Wiele zadań maturalnych z funkcji zaczyna się od słów „Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f”. Potem padają pytania o dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartość największą czy liczbę rozwiązań równania. Wszystkie te informacje da się odczytać z rysunku, trzeba tylko wiedzieć, gdzie patrzeć i jak poprawnie zapisać odpowiedź. W tym wpisie przechodzimy przez wszystkie własności na jednym wykresie, krok po kroku.
1Nasz wykres
Przez cały wpis pracujemy na tej samej funkcji f. Zwróć uwagę na końce: w punkcie (−5, −2) jest pełne kółko, więc ten punkt należy do wykresu, a w punkcie (5, 2) puste, więc nie należy.
2Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina to „cień” wykresu na osi x, a zbiór wartości to „cień” na osi y. Szczegółowo opisałam to we wpisie o dziedzinie i zbiorze wartości.
Dziedzina: wykres zaczyna się w x = −5 (pełne kółko) i kończy w x = 5 (puste kółko), więc D = ⟨−5; 5). Zbiór wartości: najniżej wykres schodzi do y = −4 w punkcie x = 2, najwyżej wchodzi do y = 2.
3Miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią y
Miejsca zerowe to argumenty, dla których f(x) = 0, czyli punkty, w których wykres przecina oś x albo jej dotyka. Punkt przecięcia z osią y to (0, f(0)).
Wykres przecina oś x w trzech miejscach: x = −4, x = 0 i x = 4. Ponieważ jedno z miejsc zerowych to 0, wykres przecina oś y w początku układu: f(0) = 0.
4Znak funkcji: gdzie f(x) > 0, a gdzie f(x) < 0
f(x) > 0 tam, gdzie wykres leży nad osią x, a f(x) < 0 tam, gdzie leży pod nią. Granicami są miejsca zerowe.
| Warunek | Przedziały | Uwagi o końcach |
|---|---|---|
| f(x) > 0 | (−4; 0) ∪ (4; 5) | miejsca zerowe nie należą, 5 nie należy do dziedziny |
| f(x) < 0 | ⟨−5; −4) ∪ (0; 4) | −5 należy, bo jest pełne kółko, a f(−5) = −2 < 0 |
| f(x) ≥ 0 | ⟨−4; 0⟩ ∪ ⟨4; 5) | teraz miejsca zerowe należą |
| f(x) ≤ 0 | ⟨−5; −4⟩ ∪ ⟨0; 4⟩ |
Przy znaku funkcji przedziały łączymy znakiem ∪, bo pytamy o jeden zbiór argumentów.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu ma w moim kursie „Matematyka od podstaw do matury” osobne lekcje na początku działu o funkcjach: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, wartość największa i najmniejsza. Potem te umiejętności wracają przy każdej kolejnej funkcji.
Zobacz kurs na Udemy5Monotoniczność
Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy dla dowolnych x₁ < x₂ z tego przedziału zachodzi f(x₁) < f(x₂). Na wykresie: idąc w prawo, idziemy w górę.
Funkcja jest malejąca, gdy x₁ < x₂ daje f(x₁) > f(x₂). Idąc w prawo, idziemy w dół.
Funkcja jest stała, gdy f(x₁) = f(x₂) dla wszystkich argumentów z przedziału. Wykres jest poziomy.
| Funkcja jest | W przedziałach |
|---|---|
| rosnąca | ⟨−5; −3⟩ oraz ⟨2; 5) |
| stała | ⟨−3; −1⟩ |
| malejąca | ⟨−1; 2⟩ |
Wykres zawsze czytamy od lewej do prawej, tak jak tekst. Przedziały monotoniczności to przedziały na osi x, a nie wartości y.
Końce przedziałów monotoniczności można zapisywać z nawiasami ostrymi, jeśli należą do dziedziny, tak jak tutaj ⟨−1; 2⟩. Nie ma błędu w tym, że punkt x = −1 należy zarówno do przedziału stałości, jak i do przedziału, w którym funkcja maleje.
Monotoniczność znanych funkcji
| Funkcja | Monotoniczność |
|---|---|
| liniowa y = ax + b | rosnąca, gdy a > 0; malejąca, gdy a < 0; stała, gdy a = 0 |
| kwadratowa, a > 0, wierzchołek (p, q) | malejąca w (−∞; p⟩, rosnąca w ⟨p; +∞) |
| kwadratowa, a < 0 | rosnąca w (−∞; p⟩, malejąca w ⟨p; +∞) |
| wykładnicza aˣ | rosnąca dla a > 1, malejąca dla 0 < a < 1 |
| y = 1/x | malejąca w (−∞; 0) i w (0; +∞), osobno |
6Wartość największa i najmniejsza
Wartość największa to najwyższy punkt wykresu, a najmniejsza to najniższy. Podajemy samą liczbę y, a często też argumenty, dla których jest przyjmowana.
