 = 5, nie jest większe | nie, odcinki leżą na jednej prostej |
Druga ważna zależność: w każdym trójkącie naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt, a naprzeciw najkrótszego najmniejszy. Równym bokom odpowiadają równe kąty.
4Ważne odcinki w trójkącie
| Odcinek | Co to jest | Co warto wiedzieć |
|---|---|---|
| wysokość | odcinek z wierzchołka prostopadły do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia) | trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie |
| środkowa | odcinek z wierzchołka do środka przeciwległego boku | środkowe przecinają się w środku ciężkości, który dzieli każdą w stosunku 2 : 1 |
| dwusieczna | odcinek dzielący kąt na pół | dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego |
| symetralna boku | prosta prostopadła do boku przez jego środek | symetralne przecinają się w środku okręgu opisanego |
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową, dwusieczną i fragmentem symetralnej. Dzięki temu dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne, co w zadaniach bardzo się przydaje.
Trójkąty mają w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobną część działu planimetrii: rodzaje, własności, wzory na pole, okręgi wpisane i opisane, podobieństwo. Wszystko rozpisane krok po kroku, z rysunkami, a potem przećwiczone na zadaniach maturalnych.
Zobacz kurs na Udemy5Wzory na pole trójkąta
| Wzór | Kiedy użyć |
|---|---|
| P = 12 · a · h | znasz bok i wysokość opuszczoną na ten bok |
| P = 12 · a · b · sin γ | znasz dwa boki i kąt między nimi |
| P = p(p − a)(p − b)(p − c), p = a + b + c2 | znasz trzy boki (wzór Herona) |
| P = a234 | trójkąt równoboczny o boku a |
| P = 12 · a · b | trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b |
Bok i wysokość
P = ½ · 10 · 6 = 30. Wysokość musi być opuszczona na ten sam bok, który bierzemy do wzoru.
Dwa boki i kąt
P = 12 · 6 · 8 · sin 30° = 24 · 12 = 12. Kąt musi leżeć między bokami, które bierzemy do wzoru.
Trzy boki: wzór Herona
Trójkąt równoboczny
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a to a√3/2, więc P = 12 · a · a32 = a234. Dla a = 6: P = 36√3/4 = 9√3.
Trójkąty pojawiają się na maturze podstawowej w każdym arkuszu: zadania z sumą kątów i kątami w trójkącie równoramiennym, z nierównością trójkąta, z polem obliczanym jednym z kilku wzorów i zadania łączące trójkąty z twierdzeniem Pitagorasa i trygonometrią. Wszystkie wzory na pole są w zestawie wzorów CKE, ale trzeba umieć wybrać właściwy.
A. 80°
B. 90°
C. 60°
D. 100°
Rozwiązanie: kąty to 2x, 3x i 4x. Suma: 9x = 180°, więc x = 20°. Największy kąt to 4 · 20° = 80°. Odpowiedź A. Wszystkie kąty są ostre: 40°, 60°, 80°, więc trójkąt jest ostrokątny.
Odpowiedź: P = 9√3, podstawa 6√3. Podstawę można też policzyć, dzieląc trójkąt wysokością na dwa trójkąty 30-60-90: połowa podstawy to 6 · cos 30° = 3√3.
6Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to zapomnienie o ½ we wzorze na pole. Drugi to branie wysokości opuszczonej na inny bok niż ten, który jest we wzorze. Trzeci to we wzorze z sinusem użycie kąta, który nie leży między dwoma podanymi bokami. Czwarty to sprawdzanie nierówności trójkąta tylko dla dwóch krótszych boków zamiast porównania ich sumy z najdłuższym. Piąty to uznanie, że w trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku jest równy kątom przy podstawie. Szósty to we wzorze Herona użycie całego obwodu zamiast połowy.
7Sprawdź się
Rozwiąż samodzielnie, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Dwa kąty trójkąta mają 35° i 75°. Ile ma trzeci?
70°
2. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma 40°. Kąt przy wierzchołku?
180° − 80° = 100°
3. Czy istnieje trójkąt o bokach 4, 7, 12?
nie, 4 + 7 = 11 < 12
4. Pole trójkąta o boku 9 i wysokości 4 na ten bok?
18
5. Pole trójkąta równobocznego o boku 4?
16√3/4 = 4√3
6. Pole trójkąta o bokach 5 i 8 i kącie 60° między nimi?
½ · 5 · 8 · √3/2 = 10√3
7. Pole trójkąta o bokach 5, 5, 6 (wzór Herona)?
p = 8: √(8 · 3 · 3 · 2) = √144 = 12
8. Kąty α = 40°, β = 65°. Kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku?
105°
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” planimetria to cały dział: trójkąty, czworokąty, wielokąty, okręgi, pola i podobieństwo, a do tego twierdzenie Pitagorasa, trygonometria i twierdzenie cosinusów w zadaniach geometrycznych. Każdy temat ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: GeometriaKąty
- DalejTwierdzenie Pitagorasa – wzór, dowód i zastosowania
- Przyda się teżTwierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