Wartość największa to 2, przyjmowana dla każdego x z przedziału ⟨−3; −1⟩. Wartość najmniejsza to −4, przyjmowana dla x = 2.
Funkcja może nie mieć wartości największej albo najmniejszej, jeśli najwyższy punkt wypada w pustym kółku albo wykres ucieka w nieskończoność. Gdyby nasz wykres był jedynym miejscem, gdzie y = 2, czyli tylko w pustym kółku na końcu, wartości największej by nie było.
7Liczba rozwiązań równania f(x) = k
Żeby ustalić, ile rozwiązań ma równanie f(x) = k, rysujemy poziomą prostą y = k i liczymy jej punkty wspólne z wykresem.
| Równanie | Liczba rozwiązań | Dlaczego |
|---|---|---|
| f(x) = 1 | 3 | prosta y = 1 przecina wykres trzy razy |
| f(x) = −2 | 3 | w x = −5 (pełne kółko), x = 1 i x = 3 |
| f(x) = −4 | 1 | tylko w najniższym punkcie, x = 2 |
| f(x) = 2 | nieskończenie wiele | cały odcinek ⟨−3; −1⟩; x = 5 nie liczy się, bo to puste kółko |
| f(x) = 3 | 0 | prosta jest nad całym wykresem |
Zadania z wykresem funkcji są na maturze podstawowej w prawie każdym arkuszu: najczęściej zamknięte, w których trzeba wskazać dziedzinę, zbiór wartości, przedział monotoniczności, zbiór rozwiązań nierówności f(x) ≥ 0 albo liczbę rozwiązań równania. Prawie zawsze pułapką są końce: puste i pełne kółka oraz miejsca zerowe przy nierównościach ostrych i nieostrych.
A. ⟨−4; 0⟩ ∪ ⟨4; 5)
B. (−4; 0) ∪ (4; 5)
C. ⟨−4; 0⟩ ∪ ⟨4; 5⟩
D. ⟨−5; −4⟩ ∪ ⟨0; 4⟩
Rozwiązanie: wykres leży nad osią albo na niej między −4 a 0 oraz od 4 do końca. Nierówność jest nieostra, więc miejsca zerowe należą, ale x = 5 nie należy do dziedziny. Odpowiedź A. B to odpowiedź dla f(x) > 0, C ma zły nawias przy 5, a D to zbiór, w którym f(x) ≤ 0.
Rozwiązanie: idąc od lewej, wykres opada tylko między x = −1 a x = 2, więc f jest malejąca w przedziale ⟨−1; 2⟩. Prosta y = −2 ma z wykresem trzy punkty wspólne: x = −5 (pełne kółko, punkt należy), x = 1 i x = 3. Odpowiedź: f maleje w ⟨−1; 2⟩, równanie f(x) = −2 ma 3 rozwiązania.
8Najczęstsze błędy
Pierwszy błąd to podawanie przedziałów monotoniczności na osi y zamiast na osi x. Drugi to łączenie przedziałów monotoniczności znakiem ∪. Trzeci to przy zbiorze wartości branie wartości z końców wykresu zamiast najwyższego i najniższego punktu. Czwarty to pomijanie pustych i pełnych kółek. Piąty to podawanie miejsc zerowych jako punktów (x, 0) zamiast liczb. Szósty to przy nierównościach ostrych dołączanie miejsc zerowych, a przy nieostrych ich pomijanie. Siódmy to czytanie wykresu od prawej do lewej, przez co rosnąca myli się z malejącą.
9Sprawdź się
Odpowiedz na podstawie naszego wykresu, a potem kliknij, żeby zobaczyć rozwiązanie.
1. Ile wynosi f(−3)?
2
2. Ile wynosi f(2)?
−4
3. Dla jakich x zachodzi f(x) = 0?
x ∈ {−4, 0, 4}
4. W jakim przedziale f jest stała?
⟨−3; −1⟩
5. Zbiór rozwiązań f(x) < 0
⟨−5; −4) ∪ (0; 4)
6. Ile rozwiązań ma f(x) = 0,5?
3
7. Ile rozwiązań ma f(x) = −3?
2: jedno na odcinku malejącym, jedno na rosnącym po prawej
8. Czy funkcja ma wartość największą?
tak, 2
W kursie wideo „Matematyka od podstaw do matury” dział o funkcjach zaczyna się od pojęcia funkcji i odczytywania wszystkich własności z wykresu, a potem przechodzi przez funkcję liniową, kwadratową, wymierną i wykładniczą. Każdy dział ma zadania maturalne rozwiązywane krok po kroku. Oglądasz w swoim tempie i wracasz do lekcji, kiedy potrzebujesz.
Przejdź do kursu na UdemyPowiązane tematy
- Cały dział: FunkcjeCo to jest funkcja w matematyce?
- WcześniejWartość funkcji w punkcie
- DalejPrzekształcanie wykresu funkcji
Kurs wideo krok po krokuMatematyka od podstaw do matury
